Уравнения по матике 8 класс

Уравнения высших степеней в курсе алгебры 8—9-х классов

Разделы: Математика

В классах с углубленным изучением математики уравнения степени выше второй начинают изучать сразу же после прохождения темы «Квадратные уравнения». В курсе алгебры 8-9 классов – это уравнения, которые путем тех или иных преобразований сводятся к квадратным. Чтобы помочь учащимся разобраться в многообразии этих уравнений, я разбиваю их на типы в соответствии с методом их решения. Это облегчает их усвоение, а так же подготавливает учащихся к усвоению темы «Уравнения высших степеней» в 10-11 классах. Все рассмотренные уравнения можно предложить и учащимся общеобразовательных классов, которые интересуются математикой. Уравнения, аналогичные разобранным, можно найти в сборниках и учебной литературе, список которой приведен в конце работы.

а) биквадратные уравнения

б) с модулем

в) введение новой переменной

д) уравнения, в которых во всех квадратных трехчленах равны соответственно старший коэффициент и свободный член

е) сводящееся с помощью введения новой переменной к дробно-линейному

Литература

1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
4. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
5. М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач пол алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва 1996 и последующие издания.
6. Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н.Трушанина. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва «Просвещение» 1994 и последующие издания.

Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_2=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Квадратные уравнения .8 класс
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Карточки с заданиями ,40 вариантов с ответами. Использую как индивидуальные домашние задания., а также материал к самостоятельным работам.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1 ) х 2 + 5 х = 0
2 ) х 2 – 4 = 0
3 ) 3 х + 2 х 2 – 5 = 0
4 ) х 2 + 2 + 3 х = 0
5 ) х 2 + 4 х + 4 = 0
6 ) 3 х 2 + 8 х = 3
7 ) 6 а 2 + 2 = 6 а

1 ) 2 х 2 + х + 67 = 0
2 ) 4 х + х 2 = 0
3 ) 3 х 2 – 27 = 0
4 ) 5 х 2 = 3 х + 2
5 ) х 2 + 8+ 6 х = 0
6 ) 9 + х 2 = 6 х
7 ) 3 у 2 + 4 у = 4

1 ) 8 х 2 + 5 = 14 х
2 ) 4 х 2 = 2 х – 3
3 ) х 2 + 2 х = 0
4 ) 6 х 2 – 12 = 0
5 ) 3 х 2 + 45 – 24 х = 0
6 ) 4 х + 4 х 2 + 1 = 0
7 ) 3 у 2 + 7 у – 6 = 0

1 ) 12 х 2 + 16 х = 3
2 ) 21 х 2 = 5 х – 1
3 ) х 2 – 3 х = 0
4 ) 2 х 2 – 72 = 0
5 ) 8 х 2 – 3 = 5 х
6 ) х 2 = 18 – 3 х
7 ) 9 у 2 + 12 у + 4 = 0

1 ) 1 + 8 х + 16 х 2 = 0
2 ) 5 х 2 + 26 х = 24
3 ) 7 х 2 – 2 х + 12 = 0
4 ) 3 х 2 – 5 х = 0
5 ) 6 – 2 х 2 = 0
6 ) 5 х 2 + 2 + 7 х = 0
7 ) t 2 = 35 – 2 t

1 ) х 2 + 10 х = 0
2 ) – х 2 + 9 = 0
3 ) 25 х 2 + 17 = 42 х
4 ) х 2 = х + 6
5 ) 4 х 2 – 4 х + 1 = 0
6 ) 9 х 2 = 4 – 16 х
7 ) 6 а 2 + 14 = 2 а

1 ) 6 х 2 + 3 х + 4 = 0
2 ) 7 х 2 – 14 х = 0
3 ) 25 – х 2 = 0
4 ) х 2 + 2 х = 3
5 ) 25 х 2 + 20 х + 4 = 0
6 ) 9 х 2 + 12 = 39 х
7 ) 12 b 2 = 16 b + 3

1 ) 5 х 2 = 22 х + 15
2 ) 3 х 2 + 9 = 10 х
3 ) х 2 – 2 х = 0
4 ) 121 – х 2 = 0
5 ) 3 х – 6 + 3 х 2 = 0
6 ) 2 х 2 = 4 х + 30
7 ) 14 c + 49 c 2 + 1 = 0

