Уравнения по алгебре степень с рациональным показателем

1. Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем

Теория:

Поэтому запись − 7 1 5 не имеет смысла.

Если p q — обыкновенная дробь ( q ≠ 1 ) и a > 0 , то под a − p q понимают 1 a p q , т. е. a − p q = 1 a p q , a > 0 .

1. 3 − 1 2 = 1 3 1 2 = 1 3 ;

2. 7 − 5 4 = 1 7 5 4 = 1 7 5 4 .

Справедливы следующие свойства (предполагаем, что a > 0 , b > 0, s , t — произвольные рациональные числа):

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела.

Степень с рациональным показателем

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида \(\frac

\), где \(p\)-некоторое целое число, а \(q\) – натуральное число, причем \(q\ge2\).

Положительное число \(a\) в рациональной степени \(\frac

\) является арифметическим корнем степени \(q\) из числа \(a\) в степени \(p\):

Обращаем ваше внимание, что

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.

Пусть есть некоторое положительное число \(a\) и целое число \(p\), тогда справедливы следующие соотношения:

где \(k\) и \(q\) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть \(a\) и \(b\) – некоторые положительные числа, а числа \(m\) и \(n\) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число \(a>1\) и рациональные числа \(n\) и \(m\).

При \(n \gt 0\) \(a^n \gt 1\),

При \(n \lt 0\) \(0 \lt a^n \lt 1\).

Если же \(a \gt 1\) и \(n \gt m\), то

Если \( 0 \lt a \lt 1 \) и \(n \gt m\), то

Разберем несколько примеров:

Так как основание степени больше единицы \(3 \gt 1\) и \(\frac<1> <3>\lt \frac<1><2>\).

Так как \(0 \lt \frac<1> <5>\lt 1\) и \(\frac<1> <3>\lt \frac<1><2>\)

Описание урока

От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.

Степенью числа А, рациональный показатель которого равен p делённому на q, называют выражение, где под корнем степени q находится возведённое в степень p число A. Чтобы более наглядно рассмотреть это явление, разберём пример. Допустим, число 3 возводится в степень 2/4. Тогда изначальное выражение приобретёт следующий вид: корень четвертой степени от 3 в квадрате. 3 во второй степени — 9. Корень четвертой степени из 9 сложно рассчитать без помощи калькулятора, но существуют примеры, где корень n-ой степени из подкоренного выражения легко извлекается.

Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.

Свойства степени с рациональным показателем

Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.

Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.

При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.

Решение степеней с рациональными показателями

Степень с рациональным показателем — что это

Рациональным показателем называют такое выражение, которое записано в виде:

В данном понятии p является неким целым числом, q относится к натуральным числам, и отлично от 2.

Число a, которое больше нуля, в рациональной степени p q представляет собой арифметический корень степени q из числа a в степени p:

Здесь важно обратить внимание на то, что:

Основное выражение не теряет смысл, независимо от того, какое действие выполняется в первую очередь, извлечение корня или возведение в степень. Можно сделать любой выбор, чтобы упростить решение задачи.

Рассмотрим несколько самостоятельных примеров:

8 2 3 = 8 2 3 = ( 8 3 ) 2 = 2 2 = 4 ;

Предположим, что имеются некие числа: а — положительное, и p — из множества целых чисел. В таком случае, справедливы следующие соотношения:

a p q = ( a 1 q ) p ,

a p q = a p * k q * k ,

где k и q — из множества натуральных чисел, которые больше единицы.

Теорему достаточно просто доказать. Вспомним определение степени, имеющей рациональный показатель. Тогда запишем:

a p q = a p q = ( a p ) p = ( a 1 q ) p

С помощью объяснения и свойства корня n-й степени можно выполнить следующие преобразования:

a p q = a p q = a p * k q * k = a p * l q * k

Третья из записанных в теореме формул не нуждается в доказательстве. Достаточно лишь выполнить сокращение степени в правой части, чтобы получилось начальное выражение.

Разберем решение некоторых примеров:

8 4 3 = ( 8 1 3 ) 4 = 2 4 = 16 ;

4 15 5 = 4 3 1 = 4 3 = 64 ;

3 — 6 2 = 3 — 3 = 1 3 3 = 1 27 .

Свойства степени

Предположим, что имеется пара чисел a и b. Пусть данные числа больше нуля. Возьмем также два рациональных числа и обозначим их, как m и n. Используя исходные данные, сформулируем свойства степеней с рациональным показателем:

1. a m * a n = a m + n . Умножить степени, имеющие рациональные показатели и идентичные основания, можно путем сложения показателей их степеней.
2. a m : a n = a m — n . Если степени имеют рациональные показатели, а их основания одинаковы, то в процессе деления таких степеней следует найти разность их показателей.
3. ( a m ) n = a m * n . Возвести некую степень с рациональным показателем в степень, которая также обладает рациональным показателем, можно путем умножения показателей данных степеней.
4. ( a * b ) n = a n * b n . Степень, имеющая рациональный показатель над произведением пары чисел больше нуля, равна произведению степеней данных множителей.
5. ( a b ) n = a n b n . Степень, имеющая рациональный показатель над частным пары чисел больше нуля, равна частному степеней данных чисел.

