Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, 
, 
.
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, 
, 
.
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, 
, 
.
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, 
, 
,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем 
знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, 
,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, 
,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, 
,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, 
.
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, 
.
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
(как вычислить определитель).
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
,
, 
, 
.
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
.
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
.
.
,
, 
.
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
,
,
,
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
.
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Кривые и поверхности второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения
Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.
Кривые второго порядка используются при решении задач по аналитической геометрии, кривые других порядков используются при решении задач математического анализа в разделе вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
Кривые и поверхности второго порядка
Преобразование координат на плоскости
Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат, Оху и О’х’у’ (рис. 1). Произвольная точка М относительно одной из этих координатных систем определяется парой чисел х и у, а относительно другой — парой чисел x’ и у’. Ясно, что между парами (х,у) и (x’, у’) имеется связь. Найдем ее.
Параллельный перенос
Предположим, что соответствующие координатные оси параллельны и сонаправлены, а точки начала отсчета различны. Это означает, что орты координатных осей соответственно равны (рис. 2).
Пусть г и г’ — радиусы-векторы точки М, т.е.
и а, β — координаты точки О’ относительно системы координат Оху, т. е.
Поворот
Предположим, что координатные оси одной системы координат получаются из координатных осей другой системы поворотом на угол φ, а начальные точки совпадают (рис.4). Координатами единичного вектора i’ являются косинусы углов φ и 
, образованных этим вектором с осями Ох и Оу:
а координатами единичного вектора j’ служат косинусы углов и φ:
(рис. 5). Так как радиус-векторы
произвольной точки М в рассматриваемом случае равны,
то, заменяя векторы i’ и j’ их выражениями, получаем, что
Зеркальное отражение
В случае, когда оси абсцисс Ох и Ох’ координатных систем совпадают, а оси ординат Оу и Оу’ направлены противоположно, координаты (х, у) и (х’,у’) произвольной точки М связаны равенствами
Справедливо следующее утверждение.
Любое преобразование прямоугольных декартовых координат (с сохранением масштаба) можно представить в виде последовательного выполнения переноса, поворота и <если необходимо) зеркального отражения.
Кривые второго порядка
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху. Множество точек плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют равенству
F(x, у) = 0,
где F(x, у) — некоторая функция двух переменных, называется плоской кривой, или плоской линией само равенство называется уравнением данной линии (кривой).
Например, равенство х — у = 0 есть уравнение прямой — биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 7). Равенство x 2 + y 2 — 1 = 0 — уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 8).
Рассмотрим многочлен второй степени от двух переменных х и у:
F(x,y) = 0
будем называть уравнением линии (кривой) второго порядка.
Если линиями первого порядка являются именно прямые и только они, то множество кривых второго порядка заметно разнообразней. Поэтому исследованию общего уравнения кривой второго порядка естественно предпослать изучение некоторых частных, но важных случаев.
Эллипс
Эллипсом называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)
Система координат Оху, в которой уравнение эллипса имеет вид (1), называется канонической (для данного эллипса); само уравнение (!) называется каноническим уравнением эллипса. Окружность
является частным случаем эллипса (при а = b). Это позволяет несложным способом определить форму эллипса: эллипс (1) получается из окружности (2) путем ее равномерного сжатия» к оси Ох (с коэффициентом
), т.е. заменой в уравнении x 2 + y 2 = a 2 координаты у на 
(рис.9).
Свойства эллипса
- Эллипс (I) содержится в прямоугольнике
В этом легко убедиться, заметив, что, если точка М(х, у) принадлежит эллипсу (1), то (рис. 10)
Точки (±а, 0), (0, ±b) называются вершинами эллипса.
2. Координатные оси Ох и Оу канонической системы являются осями симметрии эллипса, а начало координат О — его центром симметрии. Это означает, что если точка Мо(хo, yо) принадлежит эллипсу, то точки (-хо, yо), (-xо, -yо) и (хо, -yо) также ему принадлежат (рис. 11).
3. Если эллипс не является окружностью, то координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии.
Положим с = 
. Ясно, что с 0 называется преобразование, переводящее произвольную точку М(х, у) окружности в точку М’ (
).
Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса
Вычислим ее расстояния от фокусов эллипса (рис. 12). Имеем
Заменяя y 2 его выражением
после несложных преобразований получаем, что
Последнее равенство вытекает из того, что 
Легко убедиться в том, что
Доказательство того, что точки, обладающие указанным свойством, принадлежат эллипсу, было проведено ранее (см. раздел «Простейшие задачи аналитической геометрии» Введения, задача 2).
