Уравнения плоскости и прямой урок 11 класс

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
2. Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
3. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
4. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
5. Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
6. Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
2. Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
3. Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
4. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
5. Какой вид имеет уравнение сферы?

Конспект урока Уравнение прямой и плоскости

КГУ «Индустриально-технологический колледж»

Поурочный план № 147-148

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Контрольная работа 12.

Наименование дисциплины: Математика
Подготовил педагог: Тихоненко С.А.
Дата урока: 22.04.2021 года

1. Общие сведения

1.1 Курс, группы: первый, 9СЛ20, 9МК20, 9ОП20

1.2 Тип занятия: комбинированный/ дистанционный

1.3 Межпредметные связи: физика, черчение.

Познакомить учащихся с понятием уравнения плоскости и её особыми случаями задания; Выработать практические навыки по изучаемой теме при решении задач.

познакомить учащихся с понятием уравнение плоскости и алгоритмами составления уравнения плоскости;

дать представление об особых случаях уравнения;

сформировать знания по изучаемой теме

выработать умение применять полученные знания при решении конкретных практических задач.

продолжить формирование навыков самостоятельной работы с информацией;

учить анализировать информацию, обобщать, делать выводы;

развивать умение работать в группах.

воспитывать уважительное отношение к мнению других, умение слушать и слышать окружающих;

способствовать формированию и развитию культуры учащихся, повышению уровня познавательного интереса к предмету;

продолжить работу по формированию положительной мотивации к учебной деятельности;

формировать позитивную психологическую атмосферу в группе.

2.2 Результаты обучения:

1) Усвоить определение вектора и действий с векторами в пространстве.

2.3 Критерии оценки:

1) Выполняет сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число;

2)Находит скалярное произведение векторов.

3. Оснащение занятия

3.1 Учебно-методическое оснащение: дидактические материалы, справочно-инструктивные таблицы, карточки с заданиями, оценочные листы .

Справочная литература : А.Е.Әбылқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жумагулова, Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 классов естественно- математического направления обшеобразовательных школ.1-2 часть. Алматы: Мектеп, 2019г.

3.2 Техническое оснащение, материалы, ИКТ: мультимедийный проектор, ноутбук, экран.

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Проверка домашнего задания.

Устный опрос по теме «Координаты вектора в пространстве».

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

_{= ; (3.3)}

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

_{. (3.4)}

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

_.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Презентация к уроку.

Пример 1. . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

1. Написать конспект.

2. Ответить на вопросы теста.

5.Рефлексия по занятию

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

6. Домашнее задание

Ответить на вопросы теста.

Тест по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Даны точки А(4; 5; 1) и В(0; 9; -8). Чему равна длина отрезка АВ?

a ) b) c) d) e)

2. Укажите пару коллинеарных векторов:

a ) и b ) и c ) и

d ) и e ) и

3. Могут ли векторы быть коллинеарными, но не равными?

a ) да b ) нет c ) не достаточно данных

4. Вектор ортогонален вектору . Укажите координаты вектора :

a ) b ) c )

d ) e )

5. Вычислить координаты середины отрезка АВ, если А(-10; 2; 3) и В(0; 16; -7).

a ) b ) c ) d ) e )

6. Чему равен модуль вектора , если M N

a) b) c) d) e)

7. При каком положительном n векторы и ортогональны?

a ) -2; 1 b ) 1 c ) 1; 2 d ) 2 e ) -2

8. Вычислить скалярное произведение векторов и :

a ) -14 b ) 4 c ) -4 d ) 10 e ) -10

9. Вычислить угол между векторами и :

a ) 45˚ b ) 60˚ c ) 30˚ d ) 90˚ e ) 120˚

10. Даны векторы и . Вычислить координаты вектора .

a ) b ) c ) d ) e )

«Прямая и плоскость в пространстве «

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Изучение темы «Прямая и плоскость в пространстве» в классах с углубленным изучением математики.

Тема «Прямая и плоскость в пространстве» изучается учащимися в 10-11 классах, и они впервые узнают о таких понятиях, теоремах и леммах как: определение перпендикулярности прямой к плоскости; лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей и др. В процессе изучения темы систематизируются и обобщаются знания учащихся по изученным ранее темам «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве», «Углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми». Понятие перпендикулярности в пространстве является ключевым при изучении последующих тем «Многогранники», «Объемы тел», «Изображение пространственных фигур», поэтому от того, как учащиеся усвоили данную тему, будет зависеть успешность дальнейшего изучения материала.

схема логического строения геометрии

Эффективность обучения геометрии в значительной степени зависит от правильной организации деятельности учащихся по решению геометриче-ских задач. Успешность этой деятельности обусловлена тем набором задач и порядком их предъявления, которые выбраны для ее реализации.

Важную роль играет системность в подборе упражнений. Упражнения необходимо располагать по нарастанию сложности. Содержание задач долж-но носить комплексный характер: решая задачи, ученики должны не только закреплять вновь изученный материал, но и повторять ранее пройденный .

Последовательность в обучении геометрии означает, что при этом со-блюдаются дидактические принципы:

а) от простого к сложному;

б) от представлений к понятиям;

в) от известного к неизвестному;

г) от знания к умению, а от него — к навыку.

Учитель реализует эти принципы, если обучение геометрии представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых дополняет известные учащимся знания и умения разумной дозой новых знаний и умений, которые, в свою очередь, становятся инструментом для приобретения школьниками новых знаний и умений.

Данный материал представлен в виде схемы (схема 1).