Уравнения определяющие движение твердого тела

Плоское движение твердого тела в теоретической механике

Содержание:

Плоское движение твердого тела:

Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные точки, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Поэтому плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным движением. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как звенья большинства механизмов и машин, применяемых в технике, совершают плоское движение. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси можно считать частным случаем плоского движения.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Рис. 41

Пусть твердое тело совершает плоское движение, параллельное неподвижной плоскости

Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, достаточно изучить движение одной точки этой прямой, например точки . Рассуждая аналогично для любой другой прямой, перпендикулярной плоскости и скрепленной с движущимся твердым телом, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение точек этого тела, лежащих в какой-либо плоскости и образующих плоскую фигуру.

Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости . Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой. Различные по форме твердые тела, совершающие плоское движение, имеют в сечениях разные плоские фигуры. В общем случае за плоскую фигуру примем всю плоскость и, следовательно, рассмотрим движение этой подвижной плоскости по другой, неподвижной плоскости.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка (рис. 42), скрепленного с фигурой. Положение отрезка относительно системы координат определится заданием координат какой-либо точки этого отрезка и его направления. Например, для точки нужно задать координаты , а направление задать углом , который образует отрезок с какой-либо осью, например , или ей параллельной осью . Вместо угла можно взять угол между любой другой осью или отрезком, скрепленными с плоской фигурой, и осью , например угол . Тогда , где не зависит от времени. Таким образом, уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и плоского движения твердого тела относительно системы координат имеют вид

Рис. 42

Положение любой точки плоской фигуры относительно подвижной системы координат , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат х и у точки , которые при движении плоской фигуры в ее плоскости не изменяются с изменением времени. Между координатами точки в двух системах координат и существует следующая зависимость (рис. 42):

где — длина отрезка ; — постоянный угол между отрезком и осью .

Раскрывая косинус и синус суммы двух углов и учитывая, что ; , получаем окончательные формулы в следующем виде:

Формулы (1) являются уравнениями движения точки плоской фигуры относительно системы координат .

Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам ее точки относительно подвижной системы координат, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя векторно-матричную символику, (1) можно выразить в форме

где — матрица поворота на плоскости:

Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное

Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое — относительное. В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат расположенной в той же плоскости (рис. 42), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс .

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое, в том числе и бесконечно близкое первому, можно перевести двумя перемещениями — поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким-либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса. Рассмотрим два любых положения плоской фигуры I и II в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка , скрепленного с этой фигурой (рис. 43).

В общем случае, когда отрезок в одном положении не параллелен тому же отрезку в другом положении, из рис. 43 следует, что плоскую фигуру действительно сначала можно переместить поступательно, например вместе с точкой этой фигуры, причем скрепленный с фигурой отрезок займет положение , а затем повернуть фигуру вокруг точки на угол до совпадения с .

В частном случае, когда отрезок параллелен отрезку , угол равен нулю и, следовательно, вращательного перемещения в этом случае не будет. Очевидно, что в общем случае, когда ф не равно нулю, сначала плоскую фигуру можно повернуть на угол вокруг точки , а затем переместить поступательно. И наконец, совершая плоское поступательное перемещение вместе с точкой , фигуру можно поворачивать вокруг этой точки так, чтобы в момент совпадения точки с точкой эта фигура повернулась на угол .

Действительное плоское перемещение фигуры из положения I в положение II может быть любым, но его всегда можно заменить двумя простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным — так, чтобы конечное положение плоской фигуры в обоих случаях было одним и тем же.

Действительное перемещение фигуры в ее плоскости из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, в пределе можно точно заменить двумя элементарными простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным. При этом поступательное перемещение фигуры вместе с какой-либо ее точкой является переносным движением плоской фигуры, а вращение фигуры вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранную точку, относительным движением.

Поступательное перемещение зависит от выбора точки фигуры, вместе с которой совершается это поступательное перемещение, в то время как угол поворота вокруг полюса не зависит от выбора полюса.

На рис. 43 показаны случаи, когда за полюсы выбираются сначала точка , а затем точка . Штриховой линией указаны положения плоской фигуры после поступательных перемещений вместе с точками и .

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении

Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, аналогично случаю вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно ввести понятия угловой скорости и углового ускорения . Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то

Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то и характеристики этой части движения — угловая скорость и угловое ускорение — также не зависят от выбора полюса. Следовательно, для заданного плоского движения фигуры в данный момент они одинаковы относительно подвижной оси, проходящей через любую точку фигуры.

При плоском движении тела угловую скорость и угловое ускорение можно считать векторами, направленными по подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранный полюс. Вектор угловой скорости при плоском движении фигуры направлен по подвижной оси так, чтобы с конца его стрелки можно было видеть вращение фигуры против часовой стрелки. Вектор углового ускорения при ускоренном вращении фигуры совпадает с направлением вектора угловой скорости , а при замедленном вращении эти векторы имеют противоположные направления. Так как и не зависят от выбора полюса на плоской фигуре, то, следовательно, их можно приложить в любой точке фигуры, не изменяя модулей и направлений этих векторов, т. е. и являются свободными векторами. Вектор углового ускорения является первой производной по времени от вектора угловой скорости, т. .

Скорости точек тела при плоском движении

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

где — абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; — скорость точки от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой этой фигуры (рис. 44, a); — скорость точки в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки с угловой скоростью .

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки , т. е.

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением, равна

Скорость расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку , соединяющему точку с полюсом . Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скорость обозначим . Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку , или просто вокруг точки . Формулу (2) можно выразить в виде

а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 44, а). Используя (3), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки (рис. 44, б).

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Формула (3) выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени.

Рис. 44

Рис. 45

Пример 1.

Колесо радиусом (рис. 45) катится со скольжением по прямой линии, имея в рассматриваемый момент времени скорость центра и угловую скорость . Определить в этот момент времени скорости точек обода колеса , и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение. Для точки скорости полюса v0 и от вращения вокруг полюса направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. Следовательно, по формуле (3),

Для точки скорости и противоположны по направлению, поэтому

При качении колеса по прямой линии без скольжения скорость точки равна нулю и, следовательно, в этом случае скорость центра и угловая скорость связаны соотношением

Отсюда угловую скорость можно выразить через скорость центра колеса и его радиус:

В точке скорости и перпендикулярны. Следовательно,

Отметим, что при качении колеса по прямой без скольжения скорости точек обода колеса не направлены по касательной к ободу, за исключением самой верхней его точки .

Формулу (3), устанавливающую зависимость скоростей двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием по времени векторного равенства

справедливого для любого момента времени (см. рис. 44, а).

При дифференцировании векторов учитываем их изменения относительно основной, неподвижной, системы координат , т.е. вычисляем полные производные от этих векторов. Имеем

Очевидно, — скорости точек и .

Вектор соединяет две точки плоской фигуры и, следовательно, не изменяется по модулю при движении плоской фигуры. Производную по времени от такого вектора как вектора постоянного модуля по скалярному аргументу можно выразить в форме

где — вектор угловой скорости вращения , а следовательно, и плоской фигуры, с которой скреплен вектор .

Если ввести обозначение , то

т. е. получаем формулу (3).

Разложение плоского движения на поступательное и вращательное

Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости

Плоское движение и его уравнение

Ознакомление с плоским движением твердого тела начнем с частного примера. Представим себе, что закрытая книга лежит на столе. Не раскрывая книги, будем перемещать ее по поверхности стола, но так, чтобы контакт книги со столом ни в одной точке не нарушился; в остальном движение книги произвольно. При этом условии частицы книги опишут траектории, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости стола, и каждая страница будет двигаться в той плоскости, в которой она находилась до начала движения. Такое движение книги назовем плоским.

Вообще плоским движением называют такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Каждую из этих плоскостей можно назвать плоскостью движения тела. Вращение является одним из частных случаев плоского движения тела.

Плоское движение часто встречается в технике. Большинство современных механизмов имеет звенья, совершающие только плоские движения. Такие механизмы называют плоскими.

Плоское движение твердого тела иногда называют плоскопараллельным движением, или движением параллельно неподвижной плоскости. Все эти термины идентичны.

Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек тела

Если тело, находящееся в состоянии плоского движения, пересечь плоскостью, в которой лежит траектория какой-нибудь из его точек, то плоская фигура, получившаяся от пересечения тела, будет передвигаться только в этой плоскости. Движения точек тела, лежащих на перпендикуляре, восставленном к плоскости фигуры, совершенно одинаковы, а потому движение тела может быть охарактеризовано движением фигуры в ее плоскости, и для исследования плоского движения тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, полученной при пересечении тела одной из этих плоскостей. Так, в приведенном примере движение книги вполне определяется движением какой-либо из ее страниц в плоскости, параллельной плоскости стола.

Это обстоятельство позволяет заменить изучение плоского движения тела изучением движения плоской фигуры в ее плоскости.

Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного н относительного вращательного

Пусть плоская фигура (рис. 136) движется в плоскости хОу относительно основной системы координат. Примем какую-либо точку E этой фигуры за начало подвижной системы отсчета и назовем эту точку полюсом. Построим в точке E систему декартовых координат х’Еу’, неизменно связанную с фигурой.
Для определения положения фигуры на плоскости хОу достаточно знать положение системы отсчета х’Еу’, т. е. координаты (х_Е и у_Е) точки Е, и угол, на который повернута фигура, например угол φ между положительными направлениями осей Ox и Ex’. По мере движения фигуры положение подвижной системы координат х’Еу’ относительно неподвижной системы хОу изменяется и, чтобы определить движение фигуры, нужно знать эти величины как некоторые не прерывные однозначные функции времени:

Рис. 136

Эти уравнения являются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости, следовательно, они определяют плоское движение твердого тела.

