Уравнения первой степени и линейная функция

Линейная функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной).

Определение и геометрический смысл

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у:

где и b — заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел х и у.

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению ( * ), нужно придать х произвольное числовое значение и подставить в уравнение ( * ), тогда у получит определенное числовое значение. Например, если х = 27, то у = 2 x 27 — 6 = 48. Очевидно, что пара чисел х =27 и у =48 удовлетворяет уравнению (*). Так же и в случае уравнения (1) можно придать х произвольное числовое значение и получить для у соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении х может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то х называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для у получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения х; поэтому у называют зависимым переменным или функцией.

Функцию у, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением у = 0,5х + 3,7, при следующих значениях независимого переменного: х1 = 0, х2 = —0,5, х3 = —7,6.

Покажем, что если принять пару чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку В(0, b) и точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е.

Обозначим проекции точек М1 и М2 на ось Ох через А1 и A2, тогда ОА1 = х1, ОА2 = х2, А1М1= у1, А2М2 = у2. Проведем из точки В прямую, параллельную оси Ох. При этом получим b = ОВ = А1Р1 = А2Р2.

Предположим, что точки BМ1 и М2 не лежат народной прямой. Соединяя точку В с точками М1 и М2, получим два прямоугольных треугольника ВР1М1 и ВР2М2, из которых имеем:

Но так как х1, у1 и х2, у2 удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для уг лов Р1ВМ1 и Р2ВМ2. Следовательно, tg Р1ВМ1 = и tg Р2ВМ2 = , а поэтому и Р1ВМ1 = P2BM2 так как углы острые. Это значит, что точки М2 и В лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки M1, М2 и В лежат на одной прямой. Обозначим угол Р1ВМ1 через а. Этот угол образован прямой ВМ1 с положительным направлением оси Ох.

Так как М1 и М2 — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = b и образующей с положительным направлением оси Ох угол а такой, что tg a = .

Число b называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция y = x + b определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Ъ, а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Оу отрезок —4 и наклоненную к оси Ох под углом в 60°, так как tg60° = .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b и наклоненную к оси Ох под углом , тангенс которого равен то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному х найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение у.

Очевидно, имеет место и такое предложение:

Всякой прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен числу соответствует линейная функция y = x + b.

Координаты любой тонки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение у = х + b называют уравнением прямой. Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1.Пусть b = 0, т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь у пропорционален х, т. е. если х увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и у увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2.Пусть = 0, т. е. tgа = 0, откуда а = 0. Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстояние b.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Задача:

Даны точки А (3, 5) и В(— 1, 4). Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки А в уравнение (*), получим 5 = 2 x 3 — 1. Это тождество, следовательно, точка А лежит на прямой. Подставляя координаты точки В, получаем 4 = 2(— 1)—1 = —3. Отсюда видно, что точка В не лежит на прямой.

Задача:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим х произвольное значение, например х = 2, и найдем из уравнения (**) значение

Значит, точка A (2, 4) лежит на прямой.

Это первая точка. Теперь дадим х какое-нибудь другое значение, например х = —2, и вычислим у из уравнения (**).

Точка B ( — 2, 2) лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки A и B (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию у = х + b. Найдем значение этой функции при

Здесь первое и второе значения х различны, они отличаются друг от друга на величину х2 — х1. Величину разности х2 — х1, на которую изменяется x при переходе от x1 к х2, назовем приращением независимого переменного х. Эту величину часто будем обозначать через h, так что h = x2 — x1. Найдем, насколько изменилось значение у при изменении х1 на h . Для этого вычтем из у2 значение у1

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции. Заметим, что х2 может быть больше, а может быть и меньше, чем х1. Поэтому h = x2 — x1 может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение h независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине у2—у1.

Пример:

Найдем приращение функции y = 0,6x—3, если приращение независимого переменного h = 0,1.

По основному свойству у2—у1 = 0,6 x 0,1 = 0,06.

Приращение этой же функции y = 0,6x—3 , если h = —3, будет равно у2—у1 = 0,6 x (— 3) = —1,8. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции у = —2x+10 при изменении х на h = —0,5. Будем иметь

Задачи на прямую

Задача:

Найти угол y между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Угол хАВ является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е.

