Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным
Метод решения
К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1) ,
где z – функция от y ; p и q – функции от x .
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z :
.
Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x
Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y . То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x , а не y . В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2) ,
где P, Q, R –функции от y .
Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x . Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Умножаем на и выполняем алгебраические преобразования:
;
.
Разделив на R ( y ) , приводим уравнение к виду:
,
где .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.
Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка
Решить уравнение:
(П.1) .
Подставим в (П.1):
.
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y . Умножим на :
(П.2) .
Делаем подстановку:
.
Здесь z – сложная функция от y , .
Дифференцируем по y . По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляем в (П.2):
;
.
Это линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e y :
;
;
.
Интегрируем по частям:
;
;
;
.
Переходим к переменной x :
;
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2012 Изменено: 26-06-2015
Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным
Разделы: Математика
Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.
Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).
Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.
Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.
Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.
Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.
Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.
Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
- преобразования данного уравнения к простейшим;
- решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть — в значительной степени — эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.
Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 — ни одно из них не имеет корней.
Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.
К равносильным преобразованиям относятся:
1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.
2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x
3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.
Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b — действительные числа, а — называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.
Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:
- а 0, в этом случае корень уравнения равен b/a
- а = 0; b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0х = b, что верно при любом х, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
- а = 0; b 0; в том случае уравнение принимает вид 0х = b, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:
1)
Это уравнение сводиться к линейному уравнению.
Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:
8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,
8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,
2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 — (1 — 2х) не имеет корней.
Упростим обе части уравнения:
2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,
Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.
3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.
При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:
1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.
Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.
Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.
Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.
По определению модуля числа a, имеем:
Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a -1, тогда
,
Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.
На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.
На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):
- устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
- определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
- для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
- находятся общие решения x=f1 (a),…, fk (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах Аf1,…, Аfk значений параметра;
- составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
- на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
- для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
- Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.
Рассмотрим несколько примеров.
1. | 2х – 3 = m+1, |
2х – 3 = + 4 m + 1,
Умножим обе части уравнения на 3, получим
6х — m•х + 12m + 12,
, 6 – m ? 0, m ? 6.
Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.
2. , при m 2, x 1, n 0.
mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,
mx – 2x – 3xn = — 2 + 2n +n,
mx – 2x – 3xn = 3n – 2,
x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.
Рассмотрим случай, где a = 0, тогда
m = 3n +2, при n 0
n = .
m = 3 • + 2,
x(4 – 2 – 3 ) = 3 • — 2,
x – любое число, кроме x = 1.
б) 3n – 2 0
0 • x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.
2) a 0
m – 2 – 3n 0
m 2 + 3n.
x = , при x ? 1,
1,
3n – 2 m – 2 – 3n,
3n + 3n 2 – 2 + m,
6n m (n )
В этом случае уравнение решений не имеет.
Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n
(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .
Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R\.
2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.
3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .
В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.
В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:
- изучение условия задачи;
- поиск плана решения и его составление;
- оформление найденного решения;
- критический анализ результата решения.
Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.
1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?
Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.
1/7 (х + 640) + 0,4•х = 200,
х + 640 + 2,8•х =1400,
Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.
(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.
2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?
Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.
+=,
60х + 300 = 40х + 400,
60х – 40х = 400 – 300,
Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.
При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.
Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.
Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.
Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x1,…,xn – корни уравнения x n + a1x n-1 +…+an=0, то имеют место формулы:
Литература:
- Журнал “Математика в школе” 6, 1999
- Приложение к газете “Первое сентября”- математика 20, 1999.
- С.И. Туманов “Алгебра”, пособие для учащихся 6-8 классов.
- Н.И. Александров; И. П.Ярандай “Словарь-справочник по математике”.
- О.Б. Епишева; В.И. Крупич “Учить школьников учиться математике”.
- Е.И.Ямщенко “Изучение функций”.
- А.И. Худобин; М.Ф. Шуршалов “Сборник задач по алгебре и элементарным функциям”.
- Ш. А. Алимов, В.А. Ильин “Алгебра 6-8 классы”.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от . Нормальный вид такого уравнения
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .
Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.
Подставляя в , после преобразования получаем
Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .
Пример 3. Решить задачу Коши: .
Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь
Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например , и подставляя его, получаем уравнение , из которого находим функцию . Следовательно, общее решение уравнения будет
Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .
Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :
Найти силу тока для случая, когда и .
Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет
Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .
Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид
По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем
Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .
Пример 6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: ограничено при .
Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли .
Решение. Делим обе части уравнения на :
Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .
Пример 8. Решить уравнение Бернулли .
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь
Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
Итак, общее решение исходного уравнения .
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение .
Решение. Запишем данное уравнение в виде .
Деля обе части уравнения на , получаем .
Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .
Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .
В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем
Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно
Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.
http://urok.1sept.ru/articles/410415
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka-i-uravnenie-bernulli