Существует еще пара достаточно важных и полезных свойств, характерных для степени с рациональным показателем. Данные закономерности пригодятся при решении задач на показательные уравнения и неравенства. Представим, что имеется пара рациональных чисел. Обозначим их за n и m. Введем некое число а, которое является положительным и больше единицы. Запишем свойства:

1. При n > 0 имеем, что a n > 1 . Когда , получим, что .
2. В том случае, когда a > 1 и n > m , получим, что a n > a m . При и n > m имеем, что .

В качестве примера применения записанных свойств на практике попробуем упростить несколько несложных выражений:

3 — 3 4 * 3 — 1 4 = 3 — 3 4 — 1 4 = 3 — 1 = 1 3

2 1 2 : 2 1 4 = 2 1 2 — 1 4 = 2 1 4 = 3 4

( 5 — 1 2 ) — 4 = 5 ( — 1 2 ) * ( — 4 ) = 5 2 = 25

( 0 , 125 ) — 2 3 * 8 — 2 3 = ( 0 , 125 * 8 ) — 2 3 = 1 — 2 3 = 1

( 4 , 4 ) 1 3 : ( 0 , 55 ) 1 3 = ( 4 , 4 0 , 55 ) 1 3 = 8 1 3 = 8 3 = 2

Здесь важно, что степень обладает основанием, которое больше единицы:

( 1 5 ) 1 3 > ( 1 5 ) 1 2

Решение степеней с рациональными показателями

Дано несколько выражений, которые требуется упростить:

( — 2 · ( — 1 2 ) — 3 ) 3 2

32 0 , 2 + 0 , 001 — 2 3

Используя свойства степени с рациональным показателем, выполним необходимые преобразования:

( 3 3 8 ) 2 3 = 27 8 2 3 = 27 8 3 2 = 3 2 2 = 9 4 = 2 1 4

( 5 1 16 ) — 0 , 75 = 81 16 — 0 , 75 = 16 81 0 , 75 = 2 4 3 4 0 , 75 = 2 3 4 · 0 , 75 = 2 3 3 = 8 27

( — 2 · ( — 1 2 ) — 3 ) 3 2 = ( — 2 · ( — 2 ) 3 ) 3 2 = 2 4 · 3 2 = 2 6 = 64

32 0 , 2 + 0 , 001 — 2 3 = ( 2 5 ) 0 , 2 + ( 10 — 3 ) — 2 3 = 2 5 · 0 , 2 + 10 ( — 3 ) · ( 2 3 ) = 2 1 + 10 2 = 102

Ответ: ( 3 3 8 ) 2 3 = 2 1 4 , ( 5 1 16 ) — 0 , 75 = 8 27 , ( — 2 · ( — 1 2 ) — 3 ) 3 2 = 64 , 32 0 , 2 + 0 , 001 — 2 3 = 102

Дано соотношение, справедливость которого нужно доказать:

Аналогичным образом можно определить, что все другие слагаемые в левой части меньше единицы. В правой части получим:

0 , 6 0 , 6 + 0 , 7 0 , 7 + 0 , 8 0 , 8 + 0 , 9 0 , 9 \ lt 4

Ответ: соотношение доказано.

Дано соотношение, справедливость которого требуется доказать:

0 , 6 — 0 , 6 + 0 , 7 — 0 , 7 + 0 , 8 — 0 , 8 + 0 , 9 — 0 , 9 > 255 4

0 , 6 — 0 , 6 + 0 , 7 — 0 , 7 + 0 , 8 — 0 , 8 + 0 , 9 — 0 , 9 = 1 0 , 6 0 , 6 + 1 0 , 7 0 , 7 + 1 0 , 8 0 , 8 + 1 0 , 9 0 , 9

1 0 , 6 > 1 ⇒ 1 0 , 6 0 , 6 > 1 0 , 6 = 1

Аналогичным образом, оставшиеся в левой части слагаемые будут больше единицы. В правой части получим:

1 0 , 6 0 , 6 + 1 0 , 7 0 , 7 + 1 0 , 8 0 , 8 + 1 0 , 9 0 , 9 > 4 > 255 4

0 , 6 — 0 , 6 + 0 , 7 — 0 , 7 + 0 , 8 — 0 , 8 + 0 , 9 — 0 , 9 > 255 4

Ответ: соотношение доказано

Найти значение следующего выражения:

( ( 46 + 6 · 5 0 , 5 1 6 — ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 1 3 ) · 158 + 7 11 15

В данном случае:

( 1 + 3 5 ) 2 = 1 + 6 5 + ( 3 5 ) 2 = 1 + 6 5 + 45 = 46 + 6 5

( ( ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 2 ) 1 6 — ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 1 3 ) · 158 + 7 11 15 = ( ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 1 3 — ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 1 3 ) · 158 + 7 11 15 = 0 · 158 + 7 11 15 = 0

Ответ: ( ( 46 + 6 · 5 0 , 5 ) 1 6 — ( 1 + 3 · 5 0 , 5 ) 1 3 ) · 158 + 7 11 15 = 0

Примеры задач с ответами

Упростить следующие выражения:

7 2 3 = 7 2 3 = 49 3

3 0 , 75 = 3 3 4 = 3 3 4 = 27 4

Ответ: 7 2 3 = 49 3 , 5 1 4 = 5 4 , 3 0 , 75 = 27 4

Даны выражения, которые необходимо упростить:

x + x 0 , 8 x 0 , 8 + x 0 , 6

a 1 , 5 — b 1 , 5 a b 0 , 5 — a 0 , 5 b

x + y x — x 2 3 y 1 3 + x 1 3 y 2 3

16 1 3 ( 1 + 5 ) 1 3 ( 6 — 2 5 ) 1 6

a 0 , 5 — 9 a 0 , 25 + 14 b 0 , 5 + 7 b 0 , 25 + 12 : b 0 , 5 — 9 a 0 , 5 — 49 — 1 : a 0 , 25 — 2 b 0 , 25 + 4

x + x 0 , 8 x 0 , 8 + x 0 , 6 = x 0 , 2 ( x 0 , 8 + x 0 , 6 ) x 0 , 8 + x 0 , 6 = x 0 , 2 = x 5

a 1 , 5 — b 1 , 5 a b 0 , 5 — a 0 , 5 b = ( a 0 , 5 ) 3 — ( b 0 , 5 ) 3 a 0 , 5 b 0 , 5 ( a 0 , 5 — b 0 , 5 ) = ( a 0 , 5 — b 0 , 5 ) ( a + a 0 , 5 b 0 , 5 + b ) a 0 , 5 b 0 , 5 ( a 0 , 5 — b 0 , 5 ) = a + a 0 , 5 b 0 , 5 + b a 0 , 5 b 0 , 5 = a b 0 , 5 + 1 + b a 0 , 5 = a b + 1 + b a

x + y x — x 2 3 y 1 3 + x 1 3 y 2 3 = x 1 3 3 + y 1 3 3 x — x 2 3 y 1 3 + x 1 3 y 2 3 = x 1 3 + y 1 3 x 2 3 — x 1 3 y 1 3 + y 2 3 x 1 3 x 2 3 — x 1 3 y 1 3 + y 2 3 = x 1 3 + y 1 3 x 1 3 = 1 + y x 3

a 0 , 5 — 9 a 0 , 25 + 14 b 0 , 5 + 7 b 0 , 25 + 12 : b 0 , 5 — 9 a 0 , 5 — 49 — 1 : a 0 , 25 — 2 b 0 , 25 + 4 = ( a 0 , 25 — 2 ) ( a 0 , 25 — 7 ) ( b 0 , 25 + 3 ) ( b 0 , 25 + 4 ) ∶ a 0 , 5 — 49 b 0 , 5 — 9 · b 0 , 25 + 4 a 0 , 25 — 2 = ( a 0 , 25 — 2 ) ( a 0 , 25 — 7 ) ( b 0 , 25 + 3 ) ( b 0 , 25 + 4 ) · ( b 0 , 25 + 3 ) ( b 0 , 25 — 3 ) ( a 0 , 25 + 7 ) ( a 0 , 25 — 7 ) · b 0 , 25 + 4 a 0 , 25 — 2 = b 0 , 25 — 3 a 0 , 25 + 7 = b 4 — 3 a 4 + 7

Ответ: x + x 0 , 8 x 0 , 8 + x 0 , 6 = x 5 , a 1 , 5 — b 1 , 5 a b 0 , 5 — a 0 , 5 b = a b + 1 + b a , x + y x — x 2 3 y 1 3 + x 1 3 y 2 3 = 1 + y x 3 , 16 1 3 ( 1 + 5 ) 1 3 ( 6 — 2 5 ) 1 6 = 4 , a 0 , 5 — 9 a 0 , 25 + 14 b 0 , 5 + 7 b 0 , 25 + 12 : b 0 , 5 — 9 a 0 , 5 — 49 — 1 : a 0 , 25 — 2 b 0 , 25 + 4 = b 4 — 3 a 4 + 7

Дано выражение, значение которого нужно вычислить:

Введем обозначение и вычислим следующее выражение: