Уравнения плоского движения тела термех

iSopromat.ru

Определение плоского движения

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости (рис. 1.1).

То есть точки М₁ и М₂ тела А, например, двигаются в плоскостях Q₁ и Q₂, соответственно параллельных плоскости Q.

Закон плоского движения

Если в первоначальной момент отрезок М₁М₂ перпендикулярен плоскостям Q, Q₁, Q₂, то и при последующем движении тела он остается параллельным своему первоначальному положению и перпендикулярным к этим плоскостям, т.е. движется поступательно.

Следовательно, скорости и ускорения всех точек тела, лежащих на отрезке М₁М₂, равны и одинаково направлены.

Это позволяет свести изучение движение отрезка М₁М₂ к изучению движения точки М₁ или М₂ вместе с соответствующим сечением тела в плоскости (рис. 1.2).

Положение фигуры в плоскости вполне определяется положением в этой плоскости какого-нибудь отрезка, например АВ, скрепленного с фигурой. Положение отрезка будет вполне определено, если будет известно положение какой-либо точки, например А (полюс), и угла наклона ( φ ) отрезка к выбранной оси.

Тогда закон движения фигуры в плоскости может быть записан в виде

В учебной литературе показано, что закон вращательного движения не зависит от выбора полюса.

Плоскопараллельное движение твердого тела.

1. Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Oxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ / , перпендикулярны к сечению (S), то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Oxy.

(4.1)

Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

2. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное

вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса

Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение Sдвижущегося тела в моменты времени t₁ и t₂= t₁ + Δt. Легко видеть, что сечение S, а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А, двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А₂. При этом отрезок A₁B₁займет положение , а затем повернем сечение вокруг полюса А₂ на угол Δφ₁.

Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.

При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А. Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А.

Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А — третьим из уравнений (2. 1).

Основные кинематические характеристики плоского движения

В качестве полюса можно выбирать любую точку тела

Вывод : вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение e являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры

Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры

3. Определение скоростей точек тела

Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью v_А и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox₁y₁ – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А».

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.

Геометрическая интерпретация теоремы

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части пропорциональные

расстояниям между соответствующими точками отрезка

4. План скоростей

Планом скоростей называется диаграмма, на которой из произвольно выбранного полюса откладываются скорости точек, а вращательные скорости звеньев из плюса не выходят и располагаются перпендикулярно звеньям.

Построение плана скоростей базируется на соотношениях (3.6)

Откуда следует, что отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки плана, и по модулю пропорциональны этим отрезкам, а их отношение равно угловой скорости плоской фигуры.

(3. 6′)

Уравнения плоского движения твердого тела

Уравнения плоского движения твердого тела

• Чтобы установить положение плоской фигуры на плоскости относительно системы координат Oixlyl на плоскости фигуры, достаточно установить положение сегмента ОМ (рис. 42), прикрепленного к фигуре на этой плоскости. Положение сегмента OM относительно системы координат O1x1u1 определяется путем установки координат и направления точки на этом сегменте. Например, для точки O должны быть установлены координаты x0 и y0, а направление должно быть установлено с углом φ.

В настоящее время желательно определить первую инерциальную систему координат как систему координатных осей, начало которой находится в центре Солнца, а ось всегда направлена к одной и той же далекой звезде. Людмила Фирмаль

Это формирует сегмент OM с любой осью, параллельной O, * или оси Ox1. Вместо угла φ вы можете взять угол между осью Oxhx и другой осью или сегментом, зафиксированным на виде сверху. Пример: угол

Уравнение (I) — это уравнение движения точки плоской фигуры относительно системы координат OjXjjp. это. Используя эти уравнения, вы можете определить координаты любой точки на плоской форме в соответствии с заданным уравнением движения для этой формы и координатами этой точки относительно движущейся системы координат, связанной с движущейся формой. Используя символы векторной матрицы, (1) можно выразить в следующем виде: (! ‘) Где A матрица Включите питание Самолет: -sinφcos «p

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института