называется эксцентриситетом эллипса (I). Ясно, что 0 
называются директрисами эллипса. У каждого эллипса две директрисы — левая и правая (рис. 13).
5. Эллипс есть множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса эллипса) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы эллипса) постоянно (равно эксцентриситету эллипса).
Пусть сначала М(х,у) — произвольная точка эллипса (1). Вычислим расстояния от нее до правого фокуса и до правой директрисы (рис. 14). Имеем соответственно
Откуда легко получаем требуемое
Аналогично проверяется, что
Рассмотрим теперь на плоскости точку (с, 0) и прямую х =
(с = ае). Возьмем произвольную точку М(х, у) и вычислим расстояния от нее до выбранной точки (с, 0) —
— и до выбранной прямой —
Возведем обе части последнего соотношения в квадрат и, положив 
и учтя равенство с = ае, после простых преобразований получим
Тем самым, точка М(х,у) лежит на эллипсе (1).
Гипербола
Гиперболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе координат Оху имеет вид (1)
Система координат Оху, в которой уравнение гиперболы имеет вид (1), называется канонической (для данной гиперболы); само уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы.
Свойства гиперболы
- Гипербола (1) лежит вне полосы |x|
и, значит, |x| ≥ а (рис. 15).
Точки (±а, 0) называются вершинами гиперболы.
2. Гипербола (1) лежит в вертикальных углах, образованных прямыми у = ±х и содержащих точки оси Ох (рис. 16).
вытекает, что если точка М(х, у) лежит на гиперболе (1), то
Таким образом, гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы, левой и правой. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
3, На гиперболе лежат точки, сколь угодно далекие от начала координат O(0, 0).
Пусть, например, точка М(х, у) лежит на гиперболе (1) и \у\ = n, где n — произвольное положительное число (рис. 17).
Возьмем в первой четверти две точки: точку гиперболы (1) и точку ее асимптоты 
= 0 с одинаковой абсциссой х > а —
соответственно — и вычислим расстояние между ними. Имеем
Умножив и разделив полученное выражение на сумму х +
и перейдя затем к пределу при 
получим
Тем самым, установлен следующий факт.
4. Если текущая точка асимптоты неограниченно удаляется от начала координат, т.е. \х\ —» + ∞, то на гиперболе можно указать соответствующую ей точку так, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю (рис. 18).
Верно и обратное.
стремится к нулю.
6. Оси канонической координатной системы являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. 19).
Координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии гиперболы.
Положим с = 
. Ясно, что с > 0. .Точки (-с, 0) и (с, 0) называются фокусами гиперболы, 2с — фокусное расстояние.
Гипербола есть множество точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) постоянна (равна заданному числу).
Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 4 эллипса. Покажем, например, что каждая точка гиперболы обладает указанным свойством. Если М(х, у) — точка гиперболы (1), то расстояния от нее до фокусов соответственно равны
(рис. 20). Так как 
> 1, то
Отсюда нетрудно вычислить, что
называется эксцентриситетом гиперболы (1). Ясно, что е > 1. Прямые
называются директрисами гиперболы (рис. 21). У каждой гиперболы две директрисы — левая и правая.
Практически также, как и для эллипса, доказывается следующий факт.
8. Гипербола есть множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса гиперболы) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы) постоянно (равно эксцентриситету гиперболы) (рис. 22).
Гипербола (2)
называется сопряженной гиперболе (1). Взаимное расположение гипербол (1) и (2) указано на рис. 23.
Парабола
Параболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)
Система координат Оху, в которой уравнение параболы имеет вид (1), называется канонической (для данной параболы); уравнение (]) называется каноническим уравнением параболы.
Свойства параболы
- Все точки параболы лежат в правой полуплоскости: х ≥ 0 (рис. 25). Точка 0(0, 0) лежит на параболе и называется ее вершиной.
- На параболе лежат точки, сколь угодно далеко расположенные от начала координат О(0, 0).
- Ось абсцисс канонической координатной системы является (единственной) осью симметрии параболы (рис. 26).
Ось симметрии параболы называется осью параболы. Число р называется фокальным параметром параболы; точка (
; 0) — фокус параболы; прямая х = — директриса параболы.
