Уравнения парка горева синхронного двигателя

Уравнения Парка – Горева для синхронной машины.

Уравнения Парка — Горева связывают между собой мгновенные значения токов, магнитных пото­ков, напряжений в осях координат (d, q), связанных с ротором.

Мгновенные значения параметров режима опре­деляют как проекции на оси времени фаз а, b, с вектора тока (напряжения, ЭДС, потокосцепления), вращающегося с угловой ско­ростью . Этот вектор тока называют обобщенным.

Оси времени t_a, t_b, t_c фаз a, b, с неподвижны и совпадают с осями обмоток статора (рис. 2.1). Мгновенные значения фазных токов равны:

где — произвольный угол.

Рис.2.1 Обобщенный вектор тока и его проекции на временные оси.

Проекции обобщенного вектора тока на оси d, q, связанные с ротором, дают значения продольного и поперечного токов (рис. 2.2):

При наличии токов нулевой последовательности

Соотношения, аналогичные приведенным выше, справедливы для напряжений, ЭДС и потокосцеплений.

Рис. 2.2. Обобщенный вектор тока I и проекции его

на продольную и поперечную оси ротора

Связь между мгновенными значениями фазных величин и величин в продольной и поперечной осях устанавливается на основе уравнений:

Угол меняется во времени:

где — полное потокосцепление статора в продольной и поперечной осях.

В случаях симметричного режима энергосистемы токи нулевой последовательности отсутствуют ( = 0).

Значения потокосцепления статора в поперечной и продольных осях определяются из вы­ражений:

= G (р) U_f + X_d (р) i_d

= X_q (p) ,

где G(p)—операторная проводимость маши­ны;

X_d(p), X_q(p) — операторные сопротивления машины в продольной и поперечной осях;

U_f — напряжение возбуждения машины.

Для машины без демпферных обмоток и эквивалентных им контуров:

;

;

.

Если известна ЭДС , то

,

где — постоянная времени обмотки возбуждения машины при разомкнутой обмотке статора;

— активное сопротивление обмотки статора по продольной оси;

— реактивное сопротивление взаимной индукции обмотки возбуждения со статором в продольной оси;

— реактивное сопротивление индуктивности ротора в продольной оси.

Для машины с демпферными обмотками значения потокосцепления статора в поперечной и продольных осях и определяются теми же уравнениями.

Рис.2.3 Основные параметры синхронной машины для принятых направлений осей.

Уравнения Парка – Горева для принятых на рис.2.3. направлениях осей примут вид:

;

;

;

где — активное сопротивление статора;

— активное сопротивление статора нулевой последовательности;

; ;

.

В системе относительных единиц , поэтому .

Третье уравнение системы относится к слу­чаю несимметричного режима или несиммет­ричной схемы.

Уравнения, приведенные выше, полностью описывают переходный процесс машины, ра­ботающей на шины неизменного напряжения. Для анализа переходного процесса в сложной энергосистеме уравнения составляются для каждого эле­мента (генераторов, нагрузок, участков сети) и решаются совместно.

Решение системы урав­нений Парка – Горева относительно токов или других величин, рассматриваемых как неизвестные, проводится в операторной форме (для изобра­жений), например находятся значения токов

; ;

где , D₂ (p) — миноры определителя систе­мы; D (р) — главный определитель системы.

Характер переходного процесса в системе определяется знаком действительной части корней определителя D(р). При Re(p_t, . . р_n)

,

где — постоянная инерции машины.

Для определения параметров при переходных процессах можно использовать упрощенные уравнения Парка – Горева. Для получения этих уравнений отказы­ваются от учета влияния:

1) апериодической составляющей тока ста­тора (трансформаторной ЭДС);

2) периодических токов ротора, связанных с апериодическими составляющими тока ста­тора;

3) активного сопротивления в цепи ста­тора.

В системе относительных единиц при уравнения Парка — Горева для синхронной машины будут иметь вид:

; .