Но углы а1 и а2 непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями

применяя формулу (1), получим;

Если же будем считать, что

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы а1 и а2 равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. . Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями

Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй обратны по величине и противоположны по знаку, следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Задача:

Даны две точки: M1(x1, у1) и М2(х2, у2), где (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу). Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Оу, поэтому ее уравнение можно написать в виде Значит, для решения задачи надо определить числа и b.

Так как прямая проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению ( * ), т. е.

В уравнениях ( ** ) и (*** ) все числа, кроме и b, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и b. Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение (*), получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Оу.

Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Задача:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1,у1) и образующей с осью Ох угол а.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла а. Обозначим Значит, уравнение прямой можно написать в виде где пока число b неизвестно. Так как прямая должна проходить через точку M, то координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное b, получим . Подставляя найденное в уравнение (*), будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку M, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а х1 и у1 не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М(х1, у1).

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку М( — 2, 3) и образующей с осью Ох угол 45°.

Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент равен 1; х1 = —2; у1 = 3. Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно у:

т. е. мы получили линейную функцию, где ,Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой.

Рассмотрим особо случай, когда B = 0, так как на нуль делить нельзя.

Уравнение (1) примет вид

Поэтому, каков бы ни был у, х всегда равен Это имеет место для прямой, параллельной оси Оу; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу.

Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить у, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке).

Рассмотрим систему двух уравнений

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения х и у, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как х и у определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим: х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1,2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим:

Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, Рис. 17. т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении x. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры решения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения

где — начальное расстояние, v0 — скорость, t — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде

где v — напряжение, R — сопротивление и I — ток. Если не изменяется, то v является линейной функцией тока I .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна а руб. за километр, то стоимость v провоза N единиц товара на l км равна

Если же стоимость товара на месте равна М руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь v—линейная функция l.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Задача:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А и В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В—200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в а руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через х. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — х. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в A равна ах руб., а перевозки 400 т—400аx руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить 200а (300 — х) руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через у, будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем х за абсциссу, а у за ординату точки, то полученная линейная функция определяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен 200а, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Ох острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина х заключена между 0 и 300, т. е. При х = 0 величина у принимает значение 60 000а, а при x = 300— значение 120 000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе A, если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к A, тем выгодней.

Примеры применения линейной функции

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения — Наука

Содержание:

В первая степень или линейные уравнения с неизвестным — это те, которые могут быть выражены как сумма двух членов следующим образом:

куда а и б, с участием к ≠ 0, являются действительными числами R или также комплексными C. Чтобы решить эту задачу, члены транспонируются, что означает изменение членов с одной стороны равенства на другую.

Чтобы решить неизвестное, транспонируется член + b, который должен перейти в правую часть равенства с измененным знаком.

Затем значение x очищается следующим образом:

В качестве примера мы собираемся решить следующее уравнение:

Переносим член -5 в правую часть с измененным знаком:

Это эквивалентно добавлению 5 к обеим сторонам исходного уравнения:

6x — 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

А теперь решаем неизвестный «х»:

Это эквивалентно делению обеих частей равенства на 6. Таким образом, мы можем использовать следующее, чтобы получить решение:

-Вы можете прибавить или вычесть одно и то же количество к обеим сторонам равенства в уравнении, не изменяя его.

-Вы также можете умножить (или разделить) на одинаковую величину все члены как слева, так и справа от уравнения.

-И если оба члена уравнения возведены в одну и ту же степень, равенство также не изменяется.

Как решать уравнения первой степени

Решение уравнения первой степени также называется его корнем. Именно значение x преобразует исходное выражение в равенство. Например в:

Если мы подставим в это уравнение x = 5, мы получим:

Поскольку линейные уравнения первой степени бывают разных форм, которые иногда не очевидны, существует ряд общих правил, которые включают в себя несколько алгебраических манипуляций, чтобы найти значение неизвестного:

— Во-первых, если есть указанные операции, их необходимо провести.

— Группирующие символы, такие как круглые скобки, скобки и фигурные скобки, если они существуют, должны быть удалены с сохранением соответствующих знаков.

