Уравнения плоской сферической и цилиндрической волн

Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Упругие волны в безграничных средах

В данной главе вводится ряд определений и понятий физической акустики, рассматриваются волны в безграничных средах, дается представление о волновом уравнении и его характеристических свойствах.

Волновое уравнение

Многообразие различных волновых процессов в первом приближении описывается волновым уравнением

, (1.1)

где ;

– гамильтониан – инвариантный оператор.

Это линейное гиперболическое уравнение второго порядка. В случае упругих сред, о чем будет сказано ниже, оно описывает малые свободные колебания. Под функцией понимаются различные физические величины: давление, смещение, скорость смещения частиц среды и т. д.

В случае одного пространственного измерения уравнение (1.1) для плоского случая приобретает наиболее простой вид:

. (1.2)

Величина с постоянна и имеет размерность скорости. Далее будет ясно, что соответствует скорости распространения возмущения. Решением уравнения (1.2) является суперпозиция двух функций:

. (1.3)

Отметим далее важное свойство уравнения (1.2), справедливое и для уравнения (1.1). Величины , называются характеристиками уравнения (1.2). Будем полагать, что . Находя полную производную по от , получим, что , откуда . Так как , то возмущение, имеющее в некоторый момент времени заданную форму , не изменит ее и в любой другой момент времени. Таким образом, возмущения распространяются, не изменяясь по характеристикам, с постоянной скоростью. Это важное характеристическое свойство уравнения (1.2). В случае трех пространственных переменных говорят уже о характеристических поверхностях.

В следующем параграфе мы еще вернемся к волновому уравнению (1.2) и его решению (1.3). Здесь же отметим одно обстоятельство, касающееся терминологии. Функцию вида в определенном контексте называют фазой. Применительно к уравнению (1.2) и решению (1.3) фаза совпадает с характеристикой. В общем случае, это может быть не так, поэтому в следующем параграфе и особенно в параграфе, посвященном явлению дисперсии, понятие фазы не следует отождествлять с характеристиками уравнения (1.2).

Колебания и волны

Колебания – процессы, при которых состояние системы воспроизводится через определенный промежуток времени. В акустике рассматриваются упругие колебания. Акустические колебания – механические колебания частиц упругой среды. Под упругой средой понимается среда, в которой напряжение есть линейная функция деформации. Колебания можно разделить на две большие группы: свободные и вынужденные. Свободные колебания система совершает, будучи предоставлена самой себе. Реально из-за наличия трения, диссипативных процессов и пр. свободные колебания являются затухающими. Вынужденные колебания система совершает под действием возмущающей силы. Если собственные частоты колебательной системы совпадают с частотой вынуждающих воздействий, то система входит в резонанс.

Упругие колебания в жидкостях и газах характеризуются одной из следующих величин: изменением давления p или плотности r, смещением частиц из положения равновесия u, скоростью колебательного движения v, потенциалом смещения χ или колебательной скорости φ. Следует отличать изменение давления или плотности, связанное с распространением акустических волн, от их статистического (среднего) значения. Все перечисленные величины взаимосвязаны, например: u = grad c; v = grad j; v где ρ – плотность среды; t – время.

Колебания, возникнув в одной точке среды, за счет упругого взаимодействия частиц распространяются с некоторой скоростью c. Волной называют процесс распространения упругого возмущения среды. С математической точки зрения волной имеет смысл называть решение волновых уравнений – главным образом линейных и квазилинейных гиперболических (они имеют одну характерную особенность).

При всем многообразии волновых явлений, линейные волны в одномерном случае могут быть представлены функциями вида

. (1.4)

Величина имеет смысл фазы. Отметим здесь, что фаза определена с точностью до аддитивной постоянной. В этой связи уместно сказать, что функция

(1.5)

также является решением волнового уравнения (1.2) при определенных соотношениях между и . Для синусоидальных функций фазой будет функция

. (1.6)

Здесь, как и в формулах (1.4), (1.5) знаки «минус» и «плюс» обозначают направление распространения волны: вдоль оси x и в обратном направлении, соответственно.

Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Волновой фронт есть граница между возмущенной и невозмущенной областями упругой среды. Эта граница представляет собой волновую поверхность с нулевой фазой колебаний. Волновой поверхностью называется условная поверхность равной фазы, т. е. это геометрическое место точек, в которых фаза колебаний постоянна. В зависимости от формы волнового фронта выделяют три основных вида волн: плоские, сферические и цилиндрические.

Для плоских волн волновой фронт имеет вид плоскости. Источником таких волн являются плоскопараллельные пластины, испытывающие периодические деформации «растяжения-сжатия» по толщине. В одномерном случае аналитически плоская волна имеет вид (1.4), который легко обобщается на трехмерный случай:

(1.7)

Волновые поверхности сферических волн имеют вид концентрических сфер. Источником сферических волн является точечный объект или сфера малого диаметра. Аналитически сферическая волна – это функции вида

(1.8)

Цилиндрические волны имеют цилиндрический волновой фронт. Их источником является колеблющийся протяженный цилиндр малого диаметра. Уравнения цилиндрических волн – это функции вида

(1.9)

Различия между рассмотренными типами волн не сводятся только к геометрическому различию в форме волновых поверхностей, но имеют и ряд других особенностей. Если пренебречь затуханием, то амплитуда плоской волны не меняется при распространении волны, в то время как амплитуда сферической волны уменьшается с увеличением расстояния от источника как , а цилиндрической – как .

Не рассматривая подробно понятие интенсивности звуковых волн, укажем, что для плоских волн интенсивность – величина постоянная, для сферических волн интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния, а для цилиндрических волн интенсивность обратно пропорциональна расстоянию. В табл.1 приведены характеристики перечисленных типов волн в зависимости от формы волнового фронта.

Основные типы волн

Волновая поверхность	Аналитическое выражение	Интенсивность
Плоская
Цилиндрическая
Сферическая

Дата добавления: 2015-12-10 ; просмотров: 6811 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основные характеристики волновых процессов. Виды волн (плоские, сферические, цилиндрические). Суперпозиция волн. Когерентность. Интерференция. Стоячие волны.

Волна – процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами (k-жётскость). Параметры упругой среды (k и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Смещение частицы в точке (1)

S₁=Acosωt₁ (t₁ – время колебаний в точке 1)

(k_x=2π/x=ω/v – волновое число вдоль икса)

Длина волны (расстояния, пройдённое за T)

для y и z аналогичные уравнения.

k=k_xi+k_yj+k_zk, и для волны в произвольном виде имеем:

S=Acos(ωt-kr), где kr= k_xx+k_yy+k_zz (скалярное произведение)

Волновой вектор K всегда направлен перпендикулярно волновому фронту и = 2π/λ

Монохроматическая волна – волна с одной частотой, k и λ

Волновая поверхность – на ней фаза волны постоянна.

1) Сферические (с точечным источником)

2) Цилиндрические (с линейным источником)

3) Плоские (от ∞-далёкого источника)

Волновой фронт – волновая поверхность, которая разделяет области, где есть колебания частиц среды и области, где их нет.

S=Acos(ωt-kr), где k – волновое число = 2π/λ

Суперпозиция – независимое сложение волн без взаимных искажений в линейной упругой среде. (Линейная среда – в ней результат действия волны (смещение частиц среды) пропорционален амплитуде волны)

Когерентность – согласованность волн по фазе (φ₁-φ₂=const)

Интерференция – суперпозиция когерентных волн, сопровождается перераспределением интенсивности волн в пространстве (сопровождается появлениям max и min интерференции)

При суперпозиции без интерференции

Суперпозиция при интерференции

а) максимум интерференции

б) минимум интерференции

— частный случай интерференции двух одинаковых встречных волн

S=2Acosk_xxcosωt – это не волна! а гармонические колебания с частотой ω и амплитудой А. Не переносит энергию в пространстве, как бегущая волна.