Данные уравнения положены в основу рас­четов периодической составляющей токов короткого замыкания при обычно принимаемых допущениях.

При принятых предпосылках отдаваемая мощность численно равна вращающемуся моменту; поэтому для симметричного режима или режима, условно приведённого к симметричному,

.

Уравнение относительного движения ротора

.

На основе этих расчетных уравнений (их иногда называют уравнениями Лонглея или уравнениями Лебедева — Жданова) обычно ведутся проектные и эксплуатацион­ные расчеты устойчивости. Они позволяют для расчетов переходных процессов пользоваться соотношениями, вытекающими из векторной диаграммы установившегося режима [рис.2.1].

Система относительных единиц. Система уравнений явнополюсной синхронной машины в системе относительных единиц Горева

Система относительных единиц. Система уравнений явнополюсной синхронной машины в системе относительных единиц Горева

Система относительных единиц

Система уравнений синхронной машины обычно записывается в относительных единицах, вследствие чего упрощается запись данных уравнений и облегчается сравнение результатов исследования переходных процессов для машин различной мощности.

Система относительных единиц — способ расчета параметров в системах передачи электроэнергии, при котором значения системных величин (напряжений, токов, сопротивлений, мощностей и т.п.) выражаются как множители определенной базовой величины, принятой за единицу.

Существует несколько видов систем относительных единиц, основные из которых: система относительных единиц Горева и система относительных единиц « X ad ». В рамках данной публикации будем рассматривать систему относительных единиц Горева.

Базисные величины статорной цепи

В качестве независимых базисных величин для статорной цепи обычно принимается амплитуда номинальных тока и фазного напряжения, синхронная угловая частота .

Базисные значения тока и напряжения статора (контуров якоря) машины равны амплитуде фазного тока и фазного напряжения:

,

Базисное значение мощности статорной цепи будет определяться в следующем виде:

Базисное значение угловой скорости равно синхронной угловой скорости при номинальной частоте:

эл. радиан/сек.

Прочие базисные параметры определяются по следующим соотношениям:

; ;

Базисные величины роторной цепи

В качестве независимых базисных величин для роторной цепи принимается такие значения тока, напряжения и потокосцепления роторного контура, которые обусловливают на статоре идеализированной синхронной машины в режиме холостого хода номинальное напряжение.

При протекании базисного тока по роторному контуру (обмотка ротора или демпферные обмотки) в режиме холостого хода при синхронной угловой скорости напряжение статора равно номинальному. Данное утверждение записывается в следующем виде:

; ; .

Базисные напряжения роторных контуров определяются как произведение базисного тока на активное сопротивление контуров:

; ; .

Базисные значения сопротивлений роторных контуров принимаются равными активным сопротивлениям контуров:

; ; .

Представленный подход позволяет легко связать базисные величины статорной цепи базисными величинами роторной цепи.

Определение величины базисного тока ротора и демпферных обмоток.

Базисное значение тока обмотки возбуждения определяется по спрямленной в начале координат характеристике холостого хода машины (см. рис.1), построенной в относительных единицах.

Рис.1. Определение базисного значения тока роторных контуров.

Ток возбуждения отнесен к номинальному току возбуждения на холостом ходе:

где — это такой ток возбуждения, при котором на холостом ходе генератора при номинальной угловой скорости вращения напряжение на выводах обмотки статора равно номинальному значению.

Графическое определение базисного тока , выраженного в долях , показано стрелками на рис., базисный ток в именованных единицах определяется по формуле . Если характеристика холостого хода задана в виде таблицы пар значений , , можно найти тангенс угла наклона начального участка характеристики и вычислить:

Базисные значения токов демпферных контуров в осях d и q равны:

Преобразим систему уравнений явнополюсной синхронной машины в систему относительных единиц Горева.

Система уравнений для напряжений статорной цепи

Рассмотрим систему уравнений, которая записана для статорной цепи.