— Термины переносятся так, что все те, которые содержат неизвестное, помещаются с одной стороны равенства, а те, которые не содержат его, с другой.

-Затем все подобные термины сокращаются до формы топор = -b.

–И последний шаг — прояснить неизвестное.

Графическая интерпретация

Уравнение первой степени, поставленное в начале, может быть получено из уравнения прямой y = mx + c, в результате чего y = 0. Полученное значение x соответствует пересечению прямой с горизонтальной осью.

На следующем рисунке есть три линии. Начиная с зеленой линии, уравнение которой:

Делая y = 0 в уравнении прямой, получается уравнение первой степени:

Чье решение — x = 6/2 = 3. Теперь, когда мы детализируем график, легко понять, что на самом деле линия пересекает горизонтальную ось в точке x = 3.

Синяя линия пересекает ось x в точке x = 5, которая является решением уравнения –x + 5 = 0. Наконец, линия с уравнением y = 0,5x + 2 пересекает ось x в точке x = — 4, что легко увидеть из уравнения первой степени:

Примеры простых линейных уравнений

Целочисленные уравнения

Это те, в терминах которых нет знаменателей, например:

Дробные уравнения

Эти уравнения содержат по крайней мере один знаменатель, отличный от 1. Чтобы решить их, рекомендуется умножить все члены на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, чтобы исключить их.

Следующее уравнение является дробным типом:

Поскольку эти числа малы, нетрудно увидеть, что m.c.m (6, 8,12) = 24. Этот результат легко получить, выразив числа как произведение простых чисел или их степеней, давайте посмотрим:

Наименьшее общее кратное определяется путем умножения общего и необычного множителей 6, 8 и 12 на их наибольшую экспоненту, затем:

lcm (6,8,12) = 2 3 ⋅3 = 8 × 3 = 24

Поскольку у нас есть наименьшее общее кратное, его нужно умножить на каждый из членов уравнения:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Мы пользуемся распределительным свойством:

4x + 20 — 6x -9 = 2 — 10x

Все члены, содержащие неизвестный «x», сгруппированы в левой части равенства, а независимые или числовые члены остаются в правой части:

4x — 6x + 10 x = 2 +9 — 20

Буквальные уравнения

Это линейные уравнения с одним неизвестным, которые, однако, сопровождаются буквальными коэффициентами (буквами). Эти буквы обрабатываются так же, как и числа. Пример буквального уравнения первой степени:

Это уравнение решается так же, как если бы независимые члены и коэффициенты были числовыми:

-3ax — 5x = — b — 2a

Факторизация неизвестного «x»:

х (-3a — 5) = — b — 2a

х = (- b — 2a) / (-3a — 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Системы уравнений первой степени

Системы уравнений состоят из системы уравнений с двумя или более неизвестными. Решение системы состоит из значений, которые одновременно удовлетворяют уравнениям, и для его однозначного определения должно быть уравнение для каждой неизвестной.

Общий вид системы м линейные уравнения с п неизвестные это:

Если у системы есть решение, оно называется совместимый определен, когда существует бесконечный набор значений, которые удовлетворяют, это неопределенный совместимый, и, наконец, если у нее нет решения, то она несовместимый.

При решении систем линейных уравнений используются несколько методов: редукция, подстановка, выравнивание, графические методы, метод исключения Гаусса-Жордана и использование определителей являются одними из наиболее часто используемых. Но есть и другие алгоритмы решения, более удобные для систем со многими уравнениями и неизвестными.

Пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7лет — 9
6х = 3у + 6

Решение этой системы представлено далее в разделе решенных упражнений.

Линейные уравнения с абсолютным значением

Абсолютное значение действительного числа — это расстояние между его положением на числовой прямой и нулем на числовой прямой. Поскольку это расстояние, его значение всегда положительно.