4. Парабола есть множество точек, равноудаленных отданной точки (фокуса параболы) и от данной прямой (директрисы параболы) (рис. 27).
Пусть точка М(х, у) лежит на параболе (1). Вычислим расстояния от нее до фокуса (;0)
и до директрисы х = —
Заменяя у 2 его выражением 2рх, легко убеждаемся в том, что
Верно и обратное. Если для некоторой точки М(х, у) расстояния от нее до точки (; 0) и до прямой х = — равны —
то, возводя в квадрат, после простых преобразований получаем, что эта точка лежит на параболе:
Оптическое свойство кривых второго порядка
Касательные к эллипсу и гиперболе
Если кривая задана уравнением
y = f(x)
то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хо,у0)> где Уо = f(xо), можно записать в следующем виде
Пусть Мо(хо, yо) — точка эллипса
Предположим для определенности, что точка М0 лежит в первой четверти, т. е. хо > 0, yо > 0. Тогда часть эллипса, лежащую в первой четверти, можно описать уравнением
Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Мо
а так как точка (х0, у о) лежит на эллипсе, то
Полученное соотношение после несложных преобразований можно записать так:
Отсюда с учетом тождества
приходим к уравнению
(рис. 28). Полученное соотношение является уравнением касательной к эллипсу, проходящей через его точку (х0, yо), и в общем случае ее произвольного расположения, т. е. при любых знаках хо и уо.
Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следующий вид
Подчеркнем, что точка (хо, yо) лежит на гиперболе.
Касательные к параболе
Если кривая задана уравнением
х = g(у),
то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хo,уo), где х0 = g (уо), можно записать в следующем виде
Пусть М0(х0, у0) — точка параболы. Пользуясь формулой (I), получаем уравнение касательной к параболе
Отсюда в силу равенства 
приходим к уравнению касательной вида
Замечание:
Сопоставляя канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы с уравнениями касательных к этим кривым, нетрудно заметить, что для получения последних не требуется специальных вычислений. В самом деле, заменяя у 2 на уу 0 , а х 2 на хх 0 (в случае параболы 2х нужно заменить на x + х 0 ). приходим к уравнению соответствующей касательной. Еще раз отметим, что сказанное справедливо лишь в том случае, когда точка (x 0 . y 0 ) лежит на кривой.
Оптическое свойство эллипса
Пусть М 0 — произвольная точка эллипса
Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов Fл и F n — фокальные радиусы — равны соответственно
Проведем через точку М 0 касательную к эллипсу,
и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы Fл (-c, 0) и Fn (c; 0) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10).
— нормирующий множитель (рис. 29). Нетрудно проверить, что
Обратившись к рис.29, заметим, что вычисленные отношения равны синусам углов, образованных касательной и фокальными радиусами точки касания. Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равенство и самих углов. Тем самым доказано оптическое свойство эллипса: касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания.
Это свойство называется оптическим по следующей причине: если поместить в один из фокусов эллипса с зеркальной «поверхностью» точечный источник света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его фокусе (рис. 30).
Оптическое свойство гиперболы
Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем.
Если поместить в один из фокусов гиперболы точечный источник света, то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим из другого фокуса (рис. 31).
Оптическое свойство параболы
Если в фокус параболы помещен точечный источник света, то все лучи, отраженные от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы (рис. 32).
Классификация кривых второго порядка
Многочлены второй степени на плоскости
Теорема:
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху и пусть
— многочлен второй степени от переменных х и у.
Тогда на плоскости можно построить прямоугольную дека ртов у систему координат O’XY так, что после замены переменных х и у на переменные X и Y исходный многочлен f(x, у) приведется к многочлену F(X, Y) одного из следующих трех видов:
1-й шаг. Поворотом координатных осей на подходящим образом выбранный угол всегда можно добиться того, чтобы коэффициент при произведении разноименных координат обратился в нуль.
Пусть b ≠ 0 (при 6 = 0 этот шаг не нужен). Повернем оси координат вокруг точки О. Эта операция описывается следующими формулами
При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол φ (рис.33).
Заменим переменные х и у в формуле (1) их выражениями (2) через x’ и у’ и вычислим коэффициент 2b’ при произведении х’у’. Он равен
и обращается в нуль, если
Так как полученное уравнение разрешимо относительно φ, то указанным преобразованием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента.
Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный многочлен f(x,у) уже имеет вид
где а 2 + с 2 >0. Для определенности положим с ≠ 0 (это не ограничивает общности наших рассуждений, так как заменой х, у в случае необходимости этого всегда можно добиться).
2-й шаг. Переносом начала координат можно достичь дальнейшего упрощения вида многочлена f(x,y). Эта операция описывается следующими формулами:
координатные оси новой системы O’XY получаются из координатных осей исходной системы Оху параллельным переносом в точку (-а, — β) (рис. 34).
Укажем конкретные значения а и β. Возможны три случая
I. а ≠ 0, с ≠ 0. Тогда, полагая
где А = а, В = с, С = g —
II. а = 0, d ≠ 0. Тогда, полагая
III. а = d = 0. Тогда, полагая
где В = с, Е = g — 
Канонические уравнения кривых второго порядка
Если многочлен второй степени F(X, У) приравнять к нулю, то получим уравнение линии второго порядка
F(X, У) = 0.
Рассмотрим каждый из трех полученных выше случаев I, II, III отдельно.
I. 
Э. А • В > 0. Домножением обеих частей уравнения на — 1 и заменой X на У, а У на X (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы В ≥ А > 0.
- С
(мнимый эллипс)2). На действительной плоскости нет ни одной точки (X, Y), координаты которой обращали бы это уравнение в тождество.
Точка (0, 0) является единственной точкой плоскости, координаты которой удовлетворяют этому уравнению; точку (0,0) можно мыслить как действительную точку пересечения двух мнимых пересекающихся прямых 3).
Г. А • В 0, В 
— пару пересекающихся прямых:
2) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса.
3) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары пересекающихся
прямых.
II. BY 2 + 2DX = О, В • D ≠ 0.
Всегда можно добиться того, чтобы В • D 
III. BY 2 + Е = 0, В ≠ 0. Можно считать, что В > 0.
1. Е 
Y 2 — с 2 = 0, с > 0
— пару параллельных прямых.
Y 2 — с 2 = 0, с 2 = 0
— пара совпадающих прямых.
Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все указанные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных из коэффициентов уравнения.
— уравнение линии второго порядка. Введем следующие обозначения
Числа D и ∆ не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инвариантами. Из приводимой таблицы видно, какому сочетанию знаков определителей D и ∆ соответствует та или иная линия второго порядка.
Задача:
Убедитесь в том, что D и ∆ при рассмотренных преобразованиях системы координат действительно остаются неизменными.
4) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары параллельных прямых.
Поверхности второго порядка
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Множество точек пространства, координаты х, у и z которых удовлетворяют равенству
F(x, у, z) = О,
называется поверхностью; равенство (*) называется уравнением этой поверхности.
Пример:
— уравнение сферы радиуса о с центром в точке (0,0,0) (рис. 35).
Рассмотрим многочлен второй степени от трех переменных х, у и z
Уравнение
F(x, y, z) = 0
будем называть уравнением поверхности второго порядка.
Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка оказывается зна-чительноболее сложным, чем исследование общего уравнения кривых второго порядка, требует разработки соответствующего математического аппарата и будет проведено в конце главы VI.
В оставшихся параграфах этой главы мы сначала остановимся на изучении геометрических свойств некоторых важных классов общих поверхностей; затем используем их для рассмотрения канонических уравнений основных поверхностей второго порядка и исследования структуры этих поверхностей.
Некоторые классы поверхностей
Поверхности вращения
Рассмотрим на плоскости Oxz кривую γ, заданную уравнением
г = f(x), х ≥ 0
(рис. 36). При вращении кривой γ вокруг оси Oz она будет заметать некоторую поверхность, называемую поверхностью вращения (рис. 37). Найдем уравнение этой поверхности, т. е. равенство, которому должны удовлетворять координаты точек построенной поверхности и только они.
Тем самым, координаты х, у и z0 любой точки М этой окружности связаны следующим равенством
В силу произвольности выбора точки М0 на кривой γ искомое уравнение полученной поверхности вращения имеет вид
Цилиндрические поверхности
Через каждую точку некоторой заданной кривой γ проведем прямую l параллельно заданной прямой l0. Множество точек, лежащих на так построенных прямых, назовем цилиндрической поверхностью (рис. 39); кривая γ называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая l — ее образующей.
Найдем уравнение, описывающее цилиндрическую поверхность.
Возьмем произвольную точку О и проведем через нее плоскость П, перпендикулярную образующей I. Построим в пространстве прямоугольную координатную систему Oxyz, взяв за ось Oz прямую, перпендикулярную плоскости П. Тогда плоскость П будет координатной плоскостью Оху (рис.40). Плоскость П пересекает цилиндрическую поверхность по направляющей γ0.
F(x,y) = 0
— уравнение этой направляющей. Убедимся в том, что последнее соотношение можно считать уравнением искомой цилиндрической поверхности.
самом деле, пусть (х, у, z) — точка цилиндрической поверхности (рис. 41). Тогда точка (х, у, 0) лежит на γ0 и, значит, удовлетворяет уравнению
F(x,y)=0.
Но координаты точки (х, у, z) также обращают это уравнение в тождество. Последнее обстоятельство и позволяет считать соотношение F(x,y) = 0 искомым уравнением.
Пример:
Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты Охуz. Соотношение
является уравнением цилиндрической поверхности (эллиптического цилиндра) (рис. 42).
Замечание:
F(y, z) = 0
описывает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной координатной оси Оx, а уравнение
F(x,z) = 0
— цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy.
Конические поверхности
Пусть γ — произвольная кривая и О — точка вне eе. Через каждую точку кривой γ и точку О проведем прямую l. Множество точек, лежащих на построенных таким образом прямых, называется конической поверхностью (рис.43); кривая γ — направляющая конической поверхности, l — ее образующая, точка О — вершина. Рассмотрим функцию
F (x, у, z)
переменных х, у и z. Функция F(x, у, z) называется однородной функцией степени q, если для любого t > 0 выполняется равенство
Покажем, что если F(x, у, z) однородная функция, то F
является уравнением конической поверхности.
В самом деле, пусть
т.е. точка М0(xo, уо, zо) лежит на этой поверхности. Будем считать, что 
. Проведем через эту точку и точку 0(0,0, 0) (считая, что F(0,0, 0) = 0) прямую I (рис. 44). Ее параметрические уравнения имеют вид
Подставляя полученные выражения для х, у и z в функцию F(x, у, z), видим, что
Это означает, что вся прямая l лежит на поверхности, определяемой уравнением F(x,y,z) = 0, которое, следовательно, и описывает коническую поверхность.
Пример:
является однородной функцией второй степени:
— уравнение конической поверхности (конуса второго порядка) (рис.45).
Воспользуемся теперь полученными выше результатами для исследования геометрической формы поверхностей второго порядка.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка
Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид
где а ≥ b ≥ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс
и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46).
— эллипсоид вращения — уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получить его уравнение, достаточно равномерно сжать эллипсоид вращения . вдоль оси Оу с коэффициентом — 
≤ 1, т. с. заменить в его уравнении у на 
y 5).
Гиперболоиды
вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид
получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения.
5) Эллипсоид вращения («) можно получить равномерным сжатием сферы х 2 + у 2 + z 2 = а 2 вдоль оси Оz с коэффициентом — 
≤ 1.
Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом ≤ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение
получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Oz сопряженной гиперболы
получим двуполостный гиперболоид вращения (рис.48). Его уравнение
Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом ≤ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на у получаем его уравнение
Эллиптический параболоид
вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид
Путем сжатия параболоида вращения вдоль оси Оу с коэффициентом 
получаем эллиптический параболоид. Его уравнение
получается из уравнения параболоида вращения
путем замены у на 
. Если р Гиперболический параболоид
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид
где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности.
Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы
при h 
при h = 0 — пару пересекающихся прямых
Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h ≠ 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Ох у. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52).
Рассмотрим теперь сечения плоскостями
у = h.
Заменяя в уравнении поверхности у на h, получаем уравнения парабол (рис.53).
Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями
х = h.
В этом случае также получаются параболы
ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54).
Используя последние два типа сечений, приходим к заключению, что гиперболический параболоид можно получить путем параллельного переноса параболы х2 = 2pz вдоль параболы у2 = -2qz, или наоборот (рис. 55).
Замечание:
Методом сeчeний можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка и последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее.
Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры:
представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых
вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59.
Дополнение к поверхностям второго порядка
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Уравнения основных поверхностей второго порядка
С помощью векторов мы ввели понятие пространства и его размерности, в частности трехмерного. Рассмотрим в нем поверхности, которые «похожи» на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.