Обратим внимание на то, что уравнения (112′) и (112″) тождественны с уравнениями (58′) и (58″) движения точки по плоскости или с уравнениями (77) плоского поступательного движения; уравнение же (112″‘) тождественно с уравнением (81) вращения вокруг неподвижной оси. Это наводит на мысль рассматривать движение плоской фигуры как составное движение, состоящее из переносного поступательного движения, определяемого движением полюса Е, и относительного вращательного движения вокруг полюса, точнее, вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому движение плоской фигуры в ее плоскости часто рассматривают как составное и искусственно раскладывают его на два движения, причем переносное обычно выбирают поступательным, а относительное— вращательным.

Такое разложение плоского движения очень удобно и, несмотря на то что оно является чисто искусственным, его широко применяют при решении различных конкретных задач. В частности, преимущества разложения плоского движения на переносное поступательное и относительное вращательное заключаются в том, что при таком разложении кориолисово ускорение всякой точки фигуры равно нулю, а также равны нулю переносные угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а потому угловая скорость и угловое ускорение фигуры в ее относительном вращательном движении вокруг полюса оказываются равными соответственно абсолютным угловой скорости п угловому ускорению фигуры.

Задача №1

Шестеренка радиуса r, катящаяся внутри неподвижной шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг оси О неподвижной шестеренки с угловой скоростью ω₀. При t=0 кривошип расположен вдоль оси Ox (рис. 137). Составить уравнение движения подвижной шестеренки, принимая ее центр за полюс.

Рис. 137

Решение. Шестеренка совершает плоское движение, которое будем рассматривать как составное, состоящее из переносного кругового поступательного движения, определяемого движением точки А, и относительного вращательного движения вокруг точки А. Принятая нами за полюс точка А принадлежит одновременно и шестеренке радиуса r и кривошипу OA. Вращаясь с постоянной угловой скоростью ω₀, кривошип OA за время t повернется от начального горизонтального положения на угол ω_ot и координаты полюса в мгновение t будут:

x = OA cos ω_ot = (R- r) cos ω_ot,

Эти координаты — функции времени, следовательно, написанные равенства представляют уравнения движения полюса А, или, что то же, уравнения переносного поступательного движения шестеренки.

Вращение шестеренки вокруг полюса происходит с иной угловой скоростью ω, чем вращение кривошипа, и, поскольку зацепление внутреннее, — в противоположную сторону. В данном случае кривошип вращается в положительном направлении, а шестеренка—в отрицательном. Предполагается, что шестеренка катится без скольжения, а потому, согласно известной из элементарной физики формуле, передаточное отношение

Заменяя 2 r точек фигуры при ее вращении относительно полюса зависят не только от угла поворота φ фигуры и его производных ω и ε, но также и от расстояния r точек от полюса, а следовательно, и от выбора полюса. Таким образом, хотя угол поворота фигуры, угловая скорость и угловое ускорение фигуры не зависят от выбора полюса, относительные движения, скорости и ускорения точек фигуры зависят от этого выбора.

Рис. 139

Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюса

Скорость точки фигуры в плоском составном движении

Пусть плоская фигура вместе с нанесенными на ней координатными осями х’Еу’ движется в плоскости основной системы координат (см. рис. 136). Пусть К—какая-либо точка плоской фигуры. Ее координаты х’ и y’ не изменяются, потому, что точка К и подвижная система х’Еу’ неизменно связаны с фигурой. Как известно из аналитической геометрии и как видно из рисунка, координаты точки К (х, у) связаны с координатами (x’, у’) той же точки соотношениями

(113)

Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат продифференцируем по времени равенства (113), рассматривая φ как функцию времени:

(114 / )

(114)

Последние члены правых частей выражают согласно формулам Эйлера (79) проекции вращательной скорости точки К при вращении фигуры вокруг полюса.

Следовательно, вектор абсолютной скорости любой точки K плоской фигуры равен геометрической сумме двух векторов: 1) переносной скорости в поступательном движении, равной скорости какой-либо точки Е, неизменно связанной с фигурой и принятой за полюс, н 2) относительной скорости во вращательном движении фигуры вокруг полюса Е. Теорему параллелограмма скоростей для любой точки К плоской фигуры запишем так:

(115)

Относительная скорость vr точки К относительно точки Е, как всякая вращательная скорость, направлена перпендикулярно к EK в сторону вращения фигуры.

Выясним, как зависят скорости точек плоской фигуры от выбора полюса. Абсолютные скорости точек, очевидно, не могут зависеть от выбора полюса: они существуют объективно и обусловлены только физическими причинами. Переносные скорости всех точек равны скорости полюса, а следовательно, зависят от полюса. Относительные скорости точек фигуры равны произведению угловой скорости (не зависящей от полюса) фигуры на их расстояния от полюса.

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек А, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку А, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны произведению угловой скорости ω на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Рис. 140

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек А, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку А, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны произведению угловой скорости ω на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Мгновенный центр скоростей. Пусть какая-либо плоская фигура движется относительно своей плоскости, принятой нами за неподвижную. Будем считать, что эта фигура имеет неограниченные размеры, или, что то же, соединим фигуру неизменно с подвижной плоскостью, которая движется вместе с этой фигурой в той же неподвижной плоскости. Возьмем на фигуре две произвольные точки А и В и к их скоростям υ_А и υ_В (рис. 141, а) восставим перпендикуляры до пересечения в какой-то точке Е. Перпендикуляры к скоростям надо восставлять, разумеется, в точках их приложения, потому что скорость есть вектор прикрепленный.

Рис. 141

Согласно основной теореме (77) кинематики твердого тела проекции скоростей всех точек прямой AE на эту прямую AE равны проекции т. е. равны нулю:

Аналогично равны нулю проекции на BE скоростей всех точек, составляющих прямую BE. Следовательно, скорости точек, составляющих прямые AE и BE, перпендикулярны этим прямым.

Скорость точки E равна нулю, потому что равны нулю ее проекции на две пересекающиеся прямые AE и BE. Назовем эту точку мгновенным центром скоростей и припишем ей индекс мцс:
υ_мцп = 0

В каждое мгновение на подвижной плоскости фигуры может быть только одна точка со скоростью, равной нулю, т. е. только один мгновенный центр скоростей.

Во всякое данное мгновение скорости точек фигуры, совершающей плоское движение, являются вращательными вокруг мцс

Соединим точки A и В прямой (рис. 141, б) и спроецируем на нее скорости точек Aи В:

Опустим перпендикуляр из Emuc на АВ. Тогда, выражая косинусы отношением сторон, получим

(117)

т. е. величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей. Этот вывод можно сделать и из условий неизменяемости фигуры. В самом деле, если фигура движется в своей плоскости, а скорость одной из точек фигуры равна нулю (υ_мцп = 0), то скорости всех прочих точек должны быть пропорциональны расстоянию от мцс.

Таким образом, скорости точек плоской фигуры удовлетворяют сбоим признакам вращательных скоростей: они перпендикулярны и пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей.

Предыдущую пропорцию мы можем переписать так:

где ω —угловая скорость фигуры. Точки А и В взяты произвольно, поэтому полученный результат относится ко всем точкам фигуры.

Если сделанные нами построения не умещаются на площади движущейся фигуры, то это не ограничивает общности доказательств, так как эти построения могут быть сделаны не на фигуре, а на неизменно связанной с фигурой воображаемой подвижной плоскости.

Мгновенный центр скоростей играет важную роль в теории плоского движения. Ознакомимся с некоторыми методами, позволяющими найти эту точку на плоскости.

I. Положение мгновенного центра можно определить аналитически.

Задача №2

Определить координаты мгновенного центра скоростей, если известны уравнения (112) движения плоской фигуры.

Решение. Уравнения (114) выражают проекции скорости любой точки, координаты которой х и у. Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, обозначив его координаты через x_мцп и y_мцп, подставим в уравнения (114) вместо скорости точки нуль, а вместо координат точки —координаты мгновенного центра скоростей:

откуда непосредственно получим координаты мгновенного центра скоростей.

Ответ. ; . (118)

В этих равенствах х_Е и у_Е—координаты любой точки фигуры, a υ_Fx и υ_Ey — проекции абсолютной скорости той же точки.

II. Если известны угловая скорость ω фигуры и линейная скорость υ_k какой-либо одной точки К фигуры, то положение мгновенного центра скоростей можно определить, рассматривая скорость vκ как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей E_мцс. Мы найдем эту точку E_мцс, отложив от точки К перпендикулярно к скорости υ_k отрезок .

В самом деле, вращательная скорость точки перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющей эту точку с центром, а длина этого отрезка равна отношению вращательной скорости точки к угловой скорости. Прямой угол между направлением скорости и перпендикуляром KE_мцс должен быть положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным, если фигура вращается по часовой стрелке.

Задача №3

Диск радиуса r = 20 см (см. рис. 137, стр. 217), катящийся с угловой скорость ω=—50 ceκ -l внутри неподвижного обода радиуса R = 60 см, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг центра О неподвижного обода с угловой скоростью ω₀ = 25 ceκ -l . Найти мгновенный центр скоростей диска.