1 ) 15 х 2 + 4 = 16 х
2 ) 7 х 2 = 4 х – 3
3 ) 2 х – 5 х 2 = 0
4 ) 5 х 2 – 20 = 0
5 ) 7 х + 3 + 4 х 2 = 0
6 ) х 2 – 9 х + 18 = 0
7 ) 16 k 2 + 9 – 24 k = 0

1 ) 10 х + 25 + х 2 = 0
2 ) 5 х 2 = 8 х + 4
3 ) 3 х 2 + 4 = 6 х
4 ) 3 х + 2 х 2 = 0
5 ) 288 – 2 х 2 = 0
6 ) х + 8 х 2 – 9 = 0
7 ) n 2 – 2 n = 35

1 ) х 2 = 3 х + 18
2 ) 9 х 2 + 16 = 24 х
3 ) 3 х 2 – 13 х + 14 = 0
4 ) 5 х 2 = 16 х – 3
5 ) х + 6 х 2 + 15 = 0
6 ) х 2 – 7 х = 0
7 ) 3 a 2 – 21 = 0

1 ) х 2 – 40 = 3 х
2 ) 4 х 2 = 28 х – 49
3 ) 3 х 2 + 5 – 16 х = 0
4 ) 10 + 4 х 2 – 3 х = 0
5 ) 2 х 2 – 6 х = 0
6 ) 25 – 100 х 2 = 0
7 ) 3 m 2 + 12 m = 15

1 ) 3 х 2 + 36 = 21 х
2 ) 25 + х 2 + 10 х = 0
3 ) 2 х 2 = х + 21
4 ) 3 х 2 – 8 х + 4 = 0
5 ) 8 + 6 х 2 – х = 0
6 ) 3 х – х 2 = 0
7 ) 4 – 36 а 2 = 0

1 ) х 2 = 14 – 5 х
2 ) 9 + 4 х 2 = 12 х
3 ) 14 х 2 = 5 х + 1
4 ) 7 х 2 – 26 х = 8
5 ) 12 + 3 х 2 + 2 х = 0
6 ) 2 х 2 – 16 х = 0
7 ) c 2 – 144 = 0

1 ) 4 – 4 х 2 = 0
2 ) 16 х 2 + 22 х = 38
3 ) х 2 = 30 + х
4 ) 16 – 8 х + х 2 = 0
5 ) 5 х 2 – 26 х + 5 = 0
6 ) 10 х 2 + 5 + 3 х = 0
7 ) 7 b + b 2 = 0

1 ) х 2 + 18 + 9 х = 0
2 ) 9 х 2 + 16 = 24 х
3 ) 7 х 2 + = 3 – 20 х
4 ) –6 х 2 + 8 х – 10 = 0
5 ) х – 11 х 2 = 0
6 ) х 2 – 0,04 = 0
7 ) 2 n 2 = 7 n + 9

1 ) х 2 + 3 х = 40
2 ) 4 х 2 + 28 х + 49 = 0
3 ) 9 х 2 + 6 = 21 х
4 ) 3 х 2 – 8 + 10 х = 0
5 ) 14 + 5 х 2 – 10 х = 0
6 ) 5 х – х 2 = 0
7 ) 169 – b 2 = 0

1 ) х 2 = 3 х + 4
2 ) 2 х 2 + 20 = 14 х
3 ) 8 х + х 2 + 16 = 0
4 ) 8 х 2 – 26 х = 7
5 ) 9 х 2 – 3 х + 1 = 0
6 ) 18 х 2 – 9 х = 0
7 ) 6 k 2 – 6 = 0

1 ) х 2 – 5 х = 14
2 ) 9 + 4 х 2 – 12 х = 0
3 ) 2 х 2 – 9 х – 5 = 0
4 ) 4 х 2 = 9 + 16 х
5 ) 3 + 4 х 2 – х = 0
6 ) х 2 + х = 0
7 ) 8 – 2 с 2 = 0

1 ) 16 – 64 х 2 = 0
2 ) 5 х 2 + х = 4
3 ) х 2 = 30 – х
4 ) 4 + 9 х 2 – 12 х = 0
5 ) 5 х 2 + 12 = 16 х
6 ) 1 + 5 х 2 + х = 0
7 ) 2 a – 4 a 2 = 0

