Уравнения по тригонометрии 11 класс

Урок алгебры в 11 кл. «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока: урок коррекции и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

Задачи урока.

1. Образовательные:

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

2. Воспитательные:

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема; на партах учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний, карточки — задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

· знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений;

· умение решать тригонометрические уравнения, выбирая наиболее рациональные методы.

Обоснование возможности использования системно-деятельностного подхода при изучении темы: Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные ситуации, предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий.

Ресурсы:

• Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. — М.: «Просвещение», 2014-15гг.

• Презентация офисе Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board

• Демонстрационный и раздаточный материал

• Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru

Скачать:

Предварительный просмотр:

29 февраля 2016 года

Районный семинар учителей математики, физики и информатики

при МОУ «Лямбирская СОШ №1» Лямбирского района Республики Мордовия

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока : урок коррекции и систематизации знаний.

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке :

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема; на партах учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний, карточки — задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

Знания, умения, навыки и качества , которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

• знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений;
• умение решать тригонометрические уравнения, выбирая наиболее рациональные методы.

Обоснование возможности использования системно-деятельностного подхода при изучении темы: Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные ситуации, предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий.

• Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. — М.: «Просвещение», 2014-15гг.
• Презентация офисе Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board
• Демонстрационный и раздаточный материал
• Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru
• http://www.yandex .

1 этап — мотивационно — ориентировочный : разъяснение целей учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап — подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения тригонометрических уравнений – это основные формулы тригонометрии и примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

3 этап — основной: осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап — заключительный : подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

1 этап — мотивационно — ориентировочный

– Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас гости . «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно своим друзьям удачи!

Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

2 этап — подготовительный: актуализация опорных знаний

Скажите пожалуйста, какие темы мы повторили на последних уроках?

• Определения тригонометрических функций, свойства и графики
• Основное тригонометрическое тождество
• Формулы приведения
• Формулы сложения
• Формулы двойного угла
• Формулы понижения степени (формулы половинного угла)
• Тригонометрические выражения, тождества и уравнения

Коль собираемся говорить о тригонометрии, как вы думаете, какова цель нашего урока? Сформулируйте её.

Действительно, сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов. Будем работать и вместе, и индивидуально.

«Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», — сказал Василий Александрович Сухомлинский, советский педагог.

Вопросы для учащихся:

1) Какие уравнения называют тригонометрическими? — Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2 Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? — cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

3 Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? — Зависит от а: может не иметь корней, может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

4 Что значит решить тригонометрическое уравнение? — Найти множество корней или убедиться, что корней нет

5 В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а? Если а 1, то нет корней.

6. Решите простейшие тригонометрические уравнения

Напомните типы тригонометрических уравнений и методы их решения

• Уравнения, сводящиеся к квадратным a sin 2 x + b sin x + c = 0
• Однородные уравнения а sin x +b cos x = 0 a sin 2 x + b cos 2 x +c sin x cos x = 0
• Уравнения, решаемые разложением левой части на множители а(х) b(x) =0
• Уравнения вида а sin x +b cos x = с

3 этап — основной

Задание 1. Решите уравнение 8 cos 4 x +3 sin 2 x = 8

1. Определите тип уравнения
2. Наметьте план решения
3. Введите соответствующую замену переменной
4. Найдите область допустимых значений введенной переменной
5. Решите полученные простейшие уравнения
6. Запишите верно ответ

Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin 2 x = 1- cos 2 x, получим

8 cos 4 x +3 (1-сos 2 x) = 8

8 cos 4 x -3 сos 2 x — 5 = 0

Исходное уравнение свелось к квадратному относительно сos 2 x

Пусть сos 2 x = t, при условии , тогда 8t 2 -3t-5=0,

откуда t 1 =1, t 2 = -5/8- не удовл.усл. t

cos 2 x =1, cos x = , x= ,

Важнейшая задача цивилизации –

научить человека мыслить

Задание 2. Решите уравнение cos x – sin x =1.

1 способ. Преобразование разности в произведение. cos x – sin x = 1

2 способ. Введение вспомогательного угла

Введем вспомогательный угол такой, что

3 способ. Использование формул двойного угла .

Ответ.

4 способ. С учетом множества значений функций

cos x – sin x = 1 0 1

Разность косинуса и синуса одного угла может быть равна 1, если

Задание 3. Решите уравнение cos x + sin x = 7.

Учитывая множество значений функций y=cos x и y=sin x, которыми являются отрезки , сумма не может быть равна 7. Поэтому, уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Тригонометрические выражения, уравнения и отбор корней присутствуют в заданиях ЕГЭ по математике базового и профильного уровней.

Задание 4. (базовый уровень ЕГЭ)

Найдите значение выражения

4 этап — Компьютерное тестирование.

Вычислить cos 60 0

Вычислить sin 120 0

Решить уравнение cos x= -1

Решить уравнение sin x = 1

Решить уравнение cos x=0

Решить уравнение tg x=1

Исторический материал (сообщение)

Учащиеся, которые изучают свойства тригонометрических функций, решают уравнения, неравенства, пользуются функциями тригонометрии, должны помнить имя этого ученого.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.

Задание 5. (профильный уровень ЕГЭ)

ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79, 5. Задачи повышенной сложности 5.1.13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

• Определите тип уравнения
• Наметьте план решения
• Выберите подходящий способ отбора корней тригонометрического уравнения:

— с помощью оси ОХ,

— с помощью единичной окружности,

— с помощью двойного неравенства,

— с помощью последовательного перебора целых значений n

а) Решите уравнение

Решением данного уравнения является решение системы, состоящей из области определения логарифмической функции и решения тригонометрического уравнения.

Учитывая множество значений функций y= sin x и y=sin 2x, которыми являются отрезки , сумма может быть в промежутке (-2;2), а множество значений функции заключено в промежутке (14; 18). Поэтому, неравенство выполняется при любых значениях х. Значит,

Таким образом, получаем систему

Значит, решением уравнения является

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.