Решение. Известна угловая скорость диска и может быть определена скорость хотя бы одной из его точек. Такой точкой является палец А кривошипа OA. Точка А принадлежит не только диску, но и кривошипу, а потому ее скорость перпендикулярна к кривошипу и по модулю равна

Рассматривая скорость точки А как вращательную скорость точки диска вокруг его мгновенного центра скоростей, отложим перпендикулярно к ее скорости отрезок . Диск вращается по часовой стрелке, и, чтобы определить, в какую сторону надо восставить перпендикуляр к скорости , мы должны повернуть вектор на 90° по вращению часовой стрелки.

Ответ. Мгновенный центр находится в точке касания диска и неподвижного обода.

Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек фигуры

III. Распределение скоростей точек фигуры таково, как будто фигура вращается в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей. Вращательные скорости точек перпендикуляр ны к радиусам траекторий этих точек, а все радиусы пересекаются в центре. Поэтому, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно восставить перпендикуляры к направлениям скоростей каких-либо точек фигуры. Точка их пересечения является мгновенным центром скоростей. Перпендикуляры к направлениям скоростей точек
надо восставлять, разумеется, в этих точках, так как скорость есть вектор закрепленный.

Задача №4

Стержни (рис. 142, a) O₁A и O₂B, соединенные со стержнем AB посредством шарниров А и В, могут вращаться вокруг неподвижных точек O1 и O2, оставаясь в одной плоскости (шарнирный четырехзвенник). Даны: длина кривошипа O₁A и его угловая скорость ω₁; длина коромысла O₂B и углы φ₁ и φ₂, которые шатун AB образует с кривошипом и с коромыслом при данном положении механизма.

Найти построением ту точку D шатуна, скорость которой в данное мгновение направлена вдоль шатуна, определить величину этой скорости и угловую скорость ω₂ коромысла O₂B как функции углов φ₁ и φ₂.

Решение. Механизм состоит из четырех твердых звеньев (включая и станину O₁O₂); естественно, что угловые скорости различных звеньев могут быть различны.

Шарнир А принадлежит кривошипу O₁A (рис. 142, б), его скорость перпендикулярна к O₁A и по модулю равна υ_А = ω₁O₁A. Шарнир В принадлежит коромыслу O₂B, и потому его скорость υ_B (неизвестная по величине) направлена перпендикулярно к O₂B.

Но те же точки А и В принадлежат шатуну АВ, а следовательно, их скорости υ_А и и υ_B можно рассматривать как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Перпендикуляры, восставленные в точках А и В к направлениям их скоростей, пересекаются в точке E_мцс (рис. 142, в), где, следовательно, и находится мгновенный центр скоростей. Скорость каждой точки шатуна перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющему эту точку с мгновенным центром скоростей, и пропорциональна длине этого отрезка. Чтобы

Рис. 142

найти точку D, скорость которой направлена вдоль АВ, опустим перпендикуляр E_мсцD нз точки E_мсц на эту прямую. Величина скорости υ_D=ωE_мсцD, где ω — угловая скорость звена АВ, определить которую можно по известной скорости шарнира А:

Подставляя это значение ω в предыдущее равенство, найдем

но из прямоугольного треугольника ADE_мсц имеем

Чтобы определить угловую скорость коромысла O₂B, найдем модуль скорости точки В, принадлежащей шатуну:

Угловую скорость ω₂ коромысла определим по скорости υ_В, так как точка В принадлежит и коромыслу:

Применяя теорему синусов, получим ответ.

Ответ.

Задача №5

Найти мгновенный центр скоростей звена BD (рис. 143, а) для случая, когда: 1) φ₁ = 45 o ; 2) φ₁₂ = 90 o ; 3) φ₁=0 o .

Решение. В этом плоском механизме звено BD продето в качающуюся шайбу C и, двигаясь в плоскости чертежа, постоянно проходит через неподвижную точку С. Следовательно, скорость той точки звена BD, которая в данное мгновение совпадает с точкой С, направлена вдоль звена BD. Точка В (палец кривошипа) описывает окружность с центром в точке А, и ее скорость всегда перпендикулярна к АВ.

1. Рассмотрим первое заданное положение механизма и нанесем на чертеж (рис. 143, б) скорости точки В и точки звена BD, совпадающей при данном положении механизма с точкой С. Восставляя перпендикуляры к скоростям в точках В и С, найдем в точке их пересечения мгновенный центр скоростей звена В.

2. При φ₁₂ = 90 o (рис. 143, в) перпендикуляры, восставленные в точках В и C к направлениям скоростей, становятся параллельными между собой и мгновенный центр скоростей уходит в бесконечность. При даином положении механизма распределение скоростей точек звена BD не соответствует такому, какое бывает при вращательном движении, угловая скорость звена равна нулю, линейные скорости всех точек звена одинаковы.

3. Третье заданное положение механизма изображено на рис. 143, г. Как и в предыдущих случаях, восставляем перпендикуляры к скоростям точки В и к прямой ВС. Перпендикуляры пересекаются в точке С, следовательно, при данном положении механизма мгновенный центр скоростей звена BD находится в точке С. Скорость той точки звена, которая совпадает с точкой С, в данное мгновение равна нулю. Рассматриваемое положение звена называется «крайним положением» (или «мертвым положением»), Картина распределения скоростей точек звена BD в данном положении такова, как будто оно вращается вокруг точки С.

Рис. 143

Ответ. 1) на пересечении линии AB и перпендикуляра, восставленного в точке C к линии ВС; 2) в бесконечности в направлении АВ; 3) в точке С.

Задача №6

Прямая движется в плоскости. Показать, что величина скорости той точки прямой, которая ближе всех отстоит от мгновенного центра скоростей, равна проекции скорости любой другой точки прямой на эту же прямую (рис. 144).

Рис. 144

Решение. Дано: прямая, мгновенный центр скоростей E_мцс и угловая скорость ω этой прямой. Опустив из точки E_мцс перпендикуляр на данную прямую, определим точку D (см. рис. 144) прямой, находящуюся на кратчайшем расстоянии от мгновенного центра скоростей. Скорость точки D равна υ_D=ω . E_мцс D и направлена перпендикулярно к E_мцсD, т. е. по данной прямой.

Возьмем на той же прямой какую-либо другую точку А. Скорость точки А перпендикулярна к АЕ_мцс и равна

Как видно из чертежа,

Так как точку А мы выбрали на прямой совершенно произвольно, то, следовательно, полученное равенство справедливо для всякой точки прямой.

Ответ. Проекции скоростей всех точек прямой на эту прямую равны между собой.

Задача №7

Линейка эллипсографа AB (см. рис. 89 на стр. 139) совершает карданово движение, причем ползун А линейки движется по оси Оу, а ползун В—по оси Ох. При каком положении линейки скорость ползуна А вдвое больше скорости ползуна В?

Решение. Эту задачу, уже решенную нами ранее (см. № 43 на стр. 139, № 57 на стр. 160), можно просто решить, пользуясь мгновенным центром скоростей. Восставим перпендикуляры в точках A и В к направлениям их скоростей. Перпендикуляры пересекутся в точке E_мсц — мгновенном центре скоростей линейки (эти построения на рис. 88 не сделаны). Величины скоростей точек линейки пропорциональны расстоянию этих точек от точки Е_мцс. Чтобы выполнялось условие υ_А=2u_B, точка А должна отстоять от точки E_мсц вдвое дальше, чем точка В, а так как OAE_мсцB является прямоугольником, то х_B = 2у_A.
Ответ. х_B = 2у_A

При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касания

IV. При решении задач бывает полезно иметь в виду, что если какая-либо плоская фигура катится по другой плоской фигуре, лежащей с ней в одной плоскости (например, подвижная шестеренка катится по неподвижной), то скорость точки катящейся фигуры, находящейся в данное мгновение в соприкосновении с неподвижной фигурой, должна быть равна нулю, если, конечно, качение не сопровождается проскальзыванием или пробуксовыванием. А так как в каждое мгновение на фигуре, совершающей плоское движение, имеется только одна точка со скоростью, равной нулю (мгновенный центр скоростей), то, следовательно, он и находится в точке касания.

Пусть, например, колесо катится по прямолинейному рельсу (рис. 145). Рассмотрим движение колеса как составное, состоящее из переносного поступательного движения вместе с осью колеса О и относительного вращательного движения вокруг этой оси. На рис. 145, а изображены переносные скорости некоторых точек колеса, а на рис. 145, б—вращательные скорости тех же точек относительно центра колеса. В случае качения без скольжения и без буксования вращательная скорость точек, лежащих на ободе колеса, по модулю равна скорости оси, так как при повороте колеса на один полный оборот его ось переместится на 2πr, а точки обода опишут в их относительном вращательном движении окружности той же длины. Абсолютные скорости точек колеса изображены на рис. 145, в. Эти абсолютные скорости можно получить как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой касания колеса и рельса (рис. 145,г).

Мгновенный центр скоростей лежит на самой катящейся фигуре или на неизменно с ней связанной подвижной плоскости. Точку, совпадающую с мгновенным центром скоростей, но лежащую на неподвижной плоскости, по которой движется фигура, называют мгновенным центром вращений. В рассмотренном примере мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса, а мгновенный центр вращений—на рельсе.

Задача №8

Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом (рис. 146, а): стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси O₁ с угловой скоростью ω₄. На конце O₂ стержня находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса r₂. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса r₃. При этом благодаря трению колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса r₁, свободно насаженное на ось O₁ и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу r₃ наружной неподвижной обоймы найти такое значение r_l, чтобы выполнялось соотношение , т. е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.