Анализ стоячей волны по х. Узлы и пучности.

а) для пучностей A(x)-2A=A_max

Анализ стоячей волны по t

a) при t=0 cosωt=1

Пучность на стенке получается, если стенка из более «слабого» материала, узел на стенке – если материал «сильнее»

Соотношения между разностью хода и Δφ

10. Волновое уравнение. Соотношение неопределённостей для волновых процессов. Групповая и фазовая скорости волн.

Уравнение в частных производных второго порядка, линейное, однородное. Получили его с помощью закона плоской волны.

δ 2 S/δx 2 +δ 2 S/δy 2 +δ 2 S/δz 2 =(1/v 2 )*δ 2 S/δt 2 (v – фазовая скорость)

В результате дифференцирования закона движения:

δ 2 S/δx 2 +δ 2 S/δy 2 +δ 2 S/δz 2 = -Ak 2 cos(ωt-kr) k=ω 2 /v 2

δ 2 S/δx 2 +δ 2 S/δy 2 +δ 2 S/δz 2 =(δ 2 /δx 2 +δ 2 /δy 2 +δ 2 /δz 2 )S=

=ΔS=(1/v 2 )*δ 2 S/δt 2 Δ= оператор Лапласа

Волновой пакет (группа волн)

Сумма монохроматических компонент:

S(x,t) =

Скорость центра x_­­­₀ – групповая скорость.

ΔS=(1/v_фаз 2 )*δ 2 S/δt 2

При х=х₀ – синфазность всех монохроматических составляющих пакета.

Соотношение неопределённостей для волновых процессов.

Для любого х волнового пакета (за исключением х₀) Δφ компонент пакета должен быть меньше π (при Δφ=π компоненты уничтожат друг друга, т.к. они противофазны)

Δφ=(dφ/dk)Δk меньше или равно π

Δφ=(dφ/dk)Δk=(x₀-x)Δk меньше или равно π

при 2(x₀-x)=Δx будем иметь

ΔxΔk_x меньше или = 2π çconst (первое соотношение неопределённостей Δx и Δk_x)

1) В узком пакете (Δх мало) набор волновых чисел Δk большой.

2) При уменьшении Δk (возрастание монохроматичности волн пакета) Δх возрастает. при (Δk→0 Δх→∞) монохроматическая волна бесконечна в пространстве.

Аналогично получаем второе соотношение неопределённостей.

ΔωΔt меньше или = 2π

из Δφ=(dφ/dω)Δω меньше или = π

2(t-t₀)Δω меньше или = 2π

При возрастании монохроматичности волнового пакета (Δω→0) имеемΔt→∞ çмонохроматическая волна бесконечна во времени

Соотношение групповой (U) и фазовой (v_фаз) скоростей.

U=dω/dk=d(2πню)/d(2π/λ)= -λ 2( dню/dλ)

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 13 ; Нарушение авторских прав

Упругие волны (механические волны).

Возмущения, распространяющиеся в пространстве, удаляясь от места их возникновения, называют волнами.

Упругие волны — это возмущения, распространяющиеся в твердой, жидкой и газообразной средах благодаря действию в них сил упругости.

Сами эти среды называют упругими. Возмущение упругой среды — это любое отклонение частиц этой среды от своего положения равновесия.

Возьмем, например, длинную веревку (или резиновую трубку) и прикрепим один из ее концов к стене. Туго натянув веревку, резким боковым движением руки создадим на ее незакрепленном конце кратковременное возмущение. Мы увидим, что это возмущение побежит вдоль веревки и, дойдя до стены, отразится назад.