Перепишем данную систему уравнений относительно базисных переменных, для этого разделим представленные уравнения на базисное значение напряжения:

.

Первое уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Второе уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

где s — скольжение ротора относительно синхронной оси.

Скольжение — Относительная разность скоростей поля статора и ротора называется скольжением

Скольжение не может быть равным нулю, так как при одинаковых скоростях поля и ротора прекратилось бы наведение токов в роторе и, следовательно, отсутствовал бы электромагнитный вращающий момент.

Скольжение асинхронного генератора .

Система уравнений для потокосцеплений статорных контуров

Рассмотрим систему уравнений, которая записана для потокосцеплений статорных контуров.

Для выполнения дальнейших преобразований системы уравнений введем новые переменные:

› синхронная ЭДС статора — ЭДС, индуктируемая в контуре статора током возбуждения при синхронной частоте вращения:

› синхронная ЭДС, связанные с токами демпферных контуров по поперечной оси:

› синхронная ЭДС, связанные с токами демпферных контуров по продольной оси:

C учетом новых введенных переменных система уравнений перепишется в следующем виде:

Перепишем систему уравнений относительно базисных переменных, для этого разделим данные уравнения на базисный поток статорной цепи:

Первое уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Второе уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

где синхронное индуктивное сопротивление машины по продольной оси в относительных единицах определяется следующим образом:

синхронное индуктивное сопротивление машины по поперечной оси в относительных единицах определяется следующим образом:

Система уравнений для потокосцеплений роторных контуров

Рассмотрим систему уравнений, которая записана для потокосцеплений роторных контуров.

Умножим данную систему уравнений на выражение (или ; или ) и введем новые переменные в систему уравнений:

› переходная ЭДС статора :

› переходная ЭДС, связанная с токами демпферных контуров по поперечной оси:

› переходная ЭДС, связанная с токами демпферных контуров по продольной оси:

В результате преобразования получим следующую систему уравнений для потокосцеплений роторных контуров.

Перепишем данную систему уравнений через сопротивления , , , и . В результате данного преобразования получим следующую систему уравнений:

Перепишем систему уравнений относительно базисных переменных, для этого разделим данные уравнения на базисное напряжение статорной цепи:

В результате данного преобразования получим следующую систему уравнений (в относительных единицах):

Система уравнений для напряжений роторной цепи

Рассмотрим систему уравнений, которая записана для роторных цепей.

Умножим данную систему уравнений на выражение (или или ).

Первое уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Второе уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Третье уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Постоянные времени используемые в уравнениях определяются следующим образом:

› Постоянная времени контура возбуждения :

› Постоянные времени демпферных контуров :

Перепишем полученную систему уравнений относительно базисных переменных, для этого разделим данные уравнения на базисное напряжение:

Первое уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

где в относительных единицах.

Второе уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Третье уравнение рассматриваемой системы преобразуется к следующему виду:

Система уравнений явнолюполюсной синхронной машины в относительных единицах Горева

В результате преобразования была получена система уравнений явнолюполюсной синхронной машины для вращающейся системы координат (odq) с учетом демпферных контуров, которая представлена в относительных единицах Горева.

1. Система уравнений для напряжений статорной цепи:

2. Система уравнений для потокосцеплений статорных контуров:

3. Система уравнений для потокосцеплений роторных контуров:

4. Система уравнений для напряжений роторной цепи и демпферных контуров (уравнения равновесия напряжений роторных контуров):

В систему уравнений, которая записана в относительных единицах Горева, входят переменные статорной цепи и переменные обмотки ротора:

› Переменные статорной цепи

Переменные , , , , , , , записаны относительно базисного напряжения статорной цепи;

Переменные , , , записаны относительно базисного тока и потокосцепления статорной цепи.

› Переменные обмотки ротора

Переменные записаны относительно базисного напряжения ротора;

Переменные , , записаны относительно базисного тока ротора.