Поверхность второго порядка – геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида
в котором хотя бы один из коэффициентов 
отличен от нуля. Уравнение (2.48) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Уравнение (2.48) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (2.48) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхностей второго порядка. Среди них выделяют пять основных классов поверхностей: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из этих поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением.
Перечисленные поверхности второго порядка относятся к так называемым нераспадающимся поверхностям второго порядка. Можно говорить о случаях вырождения – распадающихся поверхностях второго порядка, к которым относятся: пары пересекающихся плоскостей, пары мнимых пересекающихся плоскостей, пары параллельных плоскостей, пары мнимых параллельных плоскостей, пары совпадающих плоскостей.
Наша цель – указать канонические уравнения для поверхностей второго порядка и показать, как выглядят эти поверхности.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
называется эллипсоидом (рис. 2.22) .
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что 
.
2. Эллипсоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс (см. рис. 2.22).
Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Числа а, b , с называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.
Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.
Примечание. Сфера является частным случаем эллипсоида при а= b =с. Тогда все равные полуоси обозначают R и уравнение (2.49) после умножения на R 2 принимает вид 
.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
называется эллиптическим параболоидом (рис. 2.23) .
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает
· осевой симметрией относительно оси 0z ,
· плоскостной симметрией относительно координатных осей 0xz и 0yz .
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y –парабола. (см. рис. 2.23).
Можно получить эллиптический параболоид симметричный относительно оси 0х или 0у, для чего нужно в уравнении (2.50) поменять между собой переменные х и z или у и z соответственно.
Если полуоси равны a = b , то параболоид называется параболоидом вращения и может быть получен вращением параболы вокруг ее оси симметрии. При этом в сечении параболоида вращения плоскостью, перпендикулярной оси 0z , получается окружность.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
называется гиперболическим параболоидом (рис . 2.24).
Свойства гиперболического параболоида.
1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Гиперболический параболоид обладает
· осевой симметрией относительно оси 0z ,
· плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей 0xz и 0yz .
4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
5. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
называется однополостным гиперболоидом (рис. 2.25) .
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Однополостный гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно всех координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y, – гипербола (см. рис. 2.25).
Если в уравнении (2.52) a = b , то сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
называется двуполостным гиперболоидом (рис. 2.26) .
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | z |≥ c и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно всех координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , при | z |> c получается эллипс, при | z |= c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям 0x и 0y , – гипербола (см. рис. 2.26).
Если в уравнении (2.53) a = b , то сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения.
Примечание. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F ( x 2 + y 2 ; z )=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения 0z. Аналогично: F ( x 2 + z 2 ; y )=0 – поверхность вращения с осью вращения 0у, F ( z 2 + y 2 ; x )=0 – с осью вращения 0х
С учетом данного примечания могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси 0х или 0у.
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая, по которой скользит образующая, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность – второго порядка.
Если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой–либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.
Достаточно нарисовать на плоскости х0у направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси 0z. Для наглядности следует построить также одно–два сечения плоскостями, параллельными плоскости х0у. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Аналогично поступают, рассматривая направляющую в плоскости х0z или у0z.
Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образующих. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения – его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:
1) эллиптические – нормальное сечение представляет собой эллипс (рис. 2.27а), каноническое уравнение
2) круговые – нормальное сечение круг, при a = b = r уравнение
3) гиперболические – нормальное сечение гипербола (рис. 2.27б), каноническое уравнение
4) параболические – нормальное сечение парабола (рис. 2.27в), каноническое уравнение
5) общего вида – нормальное сечение кривая случайного вида.
Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (рис. 2.27). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Например, наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами. Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае – эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг.
Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает данную линию. Данная прямая называется образующей, линия – направляющей, а точка – вершиной конической поверхности (рис. 2.28).
Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, – основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.
Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника, вокруг катета как оси. При этом гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет – основание конуса.
В курсе геометрии общеобразовательной школы рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.
Если вершина конуса расположена в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат, то уравнение эллиптического конуса имеет вид:
( a >0, b >0, c >0). (2.58)
При а = b конус становится круговым.
Примечание. По аналогии с коническими сечениями (аналогично теореме 2.1) существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x 2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x 2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x 2 – y 2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 описывает точку с координатами (0;0;0). Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии 
http://lfirmal.com/poverhnosti-vtorogo-poryadka/
http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/kupit-ucastok/ii-10-poverhnosti-vtorogo-poradka