1 ) 9 х + 8 х 2 = –1
2 ) 3 + 3 х 2 = 4 х
3 ) 25 – 10 х + х 2 = 0
4 ) 4 х – 4 х 2 = 0
5 ) 3 х 2 – 12 = 0
6 ) 9 х 2 + 8 = 18 х
7 ) c 2 + c = 6

1 ) 1 + 2 х = 8 х 2
2 ) 20 х + 25 х 2 = –4
3 ) 1 – 4 х 2 = 0
4 ) 3 х – х 2 = 0
5 ) 12 – 17 х – 5 х 2 = 0
6 ) 7 х – 4 х 2 = 15
7 ) 5 + n 2 + 6 n = 0

1 ) 1 – 9 х 2 = 0
2 ) 16 + 3 х 2 = 8 х
3 ) 18 – х 2 + 3 х = 0
4 ) –12 х + 4 = – 9 х 2
5 ) 13 х + 3 х 2 = –14
6 ) х 2 – 3 х = 0
7 ) 17 a 2 = 33 – 16 a

1 ) –15 = 2 х – х 2
2 ) –15 – 2 х 2 = –11 х
3 ) 0,36 – х 2 = 0
4 ) 16 х = – х 2
5 ) 10 х 2 + 2 = х
6 ) 25 х 2 + 40 х + 16 = 0
7 ) 4 b + 7 = 3 b 2

1 ) 6 + 3 х 2 = 8 х
2 ) х 2 = 0,04
3 ) х 2 + 3 х = 0
4 ) 4 х – 3 = –7 х 2
5 ) 25 + 4 х 2 – 20 х = 0
6 ) х 2 = 16 + 6 х
7 ) 19 m – 6 m 2 = 10

1 ) 9 х = х 2
2 ) 13 х – 14 – 3 х 2 = 0
3 ) –12 = 11 х + 5 х 2
4 ) –8 х – 16 х 2 = 1
5 ) 32 + х 2 = 12 х
6 ) 2 х 2 – 18 = 0
7 ) 11 y 2 + 7 + 18 y = 0

1 ) 3 х 2 – х = 24
2 ) 4 х 2 = – 4 х – 1
3 ) –25 = 10 х + 2 х 2
4 ) 7 х = 12 + х 2
5 ) х 2 = 4 х
6 ) 3 х 2 – 7 = 4 х
7 ) k 2 – 25 = 0

1 ) 4 = 20 х – 25 х 2
2 ) 2 х = х 2
3 ) 21 х + 9 х 2 + 10 = 0
4 ) 4 х 2 = 36
5 ) 5 + 4 х + х 2 = 0
6 ) х 2 – 12 х + 32 = 0
7 ) 5 – 3 а 2 – 2 а = 0

1 ) 9 х = –2 х 2 – 10
2 ) х 2 – 6 х = 0
3 ) 11+ х 2 + 6 х = 0
4 ) 3 + х 2 = 4 х
5 ) х 2 – 1,21 = 0
6 ) 9 х 2 + 4 + 12 х = 0
7 ) 7 t 2 – 4 t – 3 = 0

1 ) 10 х + 24 = х 2
2 ) 3 х – х 2 = 0
3 ) 2 х 2 – 50 = 0
4 ) 2 х – 3 = 2 х 2
5 ) 1 = 10 х – 25 х 2
6 ) 3 х 2 = – 8 + 11 х
7 ) b 2 + 20 = 9 b

1 ) 12 х – 35 = х 2
2 ) х 2 – 11 х = 42
3 ) 2 + 3 х 2 = 4 х
4 ) –24 х = 9 + 16 х 2
5 ) 5 х = х 2
6 ) – х 2 + 8 = 0
7 ) 17 a = 12 + 6 a 2

1 ) 14 х – х 2 = 48
2 ) 6 х – 1 = 9 х 2
3 ) 6 х 2 + 3 = – 7 х
4 ) 19 х – 14 – 6 х 2 = 0
5 ) 9 х 2 = 4
6 ) х 2 = 4 х
7 ) n 2 = 11 n – 10