Начальное возмущение среды, приводящее к появлению в ней волны, вызывается действием в ней какого-нибудь инородного тела, которое называют источником волны. Это может быть рука человека, ударившего по веревке, камешек, упавший в воду, и т. д. Если действие источника носит кратковременный характер, то в среде возникает так называемая одиночная волна. Если же источник волны совершает длительное колебательное движение, то волны в среде начинают идти одна за другой. Подобную картину можно увидеть, поместив над ванной с водой вибрирующую пластину, имеющую наконечник, опущенный в воду.

Необходимым условием возникновения упругой волны является появление в момент возникновения возмущения сил упругости, препятствующих этому возмущению. Эти силы стремятся сблизить соседние частицы среды, если они расходятся, и отдалить их, когда они сближаются. Действуя на все более удаленные от источника частицы среды, силы упругости начинают выводить их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды одна за другой вовлекаются в колебательное движение. Распространение этих колебаний и проявляется в виде волны.

В любой упругой среде одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространение возмущения. Волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления ее распространения, называется продольной, а волна, в которой частицы среды колеблются поперек направления ее распространения, называется поперечной.

Продольная волна.

Волна, в которой колебания происходят вдоль направления распространения волны, называется продольной.

В упругой продольной волне возмущения представляют собой сжатия и разрежения среды. Деформация сжатия сопровождается возникновением сил упругости в любой среде. Поэтому продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твердых, и в газообразных).

Пример распространения продольной упругой волны изображен на рисунке а и б выше. По левому концу длинной пружины, подвешенной на нитях, ударяют рукой. От удара несколько витков сближа­ются, возникает сила упругости, под действием которой эти витки начинают расходиться. Про­должая движение по инерции, они будут продолжать расходиться, минуя положение равновесия и образуя в этом месте разрежение (рисунок б). При ритмичном воздействии витки на конце пружины будут то сближаться, то отходить друг от друга, т. е. колебаться возле своего положе­ния равновесия. Эти колебания постепенно передадутся от витка к витку вдоль всей пружины. По пружине распространятся сгущения и разрежения витков, или упругая волна.

Поперечная волна .

Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению их распространения, называются поперечными. В поперечной упругой волне возмущения представляют собой смещения (сдвиги) одних слоев среды относительно других.

Деформация сдвига приводит к появлению сил упругости только в твердых телах: сдвиг слоев в газах и жидкостях возникновением сил упругости не сопровождается. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.

Плоская волна .

Плоская волна — это волна, у которой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

В такой волне амплитуда не меняется со временем (по мере удаления от источника). Получить такую волну можно, если большую пластину, находящуюся в сплошной однородной упругой среде, заставить колебаться перпендикулярно плоскости. Тогда все точки среды, примыкающей к пластине, будут колебаться с одинаковыми амплитудами и одинаковыми фазами. Распространяться эти колебания будут в виде воли в направлении нормали к пластине, причем все частицы среды, лежащие в плоскостях, параллельных пластине, будут колебаться с одина­ковыми фазами.

Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение, называ­ется волновой поверхностью, или фронтом волны.

С этой точки зрения плоской волне можно дать и следующее определение:

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Линия, нормальная к волновой поверхности, называется лучом. Вдоль лучей происходит перенос энергии волны. Для плоских волн лучи — это параллельные прямые.

Уравнение плоской синусоидальной волны имеет вид:

где s — смещение колеблющейся точки, s_m — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота, t — время, х — текущая координата, v — скорость распространения колебаний или скорость волны, φ₀ — начальная фаза колебаний.

Сферическая волна .

Сферической называется волна, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.

Лучи в такой волне направлены вдоль радиусов, расходящихся от центра волны. На рисунке источником волны является пульсирующая сфера.

Амплитуда колебаний частиц в сферической волне обязательно убывает по мере удаления от источника. Энергия, излучаемая источником, равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой непрерывно увеличивается по мере распространения волны. Уравнение сферической волны имеет вид:

.

В отличии от плоской волны, где s_m = А — амплитуда волны постоянная величина, в сферической волне она убывает с расстоянием от центра волны.