Решение. В этом плоском механизме колесо II катится без скольжения по неподвижному колесу III и мгновенный центр скоростей колеса II находится в точке их касания (рис. 146, б). Палец O₂ принадлежит стержню IV, и его скорость

Та же точка O₂ принадлежит колесу II, что позволяет определить его угловую скорость:

Теперь нетрудно определить скорость точки В касания колес I и II. Эта точка отстоит от мгновенного центра скоростей на расстоянии 2_r2, т. е. в два раза дальше, чем точка O₂, поэтому и скорость ее вдвое больше:

Рис. 146

Та же точка В принадлежит колесу I (рис. 146, в) и для определения угловой скорости этого колеса надо поделить окружную скорость на его радиус:

откуда

Это отношение должно равняться 12, т. е.

Но нам задан радиус rs неподвижного обода III. Как видно из чертежа (см. рис. 146, a) r₃ = r₁ + 2r₂.
Решая совместно два последних соотношения, получим ответ.
Ответ.

Задача №9

Доказать теорему: если скорости υ_А и υ_B двух точек А и В плоской фигуры перпендикулярны к прямой АВ, соединяющей эти точки, то мгновенный центр скоростей делит отрезок А В на части, пропорциональные величинам скоростей внешним образом, когда скорости направлены в одну сторону, или внутренним образом, когда скорости направлены в противоположные стороны.

Доказательство. Движение фигуры плоское. Мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой АВ, так как скорости перпендикулярны к прямым, соединяющим их точки приложения с мгновенным центром скоростей (рис. 147, а). Вращение фигуры может происходить в данное мгновение лишь в одну сторону (на нашем рисунке—по часовой стрелке), поэтому’ мгновенный центр скоростей должен лежать по одну сторону от точек А и В, если их скорости направлены одинаково, и между ними, если скорости противоположны (рис. 147, б). В обоих случаях скорости точек пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей:

что и требовалось доказать.

Ответ.

Рис. 147

При плоском движении фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной

Центроиды**. В различные моменты времени мгновенный центр скоростей находится в различных точках. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. совокупность всех точек, в которых за время движения находился мцс, называют центроидой. Покажем, что центроида является непрерывной линией и мцс всегда перемешается из точки, в которой он в данное мгновение находится, в какую-нибудь соседнюю, смежную точку.

Пусть в мгновение t мцс находился где-либо в точке А, а через промежуток времени Δt переместился в точку B. В мгновение t₁=t + ∆t точка А уже не является мгновенным центром скоростей и имеет скорость υ_A = ω∙AB, направленную перпендикулярно к АВ. Если промежуток времени Δt мал, то скорость, приобретенная точкой А к моменту t+Δt, тоже должна быть мала, потому что скорости точек фигуры не могут изменяться скачками. При ∆t, стремящемся к нулю, скорость υ точки А тоже стремится к нулю, а так как угловая скорость ω фигуры нулю не равна, то, следовательно, к нулю стремится АВ, т. е. мгновенный центр скоростей во время движения фигуры перемещается непрерывно. Если мы отметим все точки фигуры, которые были или будут мгновенными центрами скоростей, то получим некоторую непрерывную кривую.

Положения мгновенных центров скоростей можно отметить и на подвижной плоскости х’Еу’, неизменно связанной с фигурой, и на неподвижной плоскости хОу. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на подвижной плоскости называют подвижной центроидой. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости (мгновенных центров вращений) называют неподвижной центроидой. В рассмотренном выше примере качения колеса по рельсу подвижной центроидой является обод колеса, а неподвижной центроидой—рельс.

Покажем, что при всяком плоском движении подвижная ueπτpo∙ ида катится без скольжения по неподвижной.

Предположим, что кроме точек фигуры имеется одна геометрическая точка, назовем ее следящей точкой, которая не принадлежит этой плоской фигуре и движется относительно нее, совпадая в каждое мгновение с мгновенным центром скоростей. Скорость следящей точки в ее движении по центроиде называют сменной скоростью мгновенного центра скоростей. Следовательно, подсменной скоростью мгновенного центра скоростей понимают ту скорость, с которой передается от мгновенного центра скоростей смежной по центроиде точке основное его свойство—иметь в данное мгновение скорость, равную нулю.

Во время движения фигуры следящая точка перемещается и относительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсолютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по подвижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая E₁E₁—подвижную. Предположим, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей пересекаются.

Рис. 148

В таком случае вектор абсолютной сменной скорости должен быть направлен по касательной к неподвижной центроиде, а вектор относительной сменной скорости по касательной к подвижной центроиде. По закону параллелограмма скоростей

Переносной скоростью называют абсолютную скорость той точки среды (в данном случае фигуры), с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка. В данном случае переносная скорость следящей точки есть скорость мгновенного центра скоростей. Следовательно

Мы доказали, что сменная скорость следящей точки по неподвижной центроиде геометрически равна ее сменной скорости по подвижной центроиде. Это означает, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей имеют общую касательную, т. е. не пересекаются, а лишь соприкасаются в этой точке. Наше предположение о пересечении центроид оказалось неправильным и рис. 148, а должен быть заменен рисунком 148, б. Из равенства абсолютной и относительной сменных скоростей следует, что за одни и те же промежутки времени следящая точка передвигается по подвижной и неподвижной центроидам на одинаковые расстояния, т. е., что при движении плоской фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.

Задача №10

Эллипсограф (рис. 149) состоит из линейки AB длиной l, ползуны А и В которой скользят в пазах крестовины. При движении линейки точки ее описывают эллипсы. Указать другой механизм, в котором отрезок AB=l совершает точно такое же движение.

Рис. 149

Решение. Движение линейки AB плоское, а следовательно, оно может быть осуществлено качением подвижной центроиды по неподвижной. Примем прорези крестовины за оси основной системы координат хОу. Подвижную систему координат х’Еу’ свяжем с линейкой, взяв за начало ее середину Е. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к скоростям точек А и В (см. задачу № 89), и, как видно из чертежа, находится на расстоянии OE_мцс= Z от точки О и на расстоянии от середины линейки, причем эти расстояния сохраняются при всяком положении линейки. Следовательно, подвижная центроида, т. е. геометрическое место Emuc относительно подвижной системы х’Еу’, есть окружность

радиуса с центром в Е, а геометрическое место Е_мцс относительно основной системы хОу есть окружность

радиуса I с центром в О.

Если мы сделаем две зубчатые шестерни с внутренним зацеплением радиусов l и и заставим меньшую из них бегать внутри неподвижной большей, то ее диаметр будет совершать такое же движение, какое совершает линейка AB эллипсографа. Такой механизм называют кругами Лагира. На этом примере читатель убедится, как знание теории может помочь при конструировании машин.

Ответ. Круги Лагира.

Скорости точек плоской фигуры можно определить графически планом скоростей

План скоростей. На рисунке 150, а изображена фигура, находящаяся в плоском движении и скорости υ_А и υ_В двух ее произвольных точек А и В. Напомним, что проекции скоростей этих точек на прямую AB равны между собой. От какой-либо точки О, не принадлежащей этой фигуре (рис. 150, б), отложим направленные отрезки и , проведем прямую, параллельную отрезку AB и спроецируем их на эту прямую. По основной теореме кинематики твердого тела в треугольнике Oab сторона ab перпендикулярна направлению АВ. Воспользуемся этим обстоятельством для графического построения, называемого планом скоростей и позволяющего определить скорости всех точек фигуры, если известна скорость одной точки А (рис. 150, в), и хотя бы только направление скорости другой точки В.

Построим план скоростей (рис. 150, г), приняв произвольную точку О за полюс плана скоростей, т. е. за центр плоского пучка абсолютных скоростей точек фигуры. Отложим от полюса луч Oa, равный в некотором масштабе скорости , проведем через полюс прямую, параллельную направлению скорости точки В, а из точки а до пересечения с ней —отрезок ab перпендикулярно направлению АВ, проведенному на фигуре (см. рис. 150, в). Направленный отрезок Ob изображает в том же масштабе вектор скорости точки В.

Пусть скорость точки К фигуры не известна ни по величине, ни по направлению. Соединим точку К с точками A и B фигуры, скорости которых известны (см. рис. 150, в). На плане скоростей (см. рис. 150, г) проведем от точки а линию, перпендикулярную направлению AK на фигуре. По только что доказанному, конец направленного отрезка Ok, изображающего скорость точки К, должен лежать на этом перпендикуляре.
Проведем от точки b плана скоростей прямую, перпендикулярную направлению BK на фигуре, и повторим наши рассуждения: конец направленного отрезка Ok должен лежать и на этом перпендикуляре.

Рис. 150

Следовательно, точка k плана скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек а и b к направлениям AK и BK, а отрезок Ok плана скоростей изображает скорость точки К фигуры.
Отсюда можно вывести следующий графический метод определения скоростей точек фигуры при плоском движении (см. рис. 150, в, г).
Если известна скорость одной точки А фигуры и направление скорости другой точки В, то для определения скорости всякой точки К фигуры надо:

• 1) от произвольной точки О (полюса плана скоростей) отложить направленный отрезок Oa, изображающий скорости точки А;
• 2) через полюс О провести направление, параллельное направлению скорости точки В;
• 3) от точки а плана скоростей провести прямую, перпендикулярную отрезку АВ, соединяющему точки Л и В фигуры, до пересечения в точке b с указанным в п. 2 направлением. Отрезок Ob изобразит скорость точки В;
• 4) от точки а плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку AK на фигуре, а от точки b плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку BK на фигуре до их пересечения в точке k. Отрезок Ok изобразит скорость точки К;
• 5) многоугольник abk . плана скоростей подобен многоугольнику A, B, K . фигуры и повернут относительно него на 90°, так как стороны их взаимно перпендикулярны.

