Уравнения по теме сложение и вычитания многочленов

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

• записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
• в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
• привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x 3 + 9 · x · y — 2 и 7 − 4 · x · y запишется как ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) , а их разность имеет вид ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) после раскрытия скобок получит вид x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y , а разность ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) станет выглядеть так: x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y = x 3 + 5 · x · y + 5 и x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y = x 3 + 13 · x · y — 9 .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Заданы многочлены x 2 + 5 · x + 2 и x 2 − 5 · x + 3 . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) . Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 · x 2 + 5 .

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Ответ: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 2 · x 2 + 5 и ( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 10 · x − 1 .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Необходимо вычесть из одночлена 17 · a · b 2 многочлен b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 .

Решение

Сделаем запись разности ( 17 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 ) . Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17 · a · b 2 − b 4 − b 3 − 11 · a · b 2 + 2 . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: ( 15 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 7 ) = 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Заданы многочлены 5 + 3 · a · 2 + 4 и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = = 5 + 3 · a · 2 + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = 5 + 6 · a + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = = ( 5 + 4 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + ( a 2 + 2 · a 2 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2
2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5 + 3 · a · 2 + 4 = 1 + 6 · a + 4 = ( 5 + 4 ) + 6 · a = 9 + 6 · a и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = ( a 2 + 2 · a 2 ) − 2 · a + 6 = 3 · a 2 − 2 · a + 6 .

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2 .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Заданы многочлены: 5 · a · b − a · b 2 , 3 · a · b 2 и 2 · a · b 2 − a · b + b . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Ответ: ( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b .

Сложение и вычитание многочленов

В результате сложения многочленов, так же, как и в результате вычитания одного многочлена из другого, всегда получится многочлен.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, надо составить их сумму, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Пример 1. Найдите сумму многочленов 4xy — 2nz 5 и -0,7nz 5 .

Решение: Сначала составим сумму многочленов:

Теперь нам нужно раскрыть скобки, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Попробуем упростить получившееся выражения с помощью приведения подобных членов:

Суммой данных многочленов является многочлен 4xy — 2,7nz 5 .

Пример 2. Найдите многочлен, равный сумме многочленов:

Суммой данных многочленов является многочлен 7a 2 — 11ax — 5x 2 .

Из данных примеров можно сделать вывод, что сложить два многочлена – это значит представить их сумму в виде многочлена стандартного вида.

Вычитание многочленов

Чтобы вычесть один многочлен из другого, надо составить их разность, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Пример. Найдите разность многочленов

Решение: Сначала составим разность многочленов:

Раскроем скобки, следуя правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак — (минус). Правила раскрытия скобок вы можете посмотреть тут.

Теперь посмотрим, можем ли мы упростить выражение с помощью приведения подобных членов:

Разностью данных многочленов является многочлен 3a 2 — 3ax + 11x 2 .

Из данного примера можно сделать вывод, что вычесть один многочлен из другого – это значит представить их разность в виде многочлена стандартного вида.

Конспект урока по алгебре «Сложение и вычитание многочленов. Решение упражнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 7 класс урок Алг №80.docx

7 класс. Предмет Алгебра. Урок №50 Дата14.01.2020

Тема урока: Сложение и вычитание многочленов. Решение упражнений

Тип урока: усвоения умений и навыков

Личностные: ответственное отношение к учебе, умение ясно излагать мнение, умение определять правильность, дружелюбное отношение к другим

Метапредметные: умение ставить цель, планировать, выполнять работу по образцу и алгоритму, строить логические заключения, определять удобные (рациональные) способы решения, анализировать, сравнивать, определять важное; умение работать в паре

Предметные: уметь выполнять сложение и вычитание многочленов, применять при решении уравнений, находить неизвестное слагаемое-многочлен.

Оборудование : карточки, интерактивная доска Activ Board , ФЧ (проверка), таблица, ЭП

2. Проверка ДЗ (сканировать тетрадь)

3. Мотивация. Найти ошибку.

a ) (6 a +2 b )–(4 a – b ) = 6 a +2 b +4 a + b =10 a +3 b Как проверить раскрытие скобок?