1 ) 12 х + 7 х 2 = –5
2 ) –2 х – 1 = 4 х 2
3 ) 17 х + 10 х 2 = 0
4 ) 5 – 11 х = –2 х 2
5 ) 9 х 2 – 24 х = –16
6 ) 6 х 2 – 42 = 0
7 ) 20 + c 2 + 9 c = 0

1 ) – х 2 = 35 + 12 х
2 ) 4 х – х 2 = 7
3 ) х 2 – 5 х = 84
4 ) 3 – 3 х 2 = 0
5 ) 7 х + 12 – 12 х 2 = 0
6 ) 0 = 6 х – х 2
7 ) –4 y 2 – 25 = 20 y

1 ) –6 х – 2 х 2 = 9
2 ) 2 + 12 х 2 = 11 х
3 ) –9 – 4 х 2 + 12 х = 0
4 ) 4 – 9 х 2 = 0
5 ) 10 х + 25 х 2 = 8
6 ) х 2 + 2,3 х = 0
7 ) 13 m + m 2 + 36 = 0

1 ) –15 = – 3 х 2
2 ) – х 2 = 2 + 2 х
3 ) 4 + 9 х 2 = –12 х
4 ) 14 – х – 3 х 2 = 0
5 ) х 2 – 25 х = 0
6 ) –8 = 18 х – 5 х 2
7 ) p 2 = 13 p – 36

1 ) –4 х + х 2 = 0
2 ) 6 х – 2 х 2 = 5
3 ) 16 + х 2 = –8 х
4 ) 0,9 – х 2 = 0
5 ) –2 х = 7 х 2 – 5
6 ) х 2 + 19 х + 90 = 0
7 ) 3 s 2 + 8 s = 3

1 ) 9 х – х 2 = 0
2 ) 7 х + 10 х 2 +2 = 0
3 ) 4 х 2 – 9 = 0
4 ) 7 х – 2 х 2 = 6
5 ) 40 х – 25 х 2 = 7
6 ) 20 х + 4 х 2 + 25 = 0
7 ) n 2 + 5 n – 84 = 0

1 ) 3 х 2 – х = 0
2 ) 10 – 7 х – 3 х 2 = 0
3 ) х 2 – 2 х – 48 = 0
4 ) 24 х – 9 = 16 х 2
5 ) 4 х 2 = 15 – 4 х
6 ) –1,2 = –0,2 х 2
7 ) k 2 = 8 k – 17

1 ) х 2 – 16 = 0
2 ) 4 х – х 2 = 0
3 ) 12 + 3 х 2 = 20 х
4 ) 9 х 2 = –25 – 30 х
5 ) –3 х 2 – 6 х = 4
6 ) 10 х = –8 х 2 – 3
7 ) a 2 + 12 – 7 a = 0

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры «Способы решения квадратных уравнений» 8 класс

Урок – обобщения и систематизации знаний, на котором школьники сами находят способы решения квадратного уравнения, изучаемых на уроках алгебры в разное учебное время; обсуждают их решение, учатся крит.

Определение квадратного уравнения. 8 класс.

Первый урок темы «Квадратные уравнения» по учебнику Мордковича А.Г. с применением ИКТ.

«Квадратные уравнения» 8 класс. Задания для развития и обучения учащихся.

Задания для развития и обучения учащихся. Задания для интерактивной доски. Данный материал можно использовать для закрепления и повторения темы.

Урок-путешествие «Решение квадратных уравнений» 8 класс

Цели урока:Образовательные: систематизировать и обобщить знания по теме.Развивающие: развивать математическую логику.Воспитательные: прививать интерес к изучению предмета математики.Тип урока: урок об.

Внеклассное мероприятие «10 способов решения квадратных уравнений» (8 класс)

Данное мероприятие предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса и решение типовых задач. На мероприятии будет использоваться фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащ.

Презентация «Решение неполных квадратных уравнений» 8 класс

В данной работе рассмотрены все случаи решения неполных квадратных уравнений. Есть теоретическая и практическая части. Рекомендуется для проведения урока по изучению новой темы в 8 классе и как повтор.

Итоговый урок теме «Квадратные уравнения. 8 класс»

Итоговый урок по математике «Квадратные уравнения».