Поскольку отрезки Oa, Ob, Ok, . соединяющие полюс 0 с вершинами a, b, k, . плана скоростей, изображают абсолютные скорости точек А, В, К, • • •, очевидно, что отрезки ab, ak, bk, . изображают в том же масштабе относительные скорости этих точек.

Таким образом, план скоростей плоской фигуры представляет собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек плоской фигуры, а отрезки, соединяющие концы лучей,—относительные скорости соответствующих точек. План скоростей можно построить не только для неизменяемой фигуры, но и для целого механизма, как это показано при решении задачи № 93.

Задача №11

Определить скорости точек А, В и D механизма, изображенного на рис. 151, а, в положении φ = 30 o и при следующих данных: ω = 20 сек -1 , OA = 50 мм, OC=200 мм, АВ=250 мv, BD = 200 мм.

Рис. 151

Решение. Прежде чем строить план скоростей, нужно точно в масштабе построить план механизма при заданном положении. От точки О’ (рис. 151, б) откладываем перпендикулярно к OA в масштабе отрезок O’a=υ_А-= 20 . 50=1000 мм/сек. На нашем рисунке принят масштаб: 1000 мм/сек = 25 мм. Скорость точки звена АВ, совпадающей при данном положении механизма с точкой С, направлена по АВ. Поэтому от полюса О’ отложим параллельно AB на правление этой скорости, а от точки а проведем перпендикуляр к этому направлению. В пересечении получим точку с. Отрезок acb плана скоростей подобен отрезку ACB механизма. Точку b плана находим по подобию, сохраняя те же пропорции.

Проводим от точки а направление перпендикулярно к AD, а от точки b — направление перпендикулярно к BD и в пересечении находим точку d.

Полученная на плане фигура acbd подобна фигуре ACBD механизма. Скорости точек механизма по величине и направлению изображаются отрезками, соединяющими полюс плана О’ с соответствующими точками плана скоростей.

Ответ. υ_А =1000 мм/сек, y_В = 450 мм/ сек, у_D= 1040 мм/сек.

Задача №12

Скорость топки А фигуры, движущейся в своей плоскости, изображена в заданном масштабе вектором υ_А (рис. 152, а). Указано направление скорости точки В. Определить графически скорости точек В и С.

Решение. Задачу решим тремя способами. Все эти три способа графические и результат зависит от точности выполнения чертежей.

1-й способ (по основной теореме кинематики твердого тела). Проведем прямую AB через точки А и В (рис. 152, б) и спроецируем на нее вектор скорости υ_А. От точки В по этой прямой отложим отрезок, равный проекции на нее υ_А и от конца этого отрезка восставим перпендикуляр до пересечения с направлением скорости точки В. Вектор скорости точки В определен.

Проведем прямую через точку А и С. Спроецируем на нее υ_A, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции, и от конца его восставим перпендикуляр к АС. Проведем прямую через точки В и С, спроецируем на нее υ_B, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции и от его конца восставим перпендикуляр к ВС. Проводим вектор υ_C от точки C до пересечения перпендикуляров.

2-й способ (по плану скоростей) . От произвольной точки О отложим направленный отрезок Oa-υ_А (рис. 152, в). От той же точки О проведем прямую, параллельную вектору скорости точки В До пересечения с этой прямой в какой-то точке b проведем от точки а отрезок ab перпендикулярно АВ. Вектор скорости точки В представлен отрезком Ob.
От точки а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а от точки b, перпендикулярную ВС. Эти прямые пересекутся в какой-то точке с. Отрезок Oc по величине и направлению представляет скорость точки С.

3-й способ (по мгновенному центру скоростей). От точек A и В восставим перпендикуляры к направлениям скоростей до нх пересечения в мгновенном центре скоростей E_мцс . Соединим E_мцс с концом а вектора υ_А. Тангенс угла δ между отрезками Emuc Л и E_мцс а, соединяющими Emuc с началом Лис концом а вектора скорости какой-либо точки A фигуры, равен в принятом масштабе угловой скорости фигуры:

Проведя отрезок E_мцс b под углом δ к отрезку E_мцс В до Пересечения с заданным направлением вектора скорости υ_B, определим скорость.

Для определения скорости всякой точки C фигуры надо провести отрезок E_мцс C и под углом δ к нему отрезок E_мцс с до пересечения в точке с с перпендикуляром, восставленным в точке C к отрезку E_мцс C. Вектор скорости .

Ускорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюса

Ускорение точек фигуры при плоском движении*. Чтобы определить ускорение точки К плоской фигуры, надо продифференцировать равенства (114), выражающие скорость этой точки. Введем обозначения: х₁ = х—х_Е и y₁ = y—у_F и перепишем эти равенства в следующем виде:

По формулам Эйлера (см. 89)

Подставляя, находим
(119)

В правых частях этих равенств согласно (95) вторые члены выражают проекции касательного, а третьи —проекции центростремительного ускорения точки К во вращательном движении фигуры относительно полюса Е. Они отличаются от известных нам равенств (95) только тем, что в данном случае ось вращения проходит не через начало координат О, а через полюс E (рис. 153).

Рис. 153

Эти равенства показывают, что проекции на какую-либо неподвижную ось ускорения каждой точки К фигуры равны алгебраической сумме проекций на эту ось трех его составляющих: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращении фигуры вокруг полюса E и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры.

Если вместо алгебраической суммы проекций мы пожелаем взять геометрическую сумму ускорений, то вектор ускорения точки K мы определим как сумму трех векторов: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращательном движении фигуры вокруг полюса и центростремительного ускорения точки K в том же движении фигуры, т. е.

(104 // )

где, обозначив через r₁ расстояние данной точки от полюса Е, имеем

Задача №13

Электропоезд при отходе со станции движется по прямолинейному участку пути с ускорением 3 м/сек 2 , причем колеса катятся без буксования и без скольжения. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса через 2 сек после отхода поезда, если радиус колеса 0,5 м.

Решение. Мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса в точке касания его с рельсом. Движение колеса рассмотрим как составное, состоящее из переносного (поступательного и прямолинейного) движения вместе с центром E колеса и относительного вращательного вокруг оси колеса (рис. 154).

Рис. 154

Скорость поезда, а следовательно, и скорость точки E через 2 сек при равноускоренном движении равна υ-a-rt = 6 м/сек.
Деля эту величину на расстояние точки E от мгновенного центра скоростей E_мцс, находим угловую скорость колеса в конце второй секунды:

Определим также угловое ускорение колеса:

Теперь мы располагаем всеми данными для определения ускорения точек колеса по формуле (104»). Ускорение мгновенного центра скоростей, как и всякой точки колеса, выражено суммой трех составляющих: 1) переносного ускорения ае, равного ускорению полюса Е, но приложенного в данной точке E_мцс (величина ускорения задана 3 м/сек 2 ; если поезд движется влево, то и ускорение направлено горизонтально влево, см. рис. 154); 2) касательного ускорения точки при вращении колеса вокруг центра Е; эта составляющая равна εr = 6 . 0,5 =3 м/сек 2 . Если поезд движется влево, то колеcа вращаются против вращения часовой стрелки и эта составляющая ускорения в нижней точке колеса направлена вправо по касательной; 3) центростремительного ускорения, равного ω 2 r= 144 . 0,5 = 72 м/сек 2 и направленного к центру колеса.

Направления этих двух составляющих у всех точек обода колеса различны. В наинизшей точке абсолютное ускорение найдем, складывая три его составляющие. Оно равно 72 м/сек 2 и направлено вверх. Абсолютная скорость мгновенного центра скоростей в данное мгновение равна нулю, абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей нулю не равно.
Ответ. а = 72 м/сек 2 и направлено вверх.

Обратим внимание на то, что точка фигуры (в данном случае колеса), в которой находится мгновенный центр скоростей, не имеет скорости (υ_мцс =0), но имеет ускорение (α_мцс≠0). Через весьма малый промежуток времени Δt эта же точка фигуры будет иметь некоторую скорость Δυ = α_мцсΔt, перпендикулярную к прямой, соединяющей ее с новым положением мгновенного центра скоростей, т. е. перпендикулярную к общей касательной к центроидам. То же направление всегда имеет и α_мцс.

Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры

Мгновенный центр ускорений при плоском движении

Итак, ускорения точек фигуры складываются из переносного ускорения в поступательном движении вместе с полюсом E и из относительного ускорения во вращательном движении вокруг полюса Е. В поступательном движении ускорения всех точек фигуры одинаковы и равны ускорению полюса Е. Во вращательном движении ускорения всех точек фигуры различны между собой. Если фигура в данное мгновение имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε, то ускорение какой-либо точки K, принадлежащей этой фигуре, по модулю равно:

и составляет с отрезком ЕK угол μ, тангенс которого

Таким образом, различные точки К фигуры имеют при вращении фигуры различные по величине и по направлению ускорения. На всей фигуре нет двух точек с одинаковыми векторами ускорений.

Вместе с тем на самой фигуре или на плоскости, вращающейся вместе с нею, во всякое мгновение есть одна точка, имеющая любой, наперед заданный нами, вектор ускорения a_r. В частности, всегда можно найти на плоскости фигуры такую точку, у которой в данное мгновение вектор ускорения в относительном вращательном движении равен и противоположен вектору ускорения в переносном поступательном движении, а следовательно, абсолютное ускорение этой точки равно нулю. Ее называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Мы будем приписывать ей индекс мцу.