Абсолютное значение числа обозначается полосами по модулю: │x│. Абсолютное значение положительного или отрицательного числа всегда положительно, например:

В уравнении абсолютного значения неизвестное находится между стержнями модуля. Рассмотрим следующее простое уравнение:

Есть две возможности, первая — это положительное число x, и в этом случае мы имеем:

Другая возможность состоит в том, что x — отрицательное число, в этом случае:

Это решения этого уравнения. Теперь посмотрим на другой пример:

Сумма внутри столбцов может быть положительной, поэтому:

Или это может быть отрицательно. В таком случае:

-x — 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

А ценность неизвестного:

Таким образом, это уравнение абсолютного значения имеет два решения: x₁ = 5 и x₂ = -17. Мы можем проверить, что оба решения приводят к равенству в исходном уравнении:

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7y -9
6х = 3у + 6

Решение

Как предлагается, эта система идеальна для использования метода подстановки, поскольку во втором уравнении неизвестная Икс практически готов к оформлению:

И его можно сразу подставить в первое уравнение, которое затем становится уравнением первой степени с неизвестным «y»:

8 [(3y + 6) / 6] — 5 = 7y — 9

Знаменатель можно опустить, умножив каждый член на 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] — 6.5 = 6 .7y– 6. 9

8⋅ (3лет + 6) — 30 = 42лет — 54

Применяя распределительное свойство в первом члене справа от равенства:

24 года + 48-30 = 42 года — 54 ⇒ 24 года + 18 = 42 года — 54

Уравнение можно упростить, так как все коэффициенты кратны 6:

4лет + 3 = 7лет — 9

С этим результатом переходим к очистке от x:

х = (3у +6) / 6 → х = (12 + 6) / 6 = 3

— Упражнение 2.

Решите следующее уравнение:

Решение

Продукты представлены в этом уравнении, и, следуя инструкциям, данным в начале, они должны быть разработаны в первую очередь:

3х — 10х +14 = 5х + 36х + 12

Тогда все члены, содержащие неизвестные, переносятся в левую часть равенства, а в правую часть будут стоять независимые члены:

3x — 10x — 5x — 36x = 12 — 14

— Упражнение 3.

Сложение трех внутренних углов треугольника дает 180 °. Наивысшее превосходит второстепенное на 35 °, а последнее, в свою очередь, превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °. Какие углы?

Решение

Мы будем называть «x» большим углом, «y» — средним, а «z» — наименьшим. Когда в утверждении говорится, что их сумма равна 180º, можно записать:

Тогда мы знаем, что большее превышает меньшее на 35º, мы можем записать это так:

Наконец, наименьшее значение превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °:

У нас есть система из 3-х уравнений и 3-х неизвестных:

Решая для z из первого уравнения, мы имеем:

180 — х — у = х — у + 20

Передача неизвестных в левую часть, как всегда:

-x — y — x + y = 20 — 180

Буква «y» отменяется и остается:

Из второго уравнения находим значение z:

z = x — 35 = 80 — 35 = 45º

И значение y находится от первого или третьего:

y = 180 — x — z = 180 — 80 — 45 = 55º

Ссылки

Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
Монтерейский институт. Уравнения, неравенства и абсолютное значение. Получено с: montereyinstitute.org.
Интернет-учитель. Классификация линейных уравнений или уравнений первой степени. Получено с: profesorenlinea.cl.
Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.

Мавританский роман: происхождение, характеристика, представители и произведения

Линейная функция — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными

где и —заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел и .

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению , нужно придать произвольное числовое значение и подставить в уравнение , тогда получит определенное числовое значение. Например, если . Очевидно, что пара чисел и удовлетворяет уравнению. Так же и в случае уравнения (1) можно придать произвольное числовое значение и получить для соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения ; поэтому называют зависимым переменным или функцией.

Функцию , определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением , при следующих значениях независимого переменного: .

Решение:

Если ; если ; если .

Покажем, что если принять пару чисел и , удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку и точки и , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е. . Обозначим проекции точек , и на ось через , и , тогда , Проведем из точки прямую, параллельную оси . При этом получим

Предположим, что точки и , не лежат на родной прямой. Соединяя точку с точками , и , получим два прямоугольных треугольника и , из которых имеем:

Но так как и удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для углов и . Следовательно, и — а поэтому и так как углы острые. Это значит, что точки и лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки и лежат на одной прямой. Обозначим угол через . Этот угол образован прямой с положительным направлением оси .

Так как и — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси отрезок и образующей с положительным направлением оси угол такой, что .

Число называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна , а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси отрезок —4 и наклоненную к оси под углом в 60°, так как .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси отрезок и наклоненную к оси под углом тангенс которого равен , то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение .

Очевидно, имеет место и такое предложение: Всякой прямой, отсекающей на оси отрезок и наклоненной к оси под углом, тангенс которого равен числу , соответствует линейная функция .

Координаты любой, точки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение называют уравнением прямой.

Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1. Пусть , т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь пропорционален , т. е. если увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2. Пусть , т. е. , откуда . Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси и отстоящая от нее на расстояние .

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Пример:

Даны точки и . Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки в уравнение, получим . Это тождество, следовательно, точка лежит на прямой. Подставляя координаты точки , получаем . Отсюда видно, что точка не лежит на прямой.

Пример:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим произвольное значение, например , и найдем из уравнения значение . Значит, точка лежит на прямой. Это первая точка. Теперь дадим какое-нибудь другое значение, например , и вычислим у из уравнения . Получим. Точка лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки и (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию . Найдем значение этой функции при :

Здесь первое и второе значения различны, они отличаются друг от друга на величину Величину разности , на которую изменяется при переходе от к , назовем приращением независимого переменного . Эту величину часто будем обозначать через , так что . Найдем, насколько изменилось значение при изменении , на . Для этого вычтем из значение :

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции.

Заметим, что , может быть больше, а может быть и меньше, чем . Поэтому может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине.

Пример:

Найдем приращение функции , если приращение независимого переменного .

Решение:

По основному свойству . Приращение этой же функции , если , будет равно . В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции при изменении на . Решение:

Задачи на прямую

Пример:

Найти угол между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

Угол является внешним по отношению к треугольнику , поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е. откуда Но углы и , непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы. Поэтому напишем

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями . Здесь ;

Решение:

Применяя формулу (1), получим:

Если же будем считать, что то

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы и , равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй ) обратны по величине и противоположны по знаку.

Решение:

Следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Пример:

Даны две точки: , где , (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси ). Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси , поэтому ее уравнение можно написать в виде . Значит, для решения задачи надо определить числа и . Так как прямая проходит через точки , и , то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению , т. е.

В уравнениях и все числа, кроме и , известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и .

Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение , получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси . Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку и образующей с осью угол .

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла . Обозначим . Значит, уравнение прямой можно написать в виде , где пока число неизвестно.

Так как прямая должна проходить через точку , то координаты точки удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное , получим . Подставляя найденное в уравнение , будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку , то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а и не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол 45°.

Решение:

Так как , то угловой коэффициент равен 1; . Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно :

т. е. мы получили линейную функцию, где ,

Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел и , удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой. Рассмотрим особо случай, когда , так как на нуль делить нельзя. Уравнение (1) примет вид или , откуда . Поэтому, каков бы ни был всегда равен . Это имеет место для прямой, параллельной оси ; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить , т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как и определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: т. е. прямые пересекаются в точке (1, 2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решение:

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении . Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Примеры применения линейной функции

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения , где — начальное расстояние, —скорость, — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде , где — напряжение, — сопротивление и —ток. Если не изменяется, то является линейной функцией тока .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна руб. за километр, то стоимость провоза единиц товара на км равна

Если же стоимость товара на месте равна руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь — линейная функция .

Пример:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А к В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В —200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через . Тогда расстояние от города В до С равно 300 — . Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в А равна руб., а перевозки 400 т—400 руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через , будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем за абсциссу, а за ординату точки, то полученная линейная функция опредеяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен , т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина заключена между 0 и 300, т. е. . При величина у принимает значение 60000а, а при — значение 120000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе А; если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к А, тем выгодней.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика
Алгебра
Линейная алгебра
Векторная алгебра
Высшая математика
Дискретная математика
Математический анализ
Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Квадратичная функция
Тригонометрические функции
Производные тригонометрических функции
Производная сложной функции
Функции нескольких переменных
Комплексные числ
Координаты на прямой
Координаты на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://ru1.warbletoncouncil.org/ecuaciones-primer-grado-7860

http://www.evkova.org/linejnaya-funktsiya