Уравнения парабол симметричных относительно оси oy

Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $

График смещается влево на 3 по оси OX

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x-a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a), \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(x-a), a \gt 0 $$

график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Параллельный перенос графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a$$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

$ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $

График смещается вверх на 1 по оси OY

$y_2 = f(x)+1 = \sqrt+1$

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$y_2 = f(x)-2 = \sqrt-2$

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a, \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a, \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Симметрия относительно оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$$

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$ симметричны относительно оси OX.

Это справедливо для любой функции f(x).

Симметрия относительно оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$$

$y_2=y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

$y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$ симметричны относительно оси OY.

Это справедливо для любой функции f(x).

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = x^2, \quad y = (x-3)^2, \quad y = (x-3)^2+2, \quad y = -x^2 $$

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:

• график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
• график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
• график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = \sqrt, \quad y = \sqrt<-x+1>, \quad y = — \sqrt, \quad y = — \sqrt-3 $$

По сравнению с графиком $y = f(x) = \sqrt$:

• график функции $y = f(-x) = \sqrt<-x+1>$ симметричен относительно оси OY
• график функции $y = -f(x) = — \sqrt$ симметричен относительно оси OX
• график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).

Уравнения парабол симметричных относительно оси oy

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

2.5 Парабола

Парабола Есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Выберем систему координат таким образом (рисунок 2.7): за ось ОХ примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от точки F до директрисы, длину которого обозначим через Р и будем называть параметром параболы. Пусть М(Х, У) произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть точка N основание перпендикуляра, опущенного из М На директрису. По определению параболы MN = MF.

Из этого условия получаем Каноническое уравнение параболы в выбранной системе координат

Пусть P > 0, исследуем форму параболы.

Из канонического уравнения параболы видно, что Х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси ОY. Уравнение содержит переменную У В квадрате, значит парабола симметрична относительно оси ОХ, эта ось называется Осью Параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью симметрии называется Вершиной параболы.
Для параболы, заданной уравнением (2.11), вершина совпадает с началом координат, а ось симметрии – с осью ОХ. График параболы имеет вид, изображенный на рисунке 2.7. Уравнение директрисы записывается в виде .

Фокус параболы для параболы с осью симметрии – осью Х имеет вид F(,0), а для параболы с осью симметрии осью Y – F(0,).

Определяет параболу, область определения которой .

Имеет вершину в начале координат, фокус , директрису ; ветви параболы направлены в положительную сторону оси OY и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы Х2 = –2Py. Осью симметрии такой параболы является ось ОY, а вершиной – начало координат.

Пример 2.4. Составить уравнение параболы и ее директрисы, зная, что она симметрична относительно оси ОY, фокус находится в точке F(0; 2), вершина совпадает с началом координат.

Решение. Будем искать уравнение параболы в виде Х2 = 2Py, так как по условию она симметрична относительно оси OY.

По условию , а значит, P = 4. Итак, искомое уравнение имеет вид Х2 = 8У, уравнение ее директрисы у = –2.