Рис. 155

Чтобы определить положение мгновенного центра усорений Е_мцу на плоскости фигуры, отложим (рис. 155, а) от полюса E (за полюс может быть принята любая точка фигуры) отрезок EE_мцу определенной длины:

Пусть этот отрезок составляет с ускорением полюса E угол

Угол μ лежит в пределах между —90° и +90 o . Конечно, если ε > 0, то угол μ надо отмерять в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, если же ε / )

Следовательно, картина распределения ускорений на время dt такова, как будто бы фигура вращается в своей плоскости вокруг Емцу с угловой скоростью ω и с угловым ускорением ε. Это не относится к их нормальным и касательным составляющим, как показано в задаче № 97.

В виду того, что угол μ между абсолютным ускорением точки фигуры и отрезком, соединяющим эту точку с Е_мцу, для всех точек фигуры один и тот же, надо сделать заключение, что Е_мцу находится на пересечении прямых, проведенных под углом к ускорениям точек фигуры (рис. 155, б). Если известны ускорения двух точек фигуры и угол μ, то надо от этих точек под углом μ к их ускорениям провести прямые до их пересечения в точке Е_мцу. В задаче № 96 дан аналитический способ определения Е_мцу.

Задача №14

Определить координаты мгновенного центра ускорений плоской фигуры, если известны ее угловая скорость, угловое ускорение, а также координаты х_Е и у_Е и проекции ускорений а_Ех и а_Еу одной из точек E этой фигуры.

Решение. Проекции ускорений каждой точки К связаны с координатами x_l = x—х_Е и у₁=у — у_Е. этой точки соотношениями 119 (см стр. 235). Ускорение мгновенного центра ускорений равно нулю, поэтому, заменяя в 119 х и у на х_мцу и Умиу и подставляя нули вместо а_х и а_у, получим:

Умножая первое из этих равенств на ω 2 , а второе на —ε и складывая, найдем х_мцу, а умножая первое равенство на +ε, а второе на ω 2 и складывая, найдем ординату.

Задача №15

В планетарном механизме шестеренка радиуса R =100 мм (рис. 156, а) катится против хода часовой стрелки по неподвижной шестеренке радиуса R₁ = 480 мм , имея в данное мгновение угловую скорость ω = 2ceκ -1 и угловое ускорение ε= 1,655 ceκ -2 . Найти построением мгновенный центр ускорений, его координаты (по формулам, выведенным в задаче № 96), найти полное, нормальное и касательное ускорения центра шестеренки О, мгновенного центра скоростей E_мцс и диаметрально противоположной точки А. Определить абсолютное нормальное и абсолютное касательное ускорения точки А.

Решение. Мгновенный центр скоростей находится в точке E_мцс касания шестерен. Окружность подвижной шестерни является подвижной центроидой, а окружность неподвижной шестерни —неподвижной центроидой Построим оси координат с началом в E_мцс, направив ось абсцисс влево, т. е. в ту сторону, куда передвигается точка касания центроид при качении подвижной центроиды по неподвижной. Ось ординат направим вниз (правая система).

Скорость центра О подвижной шестеренки определим по угловой скорости фигуры и по расстоянию точки О от мгновенного центра скоростей

Определим касательное ускорение точки О:

Точка О описывает окружность радиуса R+ R₁= 100 + 480 = 580 мм и вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности, описываемой точкой О. Величину нормального ускорения определим, поделив квадрат скорости точки О на радиус описываемой ею окружности

направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.

Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, построенного на этих составляющих и по модулю равен:

Зная ω, ε и ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сначала по схеме (110′), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновенного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).

Полное абсолютное ускорение точки E_мцс равно геометрической сумме составляющих. Относительное касательное ускорение равно по величине и противоположно по направлению переносному касательному, их сумма равна нулю. Относительное нормальное направлено по одной прямой, но в противоположную сторону с переносным нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение точки E_мцс по величине равно

и направлено к точке О, т. е. по оси ординат в отрицательную сторону. Следовательно:

Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.

Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол μ:

По таблицам определяем

Повернув вектор ускорения а_мцу на этот угол против хода часовой стрелки (потому что в > 0), отложим в найденном направлении отрезок (рис. 156, а)

Конец E_мцу этого отрезка является мгновенным центром ускорений подвижной шестеренки в данное мгновение. Координаты этой точки в выбранной нами системе отсчета можно определить непосредственно по чертежу или же подсчитать по общим формулам, полученным при решении предыдущей задачи № 96,

Теперь для определения ускорения точки А надо знать только ее расстояние от E_мцу. Это расстояние легко определить по формуле аналитической геометрии или по теореме косинуса:

Извлекая корень, находим

Остается лишь подсчитать по формулам относительное нормальное ускорение

и отложить его от точки А по направлению к E_мцу, затем подсчитать относительное касательное ускорение

и отложить его перпендикулярно к E_мцу, сообразуясь со знаком. Полное относительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непосредственно подсчитать по формуле

и отложить вектор под углом μ (в нашей задаче +22 o 30 , ) к отрезку AE_мцу.

Движение плоской фигуры мы рассматривали как составное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг полюса, приняв за полюс мгновенный центр ускорений. При таком условии переносное ускорение и ускорение Кориолиса равны нулю и в схеме (110′) остается только одна ее часть. Полное относительное ускорение становится тождественным полному абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное нормальное ускорение и абсолютное касательное ускорение точки, мы должны спроецировать это полное ускорение точки на прямую, соединяющую эту точку с мгновенным центром скоростей (а не ускорений), и на прямую, ей перпендикулярную, т. е. надо спроецировать ускорение на главную нормаль к абсолютной траектории точки и на направление абсолютной скорости. Схема (ПО’) принимает вид:

Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала по теореме синусов угол между направлениями на E_мцс и E_мцy ν=12 o 45′ и затем

Приняв E_мцy за полюс, мы достигли того, что абсолютное ускорение всякой точки фигуры стало равно ее относительному ycκopeнию. Но мы должны помнить, что нормальная и касательная составляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное движения точек. Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О в абсолютном движении описывает окружность радиусом R + R_{1 =} 580 мм с центром в точке O₁, а в относительном движении движется вокруг E_мцy по дуге радиуса ОE_мцy, точка А в абсолютном движении описывает гипоциклоиду, а в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром E_мцy.

Понятия о мгновенном центре скоростей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но связанные с ними картины распределения скоростей и ускорений не отображают полностью реальное движение фигуры. Это происходит потому, что вводя эти понятия мы рассматривали движение лишь в данное мгновение, при данном положении тела, т. е. пытались рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования— времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.

План ускорений

Решение задач на тему: ускорение.

Задача №16

Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгновенного центра ускорений E_мцy и вектор ускорения одной точки А фигуры. Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отрезок АВ, точка E_мцy и вектор a_A.

Рис. 157

Решение. Проведя прямую АE_мцy, мы получим угол μ, который составляет ускорения всех точек фигуры с прямыми, соединяющими эти точки с E_мцy. Под таким же углом μ должен быть наклонен искомый вектор a_В к отрезку ВE_мцy. Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем вектор a_A на угол μ до его совпадения с отрезком AE_мцy, когда конец повернутого вектора будет в точке A₁. Из точки А, параллельно AB проведем прямую A₁B₁ до пересечения в точке B₁ с BE_мцy. Из подобия треугольников ABE_мцy и A₁В₁Е_мцy заключаем, что отрезок BB₁ представляет модуль ускорения точки В а_В = BE_мцy в том же масштабе, в котором отрезок AA₁ выражает модуль ускорения а_А = AE_мцy. Для получения вектора ускорения точки В остается лишь повернуть отрезок BB₁ на угол μ.

Примечание. Метод, примененный при решении этой задачи, является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положение Е_мцу. Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном положении Е_мцу, лишь бы были известны ускорения двух точек фигуры, или ускорение одной точки, направление ускорения другой точки и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка АВ. Для этого отложим от Е_мцу направленные отрезки

Соединив точки а и b, мы получим треугольник ABE_мцу заштрихованный на чертеже и подобный треугольнику ABE_мцу. Действительно оба треугольника имеют по равному углу (AE_мцуB = aE_мцуb)> заключенному между пропорциональными сторонами, причем треугольник abE_мцу повернут относительно треугольника ABE_мцу на угол 180 o -μ. Заштрихованный треугольник называют планом ускорений фигуры, неизменно связанной с отрезком АВ. Существует определенное взаимное соответствие между фигурой и ее планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какие-либо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне определенный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относительно него на угол 180°—μ.

Заметим, что наше построение не нарушится, если при построении заштрихованного треугольника мы возьмем вершину не в E_мцу, а в любой точке е неподвижной плоскости. Точку е называют полюсом плана ускорений. Применение плана ускорений к определению ускорений точек фигуры показано в задаче № 99.

Задача №17

Фигура (рис. 158) движется в своей плоскости. По заданным ускорениям точек А и В определить ускорения точек D и С.

Решение. От произвольной точки е вне фигуры откладываем направленные отрезки и . Проводим отрезок ab и от его концов две прямые: от точки а проводим прямую под углом BAD, а от точки b под углом ABD до их пересечения в точке d. Для определения положения точки с плана ускорений надо провести до их пересечения какие-либо две из трех следующих прямых: 1) от точки а прямой ab под углом ВАС, 2) от b прямой ab под углом ABC или 3) от точки d прямой ad под углом ADC. Эти прямые пересекаются в точке с плана ускорений. Направленные отрезки еа, eb, ес и ed представляют векторы абсолютных ускорений точек А, В, C и D, а отрезки ab, bс и т. д. соответствующие относительные ускорения этих точек. Для получения ускорения всякой точки фигуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного ускорения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).