Сопротивления, которые входят в систему уравнений синхронной машины

Ниже представлены сопротивления, которые входят в представленную систему уравнений синхронной машины (в именованных единицах).

— синхронное индуктивное сопротивление машины по продольной оси;

— синхронное индуктивное сопротивление машины по поперечной оси;

— индуктивное сопротивление реакции якоря по продольной оси (сопротивление взаимоиндукции роторных и статорных контуров в продольной оси)

— индуктивное сопротивление реакции якоря по поперечной оси (сопротивление взаимоиндукции роторных и статорных контуров в поперечной оси)

— индуктивное сопротивление обмотки возбуждения

— индуктивное сопротивление демпферной обмотки в продольной оси

— индуктивное сопротивление демпферной обмотки в поперечной оси

— индуктивное сопротивление рассеяния

Примечание:

Для перевода данных переменных сопротивления к базисным единицам достаточно разделить переменные на базисную величину .

Соотношения между переменными и , и :

Вспомогательные ЭДС, которые входят в систему уравнений синхронной машины

Ниже представлены вспомогательные ЭДС, которые входят в представленную систему уравнений синхронной машины (в именованных единицах).

— синхронная ЭДС статора, которая индуктируется током возбуждения в контуре статорной обмотке при синхронной частоте вращения.

— синхронная ЭДС, связанные с токами демпферных контуров

— синхронная ЭДС, связанные с токами демпферных контуров

— переходная ЭДС статора синхронной машины

— переходная ЭДС, связанная с токами демпферных контуров

— переходная ЭДС, связанная с токами демпферных контуров

Примечание:

Для перевода переменных из именованных единиц к базисным единицам достаточно разделить переменные на базисную величину напряжения:

.

Таким образом, вспомогательные ЭДС в относительных единицах Горева определяются следующим образом:

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Математическое описание переходных процессов

Дополнительно по теме

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

При классификации переходных процессов, различают волновые процессы, электромагнитные и электромеханические. Здесь рассмотрены два последних вида переходных процессов.

Из общих уравнений Парка — Горева, изложенных ниже, могут быть найдены значения токов при любых переходных процессах в системах, в том числе при коротких замыканиях, однако в этом разделе не приводятся расчетные выражения для определения этих токов.

Расчеты по уравнениям Парка — Горева (П.-Г.) довольно сложны и проводятся только при применении вычислительных машин. Обычно при аналитических расчетах, расчетах с помощью статических моделей (расчетных столов) и значительной части расчетов, выполняемых на вычислительных машинах, целесообразно пользоваться упрощенными уравнениями. Правильный выбор системы уравнений и необходимой точности анализа, соответствующей реальной технической задаче, составляет искусство инженера.

Дифференциальные уравнения синхронных машин дают возможность проводить анализ переходных процессов в электрических системах с учетом наибольшего количества влияющих факторов (изменений угловой скорости ротора, апериодических составляющих токов статора, периодических токов ротора, активного сопротивления в цепи статора генератора). Опустив те или иные члены в уравнениях П. — Г., можно получить упрощенные уравнения, применяющиеся: а) для расчетов токов коротких замыканий (без учета изменений скорости); б) для расчета электромеханических переходных процессов, обычно без учета апериодических составляющих тока, статора и периодических тока ротора.

Уравнения П. — Г. связывают мгновенные значения токов, магнитных потоков, напряжений в осях координат (d, q), жестко связанных с ротором.

Мгновенные значения параметров режима — фазные и в осях d, q

Эти значения определяют как проекции на оси времени фаз а, b, с вектора тока, вращающегося со скоростью w. Этот вектор тока (напряжения, э. д. с, потокосцепления) называют обобщенным.

Оси времени фаз, а, b, с неподвижны и совпадают с осями обмоток статора (рис. 37-1):

где a — произвольный угол.

Проекции обобщенного вектора тока на оси d и q, жестко связанные с ротором, дают значения, продольного и поперечного токов (рис. 37-2):

При наличии токов нулевой последовательности в системе имеет место соотношение

Соотношения, аналогичные приведенным выше, справедливы для напряжений, э. д. с. и потокосцеплений.

Соотношения между мгновенными значениями фазных величин и величинами в продольной и поперечной осях имеют вид:

Угол g меняется во времени:

где — полное потокосцепление статора в продольной оси; — то же в поперечной оси; — ток нулевой последовательности.

В случае симметричного режима системы токи нулевой последовательности отсутствуют и выражения упрощаются.

Значения и определяются из выражений:

где G(p)-операторная проводимость машины; Xd(p)-операторное сопротивление машины в продольной оси; Xq(p)-то же в поперечной оси; Uв — напряжения возбуждения машины.

Для машины без успокоительных обмоток и эквивалентных им контуров

Если известна э. д. с. Eq, по можно найти так:

Для машины с успокоительными обмотками в продольной и поперечной осях и определяются теми же уравнениями.

Рис. 37-2. Положение обобщенного вектора тока I в пространстве и его проекции на продольную и поперечную оси ротора.

Уравнения Парка — Горева для синхронной машины в операторной форме

Эти уравнения при принятых на рис. 37-3 направлениях осей имеют вид:

В системе относительных единиц ; тогда .

Третье уравнение системы относится к случаю несимметричного режима или несимметричной схемы.

Уравнения, приведенные выше, полностью описывают переходный процесс машины, работающей на шины неизменного напряжения. Для анализа переходного процесса в сложной системе уравнения составляются для каждого элемента (генераторов, нагрузок, участков сети) и решаются совместно.

Решение уравнений, описывающих переходный процесс в системе

Решение приведенной выше системы уравнений относительно токов или других величин, рассматриваемых как неизвестные, проводится в операторной форме (для изображений). Например, находятся значения токов в виде:

где D1(p), D2(p)-частные определители системы; D(p)-общий определитель системы.

Характер переходного процесса в системе определяется знаком вещественной части корней определителя D(p). При переходный процесс затухающий.

Если изменения напряжений заданы, то можно записать:

Токи как функции времени находят, переходя от изображения к оригиналам, что может быть сделано с помощью формулы разложения.

Уравнения для вращающего момента и мощности во время относительного движения ротора

При принятых направлениях осей (рис. 37-3) момент электромагнитных сил, действующих на ротор, в общем случае имеет вид

При подстановке и выраженных через токи и реактивные сопротивления, электромагнитный момент может быть вычислен согласно

В системе относительных единиц, где коэффициент 3/2 учтен соответствующим выбором базисных величин,

Связь между мощностью, отдаваемой в сеть, и моментом следующая:

где в относительных единицах;

Электромагнитная мощность генератора, передаваемая с ротора на статор,

Уравнение относительного движения ротора в общем виде:

В относительных единицах

Упрощенные уравнения Парка — Горева для определения параметров режима при переходных электромеханических процессах

Эти уравнения применяются при расчетах токов коротких замыканий, устойчивости и т. д. При этом отказываются от учета влияния:

1) апериодической составляющей тока статора (трансформаторной э. д. с);

2) периодических токов ротора, связанных с апериодическими составляющими тока статора;

3) активного сопротивления в цепи статора.

Тогда в системе относительных единиц при уравнения П.- Г. для синхронной машины будут иметь вид:

В соответствии с этим упрощаются выражения для токов:

Выражения мощности и электромагнитного момента в этих условиях будут совпадать, так как при принятых предпосылках отдаваемая мощность численно равна вращающему моменту. Для симметричного или условно приведенного к симметричному режима (метод симметричных составляющих) получим:

Здесь и берутся с учетом принятых допущений.

Уравнение относительного движения ротора при принятых допущениях имеет вид

На основе упрощенного выражения момента можно перейти к ряду частных его выражений.