б) (2х+7у)+(3х–4)=2х+7у+3х–4=5 x +3 y (записать правильное решение, использовать как образец)

Какие действия? (сложение, вычитание)

Всегда ли они выполнимы для многочленов? (да)

Что является результатом? (многочлен)

1) Алгоритм выполнения сложения и вычитания многочленов (1-раскрыть скобки, 2-привести подобные слагаемые)

2) Правило раскрытия скобок.

3) Как привести подобные слагаемые?

5. Тема, цель, критерии (9 баллов + 1 балл)

6. Применение знаний в стандартных условиях

Выполните сложение или вычитание многочленов ( 3 балла ). Взаимопроверка по ФЧ(шторка)

2) активное упражнение (объединиться в группы подобных слагаемых и выполнить приведение подобных)

7х 2 у 2 –7 х 2 у 2 +1,2 х 2 у 2 –1,2 х 2 у 2 =0

9ху 2 –9ху 2 +2,1ху 2 –2,1ху 2 =0

9х 2 у–9х 2 у+2,1х 2 у –2,1х 2 у =0

8. Перенос знаний в новые условия

1) №593а – проблемная ситуация, обратное действие, нахождение неизвестного слагаемого (способы: подбор или вычитание)

Нужно найти такие одночлены, которые в сумме с одночленами из левой части дадут одночлены, равные стоящим в правой части. Получаем их: х 2 , 11 ху , — у 2 .

Значит, вместо М нужно записать многочлен х 2 + 11 ху – у 2 .

? Может ли сумма многочленов быть равной 0? (ДА, если…)

? Может ли разность многочленов быть равной 0? (ДА, если…)

2). Запишите во втором столбце многочлен, сумма которого с многочленом из первого столбца равна многочлену из третьего столбца. ( 4 балла ). На ФЧ правильные ответы сгруппированы со звездочкой.

План решения? (1-раскрыть скобки, 2- перенести слагаемые, 3-привести подобные слагаемые, 4-решить полученное уравнение)

а) (23+3х)+(8х–41)=15, 23+3х+8х–41=15, 3х+8х=15-23+41, 11х=33, х=3

б) самостоятельно (19+2х)–(5х–11)=25, 19+2х–5х+11=25, 2х–5х=25–19–11, –3х= –5, х=5/3

в) (доп) (3,2 у – 1,8) – (5,2 у + 3,4) = –5,8;

3,2 у – 1,8 – 5,2 у – 3,4 = –5,8;

3,2 у – 5,2 у = 1,8 + 3,4 – 5,8;

4) резерв ЭП к учебнику (анимация) сложение и вычитание 3-х многочленов.

III. Итоги урока.

– Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? знак «–»?

– Как выполнить сложение или вычитание многочленов?

— Где можно применить?

Домашнее задание: № 593(в); № 606(а,г); №607(а)*

Выбранный для просмотра документ карточки.docx

Краткое описание документа:

Разработка урока усвоения умений и навыков по алгебре «Сложение и вычитание многочленов» (7 класс. Ю.Н.Макарычев). В архиве прилагается раздаточный материал (карточки) и флипчарт для осуществления проверки с помощью интерактивной доски Activ Board. Планируемые предметные результаты: уметь выполнять сложение и вычитание многочленов, применять при решении уравнений, находить неизвестное слагаемое-многочлен.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 588 907 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

13. Сложение и вычитание многочленов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 13.01.2020
• 105
• 0

• 13.01.2020
• 463
• 9

• 12.01.2020
• 163
• 1

• 11.01.2020
• 129
• 0

• 11.01.2020
• 172
• 0

• 10.01.2020
• 251
• 2

• 09.01.2020
• 1251
• 11

• 09.01.2020
• 162
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.01.2020 591
• RAR 135.7 кбайт
• 23 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Царук Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 52273
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки