Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Определения и методы решений
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
По правилу дифференцирования сложной функции:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем в (2):
Интегрируем:
Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015
Виды дифференциальных уравнений
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.
Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
Начнем с примеров таких уравнений.
y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3
Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .
Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1
Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .
Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )
Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x
Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.
В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .
К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .
Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .
Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.
Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .
Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .
Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .
Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
Приведем примеры таких уравнений.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:
y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x
Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».
Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
Приведем примеры подобных уравнений.
К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2
Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0
Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.
Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :
- действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
- действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
- комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
- y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
- y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
- y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .
Пример 13
Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2
Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R
Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y
исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y
Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y
мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:
y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x
Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y
нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.
В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .
Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.
В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
- находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
- записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y
целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.
Уравнения первого порядка и методы их интегрирования
1. У равнения с разделяющимися переменными
Общий вид уравнений
С учетом равенства
уравнение (8.10) может быть записано в виде .
Разделим обе части на произведение функций M ( x )∙ Q ( y ) (при условии ) и после сокращения получим: . Так как переменные разделены, проин тегрируем уравнение почленно: . После нахождения интегралов получаем общий интеграл исходного ДУ. Предполагая, что , мы могли потерять решения. Следовательно, необходимо подстановкой M ( x )=0, Q ( y )=0 в исходное уравнение сделать проверку. В том случае, когда данные функции удовлетворяют уравнению, они также являются его решениями.
Пример 8.2. Проинтегрировать уравнение .
Решение . Представим уравнение в виде . Разделим переменные: . Проинтегрируем уравнение:
После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнений
где M ( x ; y ) и N ( x ; y )– однородные функции аргументов x и y одного и того же измерения m , то есть имеют место равенства
Метод решения уравнения (8.12) – деление на переменную x в степени измерения m : . Далее уравнение преобразуются с помощью следующей замены:
Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.
Пример 8.3. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Поделим уравнение на x 2 , получим . После замены (8.14) заданное по условию уравнение принимает вид , . В результате интегрирования получим . После обратной замены – искомый общий интеграл
Пример 8.4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
Решение . Правая часть уравнения обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Совершим замену , где u – некоторая функция от аргумента x . Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид
или . Разделим переменные: .
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
Потенцируя, находим .
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид cy = x 2 + y 2 , где c – произвольная постоянная
3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными
Общий вид уравнений
где – числа.
При c 1 = c 2 = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c 1 и c 2 не равных нулю одновременно.
1) Определитель . Вводят новые переменные u и v , положив x = u + x 0 , y = v + y 0 , где ( x 0 ; y 0 ) – решение системы уравнений .
В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.
Пример 8.5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
Решение . Определитель , следовательно, решаем систему уравнений . Получаем значения x 0 = – 1; y 0 =2, с использованием которых осуществляем замену x = u – 1; y = v + 2, при этом . Заданное по условию ДУ принимает вид:
, (*) – однородное ДУ относительно функции v и переменной u .
С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:
Осуществим обратную подстановку :
– общий интеграл исходного уравнения
2) Определитель . Это означает пропорциональность коэффициентов или
Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
Решение . Определитель , следовательно, осуществляем замену
Исходное уравнение принимает вид:
Далее . Разделим переменные: или . Проинтегрируем уравнение:
После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнений
где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).
Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.
1) Метод Бернулли-Фурье состоит в том, что решение ищется в виде произведения двух неизвестных функций y ( x )= u ( x )∙ v ( x ) или коротко y = u ∙ v , при этом . Одна из функций будет представлять общую часть решения и содержать константу интегрирования c , другая функция может быть взята в частном виде при конкретном значении константы (общее решение ДУ первого порядка должно содержать одну константу интегрирования). Подставим выражения y и в (8.16), после чего оно принимает вид:
Функцию v ( x ) подберем в частном виде так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. Для этого решим уравнение с разделяющимися переменными или . Отсюда в результате интегрирования получим: . Так функция v ( x ) выбиралась произвольно, то можно положить c = 1, тогда . Подставив найденную v ( x ) в (8.17), приходим к еще одному уравнению с разделяющимися переменными . Интегрируя его, получим функцию . Общее решение исходного ДУ (8.16) принимает вид
Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.
Решение . Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка с функциями . Применим подстановку y = u ∙ v , где u и v – некоторые функции аргумента x . Так как y = u ∙ v , то , и заданное уравнение принимает вид:
Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и
Полагая c = 1, получим u = cos x . При таком выборе функции u уравнение (**) примет вид:
. Отсюда v=tg x+c . Тогда – общее решение заданного уравнения.
Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):
По условию задачи имеем: P ( x )= tg x , . Следовательно, . Так как , то с использованием основного логарифмического тождества получаем:
Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения
2) Метод Лагранжа иначе называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка, то есть исходное уравнение без правой части . Разделив переменные и проинтегрировав, в найденном решении полагают постоянную c функцией c ( x ). После этого функцию y дифференцируют и вместе с подставляют в исходное уравнение. При этом получают уравнение относительно неизвестной функции c ( x ), отыскав которую, подставляют ее в y – общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (с правой частью).
Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).
Решение . Решим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка или . Разделим переменные: . В результате интегрирования получаем: – общее решение соответствующего однородного уравнения. Применим метод варьирования константы, то есть предположим c = c ( x ). Тогда общее решение исходного линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: . Подставим y и в исходное уравнение:
Подставляя найденное c ( x ) в y , имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
5. Уравнения Бернулли
Общий вид уравнений
При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.
Рассмотрим . Метод решения – деление уравнения на , после чего (8.1 9) принимает вид . С помощью замены z = y – n +1 исходное уравнение становится линейным относительно функции z ( x ):
то есть его решение находится аналогично пункту 4. На практике искать решение уравнения (8.17) удобнее методом Бернулли в виде произведения неизвестных функций y = u ∙ v . Заметим, что y = 0 – всегда является решением исходного уравнения (8.17).
Пример 8.9. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли. Положим y = u ∙ v , тогда и уравнение примет вид:
Выберем функцию u так, чтобы выполнялось равенство: . Разделим переменные и проинтегрируем:
Тогда заданное уравнение после сокращения на u примет вид: или – уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение: . Интегрируя последнее уравнение, получим: . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:
6. Уравнения в полных дифференциалах
6.1. Общий вид уравнений
где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ), то есть . В этом случае ДУ (8.21) можно записать в виде , а его общий интеграл будет F ( x ; y )= c .
Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.2. Для того чтобы выражение , где функции M ( x ; y ) и N ( x ; y ), их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости x 0 y , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
(8.22)
Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:
Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.
Зафиксируем переменную y и проинтегрируем первое уравнение из (8.23) по x , получим:
Здесь мы применили метод вариации произвольной постоянной, так как предположили, что константа c зависит от y (либо является числом). Продифференцировав (8.24) по переменной y и приравняв производную к функции N ( x ; y ), мы получим уравнение для нахождения неизвестной c ( y ). Подставив c ( y ) в (8.24), находим функцию F ( x ; y ) такую, что .
Пример 8.10. Решить уравнение .
Решение. Здесь функция .
Проверим условие (8.22): . Следовательно, левая часть заданного уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ). Для ее отыскания проинтегрируем функцию M ( x ; y ) по переменной x , считая y = const :
Пусть c = c ( y ), тогда . Продифференцируем данную функцию по y , получим . Отсюда .
Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:
Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию μ ( x ; y ), называемую интегрирующим множителем .
Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие
Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим: . Для нахождения μ ( x ; y ) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование μ как функции только одного аргумента x либо только y .
6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:
При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.
6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить
где подынтегральное выражение должно зависеть только от y .
Пример 8.11. Решить уравнение .
Решение . Здесь , то есть . Проверим существование интегрирующего множителя. По формуле (8.26) составляем подынтегральное выражение:
7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
К уравнениям данного вида относятся уравнения Лагранжа и Клеро, которые образуют достаточно большой класс ДУ, решаемых методом введения параметра .
7.1. Уравнение Лагранжа
Общий вид уравнений
где φ и ψ– известные функции от . После введения параметра уравнение (8.28) принимает вид
Продифференцируем его по x :
Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:
Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).
Примечание. При переходе к уравнению (8.30) мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых или p = p 0 = const . Это означает, что p 0 является корнем уравнения p = φ ( p )=0 (смотри уравнение (8.30)). Тогда решение для уравнения (8.28) является особым
7.2. Уравнение Клеро представляет собой частный случай уравнения Лагранжа при , следовательно, его общий вид
. (8.32)
Вводим параметр , после чего уравнение (8.30) записывается так:
Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:
При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:
Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.
Пример 8.12. Решить уравнение Клеро .
Решение. Согласно формуле (8.32) общее решение имеет вид y = cx + c 2 . Особое решение уравнения получим по (8.33) в виде . Отсюда следует: , то есть
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/vidy-differentsialnyh-uravnenij/
http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/glava-viii-elementy-teorii-obyknovennyh-differencialnyh-uravnenij/viii-2-nekotorye-vidy-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poradka