Уравнения первой степени с одним неизвестным

Математика

49. Происхождение уравнений . Возьмем какой-либо линейный двучлен (см. п. 43), например, 5x – 7. Здесь буква x обозначает какое-либо число. Мы можем заменить x любым числом. Заменим x сначала нулем; тогда наш двучлен окажется равен –7. Заменим затем x числом +1; тогда наш линейный двучлен окажется равен числу –2 (в самом деле, придется 5 умножить на +1 и к полученному произведению прибавить –7); заменим затем x числом 2, — тогда наш линейный двучлен окажется равен +3; заменим x числом 2½, — тогда двучлен окажется равен +5½; заменим x числом –2½, — тогда двучлен окажется равен числу –19½ и т. д. без конца.

Мы можем записать эти результаты в виде таблицы:

Мы видим, что число x изменяется; то взяли x = 0, то взяли x = 1 и т. д. — поэтому его называют переменным; так как, кроме того, число x меняется только по нашему желанию (мы можем взять для x произвольное значение), то это переменное называется независимым — в рассматриваемом примере x является независимым переменным. Рассматриваемый нами двучлен (5x – 7) также принимает различные значения (см. таблицу), но эти значения получаются в зависимости от того, какое числовое значение дано независимому переменному x. Поэтому мы можем установить, что в рассматриваемом примере двучлен меняется в зависимости от x; двучлен является таким образом здесь зависимым переменным. Часто называют еще зависимое переменное именем функция (добавляют: чего, какого независимого переменного): двучлен 5x – 7 является функциею x.

Возможен вопрос, обратный предыдущему: нельзя ли найти такое числовое значение для x, чтобы наш двучлен оказался равен какому-нибудь наперед заданному числу, например 55? Этот вопрос записан в последней строчке нашей таблицы: какое число надо взять для x (записано при помощи знака вопроса), чтобы двучлен оказался равен числу 55?

Удобно записать этот вопрос в такой форме:

(мы хотим выбрать число для x, чтобы 5x – 7 равнялось числу 55).

Последняя запись носит название «уравнение». Наше уравнение 5x – 7 = 55 выражает, следовательно, запись задачи: найти число для x, чтобы наш двучлен оказался равен 55. Непосредственным соображением эту задачу легко решить: из числа 5x вычитается число 7 и получается 55, — значит число 5x должно равняться 55 + 7, т. е. 62 или 5x = 62. Здесь известно произведение двух множителей (62) и один из них (5), — надо найти другой. Для этой цели надо 62 разделить на 5 — получим 12(2/5), из чего заключаем, что для x надо взять числовое значение 12(2/5). Мы решили нашу задачу и это решение можем записать в форме
x = 12(2/5).

Этот результат называется решением нашего уравнения.

Также легко найти решения других подобных уравнений.

12a – 9 = 51
a = 5 и т. п.

В каждом примере в первой строчке написано уравнение, которое является записью некоторой задачи (например, для третьего примера: найти число для a, чтобы двучлен 12a – 9 равнялся числу 51), во второй строчке каждого числа дано решение соответствующего уравнения.

Возникает желание развить предыдущее: нельзя ли записывать подобным же образом более сложные вопросы. Вот, например, один из них:

Возьмем два двучлена с одним и тем же независимым переменным, например, 4x + 3 и 7x – 1. Если мы станем x давать различные значения, то, в зависимости от них, будем получать соответствующие значения для двучленов:

пусть x = 0; тогда 1-ый двучлен = 3, а 2-ой = –1;
пусть x = 1; тогда 1-ый двучлен = 7, а 2-ой = 6;
пусть x = –1; тогда 1-ый двучлен = 1, а 2-ой = –8;
пусть x = 2; тогда 1-ый двучлен = 11, а 2-ой = 13 и т. д.

Возникает вопрос: нельзя ли отыскать такое значение для x, чтобы оба наши двучлена оказались равными одному и тому же числу. Эту задачу возможно записать в форме уравнения:

Теперь уже несколько труднее найти решение этого уравнения. Однако, все-таки возможно 1) увидать, что член 4x должен оказаться на 4 единицы меньше члена 7x (к члену 4x прибавляется еще 3 единицы, а от члена 7x вычитается одна единица, и тогда они оказываются равными), откуда заключаем, что 3x должно равняться 4 и, следовательно, для x надо взять число 1(1/3). И тогда мы запишем решение нашего уравнения:

Можно записывать уравнением и более сложные задачи. Например, уравнение

(x – 3)/(x + 3) – (x – 1)/(x + 1) = ¼

выражает задачу: найти такое значение для x чтобы дробь (x – 3)/(x + 3) оказалась на ¼ больше дроби (x – 1)/(x + 1). Непосредственно решить эту задачу уже вряд ли удастся.

В рассмотренных примерах мы имели лишь такие уравнения, где требовалось найти числовое значение лишь для одного переменного в каждом уравнении. Поэтому такие уравнения называются уравнениями с одним неизвестным.

Ясно, что могут иметь место и уравнения с двумя, с тремя и более неизвестными. Так, например, задача: найти числовые значения для x и y так, чтобы дробь x/y была на ¼ больше дроби x/(y + 8), может быть записана уравнение с двумя неизвестными:

Также точно, уравнение

выражает задачу: найти числа для x, y и z, чтобы трехчлен 3x – 5y + 2z оказался равен 14, — здесь мы имеем уравнение с тремя неизвестными.

Мы видели, что сообразить непосредственно, какому числу должно равняться неизвестное (или: каким числам должны равняться неизвестные), становится тем труднее, чем сложнее уравнение. Поэтому является потребность изыскать способы, при помощи которых можно было бы легко находить решение уравнений. Мы должны в первую очередь научиться решать уравнения с одним неизвестным и притом такие, где не придется встретиться с квадратом, кубом и т. д. этого неизвестного (уравнения первой степени).

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

Решение линейных уравнений.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3x 2 = 2

Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?

Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.

Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

А что означает решить уравнение?

Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.

Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?

Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.

Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.

Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.

А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?

В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.

Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:

— Подставить вместо переменной числовое значение.

— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.

Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.

Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:

Линейное уравнение имеет вид:

Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?

Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.

При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14

–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14

3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14

14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.

При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14

–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.

Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.

Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.

2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;

4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;

4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;

2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22

Уравнения первой степени с одним неизвестным

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Ее нельзя не любить — ее можно только не знать» ( Конфуций)

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

УРАВНЕНИЕ РАВЕНСТВО ДВУХ ВЕЛИЧИН, ВЫРАЖЕННЫХ ЗНАКАМИ, БУКВАМИ. (словарь Даля)

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Х+5=0 6-Х=0 5Х-7=0 5Х+3=0 Х – ЭТО НЕИЗВЕСТНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ

Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным kx+b=0, k ≠0 k- коэффициент при неизвестном в уравнении. b – свободный член уравнения 5x -3=0 5 – коэффициент (-3) — свободный член уравнения

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ- — ЭТО ЧИСЛО, ПРИ ПОДСТАНОВКЕ КОТОРОГО В УРАВНЕНИЕ ВМЕСТО ПЕРЕМЕННОЙ ПОЛУЧАЕТСЯ ВЕРНОЕ РАВЕНСТВО

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ Х+5=23 Х=1; 4; 18; -9. 6-Х=2 Х=0; -2; 1;4. Х-7=12 Х=2; -5; 0; 19. 5Х=30 Х=6; -4; 3; 0. Х:7=9 Х=0; 2; -7; 63. 12:Х=3 Х=2; -1; 6; 4. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ДАННЫЕ ЧИСЛА КОРНЯМИ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ ?

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ- — ЗНАЧИТ НАЙТИ ВСЕ ЕГО КОРНИ ИЛИ ДОКАЗАТЬ, ЧТО КОРНЕЙ НЕТ.

УРАВНЕНИЕ 5Х + 23 = 0 ЛЕВАЯ ЧАСТЬ ПРАВАЯ ЧАСТЬ СОСТОИТ ИЗ ДВУХ ЧАСТЕЙ: ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ

УРАВНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ УРАВНЕНИЯ МОЖНО ПЕРЕНОСИТЬ ИЗ ЛЕВОЙ ЧАСТИ В ПРАВУЮ ЧАСТЬ. ПРИ ПЕРЕНОСЕ У ЭЛЕМЕНТОВ МЕНЯЮТ ЗНАКИ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ: «+» НА «-» «-» НА «+»

УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНЕСИТЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В ЛЕВУЮ ЧАСТЬ, А ЧИСЛА В ПРАВУЮ ЧАСТЬ УРАВНЕНИЯ: Х+4 = 5-2Х ПРОВЕРЬ СЕБЯ: Х + 4 = 5 — 2Х Х + 2Х = 5 — 4 12 – Х = 3Х — 45 ПРОВЕРЬ СЕБЯ: 12 – Х = 3Х — 45 -Х — 3Х = — 45 — 12

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.

Чтобы решить уравнение kx +b =0, k ≠0 , надо: Перенести свободный член b этого уравнения в правую часть, изменив при этом знак у числа b на противоположный; Разделить обе части полученного уравнения на коэффициент k (k ≠0 ) при неизвестном; Тогда число, полученное в правой части последнего уравнения, и есть единственный корень уравнения kx +b =0, k ≠0.

Теперь попробуй свои силы! №637 (а, в, д, ж) № 639 (а, г) № 640 (а, в)

Домашнее задание: п.9.1(учить) №637 (б,г,е,з) № 638 № 640 (б,г)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 081 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 06.09.2018
• 215
• 0

• 28.08.2018
• 1066
• 1

• 28.08.2018
• 306
• 0

• 22.08.2018
• 210
• 0

• 22.08.2018
• 1976
• 36

• 22.08.2018
• 4892
• 70

• 20.08.2018
• 352
• 0

• 14.08.2018
• 1742
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.09.2018 1918
• PPTX 604 кбайт
• 42 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ильина Кристина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 2 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 6501
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.