Понятие об общем случае движения твердого тела

Движение свободного тела состоит из поступательного и сферического движений

Уравнение движения свободного тела

В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.

Движение свободного твердого тела может быть описано шестью

Рис. 159

уравнениями: тремя уравнениями (78) поступательного движения и тремя уравнениями (96) сферического движения:

x_E=x(t), y_E=y(t), z_E=z (t), ψ = ψ (t), φ = φ(t), = (t) (122)

Во всякое мгновение мы представляем движение тела как поступательное с некоторой скоростью (рис. 159, а) и вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью.

Поступательное движение тела со скоростью υ_E в свою очередь разложим на два поступательных движения, одно из которых происходит со скоростью υ_E1, направленной по мгновенной оси вращения, а другое —со скоростью υ_E2, направленной перпендикулярно ω.

Эту скорость υ_E2 поступательного движения мы представим как пару угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен υ_E2, а плечо . Тогда (рис. 159, в) одна из двух ω, составляющих эту пару, уравновесится с угловой скоростью, направленной по мгновенной оси вращения, проходящей через полюс E, и останется лишь вращение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии h. Кроме того, останется поступательное движение тела со скоростью υ_E1, происходящее в направлении вектора угловой скорости (рис. 159, г).

Следовательно, картина распределения скоростей твердого тела в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгновение вокруг некоторой оси и одновременно скользит вдоль нее. Эту ось называют мгновенной осью вращения—скольжения, или мгновенной винтовой осью.

Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле вполне аналогична динамическому винту (см. § 15), выражающему общий случай приведения системы сил, приложенной к твердому телу.
Движение свободного тела мы разложили. на поступательное движение, определяемое движением произвольной точки Е, принятой за полюс, и сферическое движение вокруг полюса E и представили уравнениями движения (122).

Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела мы получим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.

Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела..

• Мгновенный центр скоростей
• Мгновенный центр ускорений
• Мгновенный центр вращения
• Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
• Трение
• Пространственная система сил
• Центр тяжести
• Кинематика точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Техническая механика

Динамика системы материальных точек

Уравнение поступательного движения твердого тела

Механической системой материальных точек называется совокупность материальных точек, каким-то образом связанных межу собой.
Всякое твердое тело можно считать неизменяемой механической системой материальных точек. Силы взаимодействия точке данной системы называются внутренними силами; силы, с которыми действуют на данную систему другие точки, не входящие в эту систему, — внешними.

Пусть твердое тело массой m движется под действием силы F поступательно с ускорением а (рис. 1) .

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m₁ и применим принцип Даламбера, не забывая при этом, что внутренние силы в уравнение равновесия не входят, так как на основании третьего закона Ньютона их сумма для системы в целом равна нулю.
В каждой материальной точке приложим силу инерции F_i ин = — m_ia и составим уравнение равновесия:

ΣX = 0 ; F – ΣF_i ин = 0 ,

Так как при поступательном движении все точки тела имеют одинаковые ускорения, то а можно вынести за знак суммы, т. е.

Согласно второму закону Ньютона векторы силы F и ускорения а совпадают по направлению, поэтому можно записать:

Это и есть уравнение поступательного движения твердого тела. Очевидно, что это уравнение ничем не отличается от основного уравнения динамики точки, следовательно, все формулы динамики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

Уравнение вращательного движения твердого тела

Пусть твердое тело под действием системы сил вращается вокруг неподвижной оси z с угловым ускорением α (рис. 2) .

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m_i и применим, как и в предыдущем случае, принцип Даламбера (Д’Аламбера).
К каждой материальной точке приложены касательная и нормальная силы инерции. Составим уравнение равновесия:

Моменты реакций подшипника и подпятника, а также сил F_τi ин относительно оси z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось; сумма моментов внешних сил относительно оси вращения называется вращающим моментом .
Тогда

Выражение Σ(m_ir_i 2 ) называют моментом инерции тела относительно оси и обозначают J :

Момент инерции тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат расстояния от них до этой оси.

В результате получим формулу:

которая называется уравнением вращательного движения твердого тела. В этой формуле J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Единица момента инерции — [J] = [mr 2 ] = [m][r 2 ] = кг×м 2 .

Момент инерции играет во вращательном движении такую же роль, какую масса играет в поступательном движении, т. е. момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

В качестве примера определим момент инерции тонкого однородного сплошного диска, радиус которого R , толщина s , масса m , относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр О (см. рис 3) .

Разобьем диск на элементарные кольца переменного радиуса r , шириной dr и толщиной s . Согласно определению момент инерции такого кольца равен

dJ = dΣ(m_ir 2 ) = r 2 dΣm_i = r 2 dm = r 2 2πr drsρ = 2πsρ r 3 dr ,

где ρ – плотность материала диска.

Просуммировав моменты инерции всех элементарных колец, получим момент инерции всего диска:

J = ∫ 2πsρ r 3 dr = 2πsρ ∫ r 3 dr = 2πsρ r 4 /4 = πsρ r 4 /2 .

Так как масса диска m = πr 2 sρ , то можно записать: J = mR 2 /2 .

Нетрудно понять, что момент инерции однородного сплошного прямоугольного кругового цилиндра радиусом R и массой m любой высоты определяют по такой же формуле. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить цилиндр плоскостями, параллельными основанию на тонкие диски, и просуммировать моменты инерции всех дисков.

Моменты инерции тел вращения

На основе теоретических выкладок, изложенных выше, мы установили, что момент инерции круглого диска и цилиндрического тела можно определить по формуле

Аналогичные формулы можно вывести для определения моментов инерции других геометрических тел, наиболее часто встречающихся при расчетах и решении задач технической механики.

Моменты инерции для некоторых других однородных тел можно определить по формулам, которые приводятся здесь без вывода.

Шар массой m , радиусом R относительно диаметра:

Тонкий стержень массой m , длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец:

Тонкая сферическая оболочка массой m , радиусом R относительно диаметра:

Пустотелый вал массой m , наружным радиусом R и радиусом отверстия r относительно оси:

Момент инерции Jz тела относительно какой-либо оси z , параллельной центральной (т. е. проходящей через центр тяжести С тела), равен сумме центрального момента инерции Jc и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между этими осями:

Из этой формулы (ее вывод здесь не приводится) следует, что из всех моментов инерции тела относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси , т. е. центральный момент инерции.

Иногда момент инерции определяют по формуле: J = mr_и 2 , где r_и – радиус инерции тела :

Физический смысл радиуса инерции следующий: если массу тела сосредоточить в одной точке (такая масса называется приведенной) и поместить ее от оси вращения на расстоянии, равном радиусу инерции, то момент инерции приведенной массы будет равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Удвоенный радиус инерции тела называется диаметром инерции : D_и = 2r_и .

В практике иногда вместо момента инерции пользуются понятием махового момента GD_и 2 .

Маховым моментом называется произведение силы тяжести G вращающегося тела на квадрат его диаметра инерции.

Единица махового момента — Н×м 2 .

Между маховым моментом и моментом инерции существует простая зависимость:

GD_и 2 = 4g J = 39,24 J .

Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, составляющих данное тело:

Определим выражения для кинетической энергии твердого тела для трех случаев движения.

Тело движется поступательно

Учитывая, что при поступательном движении тела все его точки имеют одинаковую траекторию и одинаковые скорости, можно записать:

Следовательно, при поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Тело движется плоскопараллельно

Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение твердого тела в каждый данный момент времени можно считать простейшим вращательным движением вокруг мгновенной оси (метод мгновенных центров скоростей) .
Допустим, что известна скорость v_с центра тяжести тела, тогда мгновенная угловая скорость

где ОС – расстояние центра тяжести С тела от мгновенной оси вращения О .

Момент инерции J_о относительно мгновенной оси вращения определяют по формуле:

где J_с — момент инерции относительно центральной оси или центральный момент инерции.

Кинетическую энергию тела, движущегося плоскопараллельно, определяют следующим образом:

К_пп = J_оω 2 /2 = (J_с + mОС 2 ) ω 2 /2 = (J_сω 2 )/2 + mOC 2 /2×v_с 2 /ОС 2 ,

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопараллельно, равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси, перпендикулярной основной плоскости.

В заключение сформулируем теорему об изменении кинетической энергии системы тел:

Изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних (активных и реактивных) и внутренних сил, действовавших на систему при указанном перемещении:

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела в отдельности.

Если тело твердое, то сумма работ его внутренних сил равна нулю. При некоторых связях, называемых идеальными, работа реактивных сил тоже будет равна нулю.

Физика

План урока:

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Механическим движением в физике называется изменение с течением времени положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел.

То есть, чтобы сказать, что тело или система совершает механическое движение, нам необходимо: 1) наблюдать его во времени; 2) сравнивать его положение с положением какого-то другого тела (относительно этого тела).

Например, пассажир в едущем автомобиле неподвижен относительно кресла, на котором он сидит, но он движется относительно людей, стоящих на автобусной остановке и самой остановки. А сама автобусная остановка неподвижна относительно стоящих людей, ждущих автобус (см. рисунок 1). Однако она движется относительно проезжающих мимо машин. В первом случае наблюдаемым объектом был человек в машине, а точкой отсчета кресло и люди на остановке. Во втором случае наблюдаемой была автобусная остановка, а точками отсчета – люди на остановке и проезжающие мимо машины.

Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру

Из примеров можно сделать вывод, что важно, какой именно объект находится под наблюдением и относительно какого объекта – тела отсчета – рассматривается его движение. Отсюда можно сформулировать закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно какого объекта мы рассматриваем данное движение.

Тело (или точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы, вместе образуют систему отсчета. То есть все сказанное выше можно переформулировать в одно предложение: для наблюдения механического движения важно в какой системе отсчета будет происходить наблюдение.

Рисунок 2 – Пример системы отсчета (наблюдаемы объект – летящий мяч, тело отсчета – камень, лежащий в начале координат, система координат и секундомер для отсчета времени)

Однако объекты могут быть очень сложными для наблюдения. Например, автомобиль едет по прямой несколько километров и необходимо описать его движение относительно камня на обочине. Казалось бы, все просто. Но как именно описать движение автомобиля, если корпус его движется по прямой, а колеса совершают вращательные движения.

Для удобства решения подобных задач принято упрощение: если размер и форма тела в данной задаче не играют важной роли для наблюдателя, можно считать это тело за материальную точку.

Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Приведем пример: когда автобус едет из города А в город Б, его можно рассматривать как материальную точку. Когда пассажир идет из одного конца этого автобуса в другой, считать автобус материальной точкой нельзя. В общем случае можно сказать, что тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше расстояния, на которое оно перемещается.

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Для описания движения тела необходимо уметь рассчитывать его положение в каждый момент времени. Как это сделать?

Самый очевидный способ – координатный. Если вернуться к примеру на рисунке 2, можно увидеть, что летящий мяч в каждый момент времени имеет три координаты по осям OX, OY и OZ. Эти координаты являются функциями времени (т.е. они зависят от времени), а значит, их можно записать в виде системы:

Вид этих уравнений будет зависеть от многих вещей: от того, с какой силой бросили мяч в начале, от массы мяча, под каким углом его бросили и так далее. В любом случае, если эти уравнения заданы, можно найти координаты (то есть положение) тела в любой момент времени. Поиск этих уравнений – основная задача кинематики.

Эта система является кинематическими уравнениями движения тела или материальной точки, записанными в координатной форме. Повторим: если вид уравнений движения задан, можно узнать координату движущейся точки в любой момент времени.

В общем случае, координат три, но иногда можно обойтись двумя или даже одной координатой. Например, для описания движения бильярдного шара достаточно двух координат (так как шар не может двигаться вверх и вниз), а для описания движения шарика, катящегося по прямому горизонтальному желобку достаточно одной координаты (шарик не может двигаться вверх-вниз и вправо-влево).

Еще один способ описания движения – векторный.

*Перед дальнейшим прочтением данной статьи желательно вспомнить основную теорию по теме «Векторы» и «Метод координат»

Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).

Рисунок 3 – Радиус-вектор (серой линией изображены траектория движения материальной точки, r₁ и r₂* радиус-векторы, проведенные к этой материальной точке в разные моменты времени)

Радиус-вектор проведенный к материальной точке в разные моменты времени будет разным. Значит, его тоже можно представить, как функцию времени:

r = r(t)

Такая функция и будет уравнением движения в векторной форме. Если ее вид задан, можно описать движение тела с той же полнотой, как и при координатной записи.

Еще раз обозначим отличия: при записи уравнения движения в координатной форме в каждый момент времени наблюдающий будет знать три координаты тела; при записи в векторной форме в каждый момент времени известен радиус-вектор (его модуль и направление). Обе записи равносильны.

*На письме векторы обычно обозначаются стрелкой сверху, над величиной. Однако в печатном тексте не всегда удобно нагромождать формулы дополнительными знаками, поэтому в печати векторные величины пишут просто жирным шрифтом. В данной статье далее жирным шрифтом будут написаны только векторные величины.

Покажем, что векторная и координатная записи равносильны. Для этого необходимо вспомнить, как построить проекцию вектора на ось (см. рисунок 4).

Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось

Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, — это и есть искомая проекция.

Если вектор выходит из начала координат, задача облегчается – необходимо опустить перпендикуляр только из конца вектора.

Напоминания из геометрии:

два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;

проекции равных векторов равны.

Рассмотрим пример (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов

Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.

Итак, вектор а: его начала соответствует координате х_н=1, а конец х_к = 4. Значит a_x = х_к – х_н = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке х_н=2, а конец х_к =0. Значит b_x = х_к – х_н = 0-2 = -2.

В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.

Иногда еще нужно находить составляющие компоненты вектора а_х и а_у. Рассмотрим пример, для простоты возьмем вектор, выходящий из начал координат (см. рисунок 6).

Сумма векторов а_х и а_у равна а. Модули векторов а_х и а_у численно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.

Еще следует отметить, что, если известен угол β между вектором а и осью ОХ, воспользовавшись основами тригонометрии, можно найти величины проекций:

Если бы вектор а совпадал с радиус-вектором какой-нибудь точки, то величины а_х и а_у совпадали бы с координатами тела по осям ОХ и ОY.

Способ с использованием тригонометрических функций удобен, когда координата конца вектора попадает в нецелое число и опустив перпендикуляр на ось его трудно найти точно. В физических задачах такое часто случается.

Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а

Рассмотрим пример (см. рисунок 7). Модуль вектора r равен 2. Сам вектор направлен под углом в 45 градусов к оси ОХ. Необходимо найти величины проекций (они же координаты) этого вектора на оси ОХ и ОУ.

Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве

В общем случае радиус-вектор находится в трехмерном пространстве (см. рисунок 8). Построение проекции осуществляется по тому же принципу, что и в рассмотренных выше примерах. Когда строятся проекции на оси ОХ и ОУ, перпендикуляр сначала опускается на плоскость, в которой лежат оси ОХ и ОУ, а затем точка, в которую упал перпендикуляр к плоскости, проецируется на оси ОХ и ОУ.

Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – r_x, r_y, r_z – это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.

Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.

Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Траектория движения может быть прямолинейной, если тело движется по прямой линии, и криволинейной, если тело движется по кривой.

Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.

Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.

В случае прямолинейного движения путь и модуль перемещения тела совпадают (см. рисунок 9а). В случае криволинейного – путь и перемещение различаются (см. рисунок 9б), так как длина линии движения тела больше длины вектора, соединяющего начало и конец траектории.

Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении

*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S — (на письме с вектором над ней, при печати — жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Прямолинейное равномерное движение уже рассматривалось в курсе физики ранее, однако приведем основные определения.

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии. Равномерное движение – такое, в процессе которого тело за равные временные промежутки проходит один и тот же путь. Если объединить эти два определения получится третье:

• равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.

Зная определения пути и перемещения, это определение можно упростить: прямолинейное равномерное движение тела – это такое движение, в процессе которого тело за одинаковые временные промежутки совершает равные перемещения.

Важной характеристикой является скорость механического движения. Предположим, что при равномерном прямолинейном движении тело за промежуток времени △t перемещается из точки А в точку Б (см. рисунок 8). Радиус-вектор, проведенный в точку A обозначим r₀, а радиус-вектор в точку Б обозначим r₁. Изменение радиус-вектора назовем △r – нетрудно заметить, что это есть перемещение тела за время △t.

Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении

Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:

Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.

Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r₁ — r₀. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:

Из этого выражения следует:

Это выражение можно применить к любому произвольно взятому моменту времени, поэтому можно опустить индекс в левой части и переписать:

Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.

*Напоминание: символом △ (дельта) обозначают изменение какой-нибудь величины. Например △t = t – t₁, где t – конечный момент времени, t₁ – начальный. Если же начальный момент времени совпадает с началом отсчета t₁ = 0, то △t = t – 0 = t_.

Фактически уравнение равномерного прямолинейного движения означает, что радиус-вектор в произвольный момент времени t можно посчитать, сложив начальный радиус-вектор и приращение v*t.

Найдя проекции радиус-вектора и вектора скорости, можно разложить уравнение движения тела на три составляющие вдоль осей ОX, ОY и ОZ.

В этих выражениях r_0x, r_0y, r_0z и v_x, v_y, v_z – это компоненты изначальных векторов r₀ и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:

Стоит отметить, что при проецировании какие-то компоненты вектора могут стать отрицательными, тогда знаки в выражениях поменяются на противоположные.

В рассмотренном выше примере движение происходит только вдоль оси ОХ (остальные координаты не изменяются). На рисунке 9 приведены проекции начальной (х₀) и конечной (х₁) точки на ось ОХ.

Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении

Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:

А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:

Если точка начала двигаться из начала отсчета S₀ = 0, можно переписать эту формулу в виде:

Отсюда следуют известные уже формулы для нахождения скорости и времени при равномерном прямолинейном движении:

Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x₀ = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.

Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:

Теперь можно записывать уравнение для координаты х:

Из этого уравнения можно найти координату тела в любой момент времени. Например, через 2 секунды после начала отсчета тело находилось в точке:

x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.

А какой путь прошло тело к этому моменту? В начале оно находилось в точке x(2) = 0,03 м, а через 2 секунды оно стало находиться в точке x(2) = 10, 03. Значит за 2 секунды тело прошло:

S = x(2) – x₀ = 10, 03 – 0,03 = 10 м.

А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?

Тогда проекция вектора скорости на ось ОХ была бы отрицательной и в уравнении знак перед скоростью поменялся бы на противоположный: