Уравнения поступательного и вращательного движения маятника

Уравнения поступательного и вращательного движения маятника

В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции. Различные моменты внешних сил создается грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.

Основное уравнение вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид (1.1)где — угловое ускорение, M — момент внешних сил.
Для экспериментального доказательства этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис.3). Он состоит из четырех стержней A и двух шкивов различного радиуса R1 и R2, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы m ‘ . При помощи груза массы m, прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.
Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой, можем написать: уравнение вращательного движения маятника (1.2)уравнение поступательного движения груза на нити (1.3)уравнение кинематической связи (1.4)Здесь R — радиус шкива, T — натяжение нити, a — линейное ускорение груза массы m, g — ускорение свободного падения.
Из системы уравнений (1.2-1.4) следует, что груз m должен двигаться с постоянным ускорением (1.5)Основное уравнение вращательного движения (1.1) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента сил вязкого трения о воздух. Для доказательства правомерности такого подхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться , что суммарный момент сил трения Mтр много меньше момента силы натяжения нити M , который равен: С учетом неравенства mR 2 J можно записать, что M mgR.
Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки x0 на полную длину нити до отметки x3 и затем при последующем подъеме до отметки x4 изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, то есть где Ф — полный угол поворота маятника Обербека. Причем поэтому Таким образом, условие малости момента сил трения окончательно имеет вид (1.6)

Установка для изучения вращательного движения (рис.4) или AVI (15.3M) состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленными на ней двумя подвижными кронштейнами (3,4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены два неподвижных кронштейна (5,6).
На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7). На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) и блок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закреплен груз (11). На двухступенчатом валу крепятся тело маятника (12).
Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высоте. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале, нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка — кнопкой «Стоп». При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».

Упражнение 1. Проверка закона движения.

Из (1.2-1.4) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением , при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза, отпушенного без начальной скорости с отметки x0 меняется по закону (ось х системы координат направлена вниз (см. рис. 3)) (1.7)Используя (1.7), определим время t пролета груза между двумя отметками x1 и x2: (1.8)Из (1.8) следует, что в случае равнопеременного движения (a=const) и фиксированных положений x0 и, x2 зависимость времени t от является линиейной и изображается на графике прямой линией.

  1. Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками
  2. Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия. Начало движения груза m всегда осуществляют от одного и того же положения x0, которое необходимо записать в рабочий журнал. Нить наматывают на вал большего диаметра виток к витку.
  3. Опустить груз m и произвести измерение времени t пролета груза m между фотодатчиками. Данные записать в таблицу 1.1 Провести измерения времени t для нескольких положений x1 верхнего датчика (рекомендуется менять x1 с шагом 5 см). Для каждого положения датчика измерения времени проводят не менее 3-х раз.
  4. Для 5-7 первых опытов измерить значения x4 — отметки, до которой поднимается груз при вращении маятника в одну сторону. Результаты занести в табл. 1.1.
  5. Определить значение x3 — максимальной отметки, до которой опускается груз m при своем движении.

Таблица 1.1

N x1i x4 tijS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Обработка результатов

  1. По экспериментальным данным для каждого положения фотодатчика x1 рассчитать среднее значение величины ti по формуле

где N — число измерений при каждом фиксированном положении датчика.

  1. Вычислить ошибку измерения (выборочное стандартное отклонение)

Результаты вычислений внести в табл. 1.1.

  1. Построить зависимость t от , которая должна быть линиейной. Получившаяся линейная зависимость указывает на то, что движение тела является равнопеременным.
  2. Найти среднее значение и оценить величину по формуле (1.6). Убедиться в малости момента сил трения по сравнению с начальным моментом силы натяжения нити.

Упражнение 2. Проверка независимости инерционных свойств маятника (момента инерции) от момента внешних сил.

В данном упражнении экспериментально показывается, что инерционные свойства маятника, а именно — момент инерции — не зависят от момента внешних сил.
Из уравнения (1.2) имеем (1.9)Из уравнений (1.5), (1.8) следует, что (1.10)В уравнение (1.10) входят величины, определяемые экспериментально.

  1. Измерить штангенциркулем радиусы R1 и R2 шкивов, результаты, занести в рабочую тетрадь.
  2. Устаноновить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками. Занести в рабочий журнал координаты фотодатчиков x1, x2 и значение x0.
  3. Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
  4. На конец нити, намотанной на шкив радиуса R1, прикрепить груз массы m1 и измерить время прохождения груза между двумя фотодатчиками t. Одновременно измерить x4— отметку, до которой поднимается груз. Измерение провести 3 раза. и результаты внести в табл.1.2.
  5. Перебросить нить на другой шкив (радиуса R2). и измерить время t и значение x4 (3 раза). Результаты внести в табл. 1.2.
  6. Провести аналогичные измерения (п.4-п.5), прикрепив к концу нити груз массы m2. Результаты измерений занести в табл.1.2.

Таблица 1.2

Комбинации
значений
радиусов
шкивов и
масс при
измерениях		 N tij x4 , S Ji , SJi
R1 , m1 1
2
3
R2 , m1 4
5
6
R1 , m2 7
8
9
R2 , m2 10
11
12

Обработка результатов

  1. По экспериментальным данным вычислить средние значения величин t и ошибки их измерений для четырех различных опытов. Результаты вычислений внесети в табл.1.2.
  2. Вычислить значения моментов инерции J1:J4 по формуле (1.10).
  3. Определить значение для каждого опыта.
  4. Найти отношение аналогично тому, как это было сделано в упр.1. Результаты внести в табл. 1.2.
  5. Произвести оценку погрешностей полученных результатов. В связи с тем, что экспериментальные значения Ji являются результатом косвенных измерений, то стандартное отклонение функции нескольких независимых переменных находится через ошибки прямых измерений по формуле для ошибки косвенных измерений.
  6. Проанализировать полученный результат. Для этого отметить значения моментов инерции J1:J4 с учетом погрешностей на числовых осях (рис.5), выбирая Ji=SJi. Пересечение этих областей будет указывать на выполнение соотношения (1.9) , что свидетельствеут о независимости инерционных свойств маятника от момента внешних сил.

Упражнение 3. Проверка основного уравнения вращательного движения и теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Пусть J0 ‘ — суммарный момент инерции четырех грузов с массами M ‘ относительно осей, проходящих через их центры масс. При удалении центров грузов на расстояние l=l1, от оси вращения (см. рис. 3), согласно теореме Гюйгенса — Штейнера , момент инерции будет равен J1 ‘ (1.11)Если J0 — момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника будет равен (1.12)При удалении центров масс грузов на расстояние l2 соответственно имеем (1.13)С учетом уравнений (1.2)-(1.4) и (1.10) зависимость квадрата времени пролета груза между двумя отметками x1 и x2 от расстояния центра грузов m ‘ от оси вращения l имеет вид (1.14)Если l1>l2 , то (1.15)Уравнения (1.14)-и (1.15) дают (1.16)где t1 , t2 — времена пролета груза между датчиками для случаев l=l1 и l=l2 соответственно.
В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.

  1. На конец нити, намотанной на шкив радиуса R2 (большего по размеру), прикрепить груз наибольшей массы. Фотодатчики оставить в том же положении, что и в упражнении 2.
  2. Установить минимальное значение момента инерции маятника. Для этого грузы m ‘ установить в положение, наиболее близкое к оси. Измерить расстояние от грузов до оси. Занести это значение в табл 1.3.
  3. Определить величину t. — время прохождения груза m между двумя фотодатчиками и x4 — отметку, до которой он поднимается в процессе движения.Измерения проводят 3 раза. Результаты заносят в табл.1.3.
  4. Изменяя положение грузов m ‘ на стержнях с шагом 3 см, каждый раз измеряют время t. Результаты измерения и соответствующие им расстояния l от оси маятника до центров грузов записать в табл.1.3 . Одновременно для каждого опыта измеряют и заносят в табл. 1.3 значения величины x4 .

Таблица 1.3

N ( #tij ) x4 , S ( ti ) 2 , S( ti ) 2 l l 2
1
2
3
.

Обработка результатов

  1. По экспериментальным данным для каждого положения грузов m ‘ найти средние значения величин ti.
  2. Вычислить погрешности измерения ti и ( ti) 2 .
  3. Построить график зависимости квадрата времени опускания груза ( ti) 2 . от l 2 , — это должна быть прямая линия.
  4. Проверить соотношение (1.16) для нескольких пар значений t 2 и l 2 .
  5. Для каждого момента инерции определить и отношение . Убедиться в выполнении приближения .



Основные итоги работы
В результате выполнения работы должна быть осуществлена экспериментальная проверка выполнения основного уравнения вращательного движения — уравнения моментов. Должны быть проверены соотношения (1.9) и (1.16) и установлена линейная ( t) 2 зависимость от l 2 .
Контрольные вопросы

    Что такое абсолютно твердое тело? Сколько степеней свободы имеет твердое тело? Сколько независимых скалярных уравнений требуется для описания движения твердого тела?

    Почему угловая скорость является вектором? Куда направлен этот вектор?

    Что такое момент силы относительно некоторой точки? Куда он направлен? Что такое момент силы относительно закрепленной оси?

    Что такое момент импульса системы тел?

    Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?

    Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

    Как получить уравнение моментов и основное уравнение вращательного движения относительно закрепленной оси?


Литература

    Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1986, § 31,32,34.

    Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика,3-е изд. M.: Наука.1989, § 30,35.

    Цель работы изучение законов динамики поступательного и вращательного движения на примере маятника Максвелла

    Главная > Документ

    Информация о документе
    Дата добавления:
    Размер:
    Доступные форматы для скачивания:

    Лабораторная работа №5

    Цель работы — изучение законов динамики поступательного и вращательного движения на примере маятника Максвелла.

    Приборы и принадлежности: маятник Максвелла FPM-03; комплект сменных колец: кольцо 0301ЧЮ60-01 массой 0,25 кг, кольцо 0301-0080-02 массой 0,35 кг, кольцо 0301-0080-03 массой 0,46 кг.

    Краткие сведения из теории

    Действие прибора основано на одном из основных законов механи­ки — законе сохранения механической анергии: полная механическая анергия системы, на которую действуют только консервативные силы, постоянна. Маятник Максвелла представляет собой твердое тело, наса­женное на ось. Ось подвешена на двух накручивающихся на нее нитях (рис. 5.1). Под действием силы тяжести маятник совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания во­круг своей оси. Пренебрегая силами трения, систему можно считать консервативной. Закрутив нити , мы поднимаем маятник на высоту h, сообщив ему запас потенциальной анергии. При освобождении маятника он начинает движение под действием силы тяжести: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси. При этом потенциальная энер­гия переходит в кинетическую. Опустившись в крайнее нижнее положе­ние, маятник будет по инерции вращаться в том же направлении, нити намотаются на ось и маятник поднимется. Так происходят колебания маятника.

    Напишем уравнения движе­ния маятника. При поступательном движении маятника по вто­рому закону Ньютона с учетом действующих ни маятник сил можно написать

    ,

    где m — масса маятника, g -ускорение силы тяжести, a — Рис. 5.1. ускорение поступательного дви-

    жения центра масс маятника,

    Т- сила натяжения одной нити ,

    Проектируя это уравнение, получим

    Для вращательного движения маятника запишем основной закон динами­ки вращательного движения для абсолютно твердого тела:

    , где J- момент инерции маятника относительно его оси вращения,  — угловое ускорение маятника, М — результирующий момент внешних сил относительно оси вращения.

    Поскольку момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю,

    , (5.2)

    где r — радиус оси. Так как и из (5.1) 2Т = m(g — a), можем написать:

    ,

    а после преобразований

    .

    Ускорение а может быть получено по измеренному времени движения и проходимому маятником расстоянию h из уравнения равноускоренного движения без начальной скорости:

    .

    и,

    если подставить диаметр оси D, получим основную расчетную формулу

    . (5.3)

    Описание экспериментальной установки

    Общий вид прибора показан на рис. 5.2. Основание 1 снабжено регулируемыми ножками 2, позволяющими произвести выравнивание при­бора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен непод­вижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верх­нем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик №17 и вороток 8 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника .

    Нижний кронштейн вместе с прикрепленный в нему фотоэлектрическим датчиком № 29 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранной положении .

    Тело маятника 10 — его ролик , закрепленный на оси, на который накладываются сменные кольца, изменяющие момент инерции маятника.

    Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом. Его длина определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора с погрешностью не более двух миллиметров. Для более точного намерения Длины на нижнем кронштейне имеется красный указатель, помещенный на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Для намерения времени падения с относительной погрешностью не более 0,О2% служит электронная схема, состоящая из миллисекундомера FPM-15, двух фотоэлектрических датчиков FK-1 и электромагнита. При прохождении маятника мимо фотоэлектрического датчика последний да­ет в схему миллисекундомера электрический сигнал, фиксирующий мо­мент прохождения маятника. Фотоэлектрический датчик №1 соединен с гнездом ZLI миллисекундомера 12, а фотоэлектрический датчик № 2 — с гнездом ZL2. Лицевая и задняя панели миллисекундомера изображены на рис. 5.3.

    На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие манипуляционные элементы:

    W1 (сеть) — выключатель сети — нажатие клавиши включает на­пряжение питания, при атом загораются цифровые индикаторы (цифра ноль) и лампочки фотоэлектрических датчиков;

    W2 (сброс) — установка нуля — нажатия клавиши вызывает сброс схем миллисекундомера;

    W3 (пуск) — управление электромагнитом — нажатие клавиши оз­начает освобождение электромагнита и генерирование в схеме миллисекундомера импульса разрешения на измерение.

    На задней панели миллисекундомера находятся:

    ZL1 — семиконтактное гнездо для подключения фотоэлектрическо­го датчика №1 и электромагнита;

    ZL2 — пятиконтактное гнездо для подключения фотоэлектрическо­го датчика № 2;

    ZL3 — заземляющий зажим.

    Эксплуатация прибора допускается только при условии заземления!

    1. Определить момент инерции маятника (для трех разных смен­ных колец).

    2. Сравнить полученный результат с теоретическим значением.

    Порядок выполнения работы

    I. Подготовка прибора к измерениям.

    1. Привести прибор к горизонтальному положению ори помощи регулируемых ножек основания.

    2. Заземлить прибор.

    3. Подключить фотоэлектрические датчики к соответствующим гнездам.

    4. Включить сетевой кабель в сеть.

    5. Нажать клавишу W1(сеть). Проверить высвечивание нуль-инди­каторов и сигнальных: лампочек фотоэлектрических датчиков.

    II. Последовательность измерений при помощи маятника Максвелла.

    1. Зафиксировать нижний кронштейн в крайней нижней положении.

    2. Наложить кольцо на ролик, прижимая его до упора.

    3. Намотать на ось нить подвески и фиксировать ее.

    4. Проверить, совладает ли нижняя грань кольца с нулем шкалы на колонке. Если нет, отвинтить верхний кронштейн и отрегулировать его высоту. Привинтить верхний кронштейн.

    5. Нажать клавишу «пуск» миллисекундомера.

    6. Деблокировать гайку воротка для регулирования длины подвес­ки. Установить длину нити так, чтобы край стального кольца после опускания маятника находился примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести коррек­тировку установки маятника так, чтобы его ось была параллельной ос­нованию прибора. Блокировать вороток.

    7. Отжать клавишу «пуск» миллисекундомера.

    8. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим.

    9. Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая вни­мание на то, чтобы нить в этом положении не была слишком скручена.

    10. Повернуть маятник в направлении его движения на угол около 5.

    11. Нажать клавишу «Сброс».

    12. Нажать клавишу «пуск».

    13. Измерить время падения маятника в секундах по миллисекундомеру.

    14. Произвести определение времени пять раз.

    15. Определить длину маятника в метрах по шкале на вертикальной колонке прибора.

    Лабораторная работа № 1-3. Маятник Максвелла

    Лабораторная работа № 1-3

    Цель работы: познакомиться с основными понятиями кинематики и динамики поступательного и вращательного

    движения. Экспериментально определить угловое ускорение и момент инерции маятника.

    Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, набор металлических накладных колец, втулки.

    Описание экспериментальной установки.

    Данная установка называется маятником Максвелла. Она служит для определения момента инерции тела. Небольшой диск (маховичок), туго надетый на ось опускается под действием силы тяжести на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка. Нити во время движения разматываются до полной длины. Раскрутившийся маховичок по инерции продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т. д. Маховичок будет совершать колебания вверх — вниз, поэтому данное устройство и называют маятником.

    Общий вид маятника Максвелла приведён на рис. 1.

    На основании 1 закреплена стойка 2, к которой прикреплены неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный кронштейн 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5, фотоэлектрический датчик №1 6 и вороток с фиксатором 7 для закрепления и регулировки длины маятника.

    Нижний кронштейн 4 с фотодатчиком № 2 8 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении. Маятник 9 — это диск, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях к неподвижному кронштейну. На диск накладываются сменные металлические кольца 10, изменяющие момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале стойки прибора. Сигналы с фотодатчиков служат для автоматического пуска и остановки миллисекундомера 11.

    Основные теоретические сведения

    Основы кинематики поступательного и вращательного движения тела.

    Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной сама себе при движении тела.

    Основными особенностями такого вида движения являются следующие обстоятельства:

    — при поступательном движении все точки тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь.

    — в этом случае при описании движения тела его можно рассматривать как материальную точку.

    Для описания поступательного движения тел вводят в рассмотрение следующие понятия:

    Для характеристики быстроты перемещения тела в пространстве вводят понятие скорости :

    , размерность скорости: , метр в секунду.

    Физический смысл скорости: она показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени при равномерном движении.

    (пример: означает, что тело за каждую секунду перемещается на 5 м.)

    Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

    Для характеристики быстроты изменения скорости по величине и направлению вводят понятие ускорения :

    , размерность ускорения:, метр на секунду в квадрате.

    Таким образом, ускорением называется векторная величина, равная первой производной по времени от мгновенной скорости тела.

    Физический смысл ускорения: оно показывает, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени при равнопеременном движении.

    (например: означает, что скорость тела изменяется на за каждую секунду.)

    Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора.

    При прямолинейном движении тела ускорение сонаправлено с вектором в случае ускоренного движения тела и противоположно направлено при замедленном движении.

    При криволинейном движении вектор ускорения в общем случае образует с вектором мгновенной скорости некоторый угол .

    Вращательным называется движение, при котором все точки тела описываю окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела.

    Основной особенностью такого вида движения является следующее обстоятельство:

    при вращательном движении все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения.

    Для описания вращательного движения тела вводят в рассмотрение следующие понятия:

    Угол поворота — это угол, на который поворачивается радиус-вектор любой точки тела при его вращении.

    , радиан.

    Элементарное угловое перемещение можно рассматривать как вектор , направление которого определяется по правилу буравчика (правилу правого винта):

    если рукоятку буравчика вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора (см. рис. 3).

    Удобство такого введения в следующем:

    — модуль вектора однозначно определяет величину элементарного поворота тела ,

    — направление вектора через правило буравчика определяет направление вращения тела,

    — положение вектора в пространстве определяет

    ось вращения тела.

    Для характеристики быстроты вращения тела в пространстве вводится понятие угловой скорости .

    , размерность, радиан в секунду.

    Угловая скорость есть первая производная по времени от угла поворота.

    Физический смысл угловой скорости: она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор любой точки тела за единицу времени при равномерном вращении.

    (например: означает, что за каждую секунду радиус-вектор поворачивается на 2 радиана)

    Направление угловой скорости совпадает с направлением вектора , то есть она также определяется по правилу буравчика.

    Для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения :

    , размерность, радиан на секунду в квадрате.

    Физический смысл углового ускорения: оно показывает, на сколько изменяется угловая скорость тела за единицу времени при равнопеременном вращении.

    (например: означает, что за каждую секунду угловая скорость тела изменяется на .)

    Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора , то есть оно сонаправлено с вектором при ускоренном вращении тела и противоположно направлено при замедленном вращении.

    Векторы, направление которых связывают с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными в отличие от обычных векторов (,, и т. д.), которые называются полярными.

    Основы динамики поступательного и вращательного движения тела.

    Для описания взаимодействия одного тела на другое вводят понятие силы .

    Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело других тел или полей и характеризующая величину и направление этого воздействия.

    Под действием силы тело может:

    — деформироваться (статическое проявление силы),

    — приобретать ускорение (динамическое проявление силы).

    Основным уравнением динамики поступательного движения тела является второй закон Ньютона.

    Одной из формулировок этого закона является следующая:

    В инерциальной системе отсчёта векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на сообщённое ему ускорение.

    ,

    где — сила, , Ньютон, — масса тела, , килограмм, — ускорение тела,.

    Масса тела является одной из важнейших понятий динамики, характеризующая инертные и гравитационные свойства тела. Масса тела – величина аддитивная (то есть масса тела равна сумме масс всех его частей).

    Опыт показывает, что при описании вращательного движения твёрдого тела, кроме величины и направления действующей на тело силы, важной характеристикой является ещё и точка приложения этой силы.

    В связи с этим вводят в рассмотрение понятие момента силы .

    Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого из точки О в точку приложения силы, на саму эту силу:

    или , где, Ньютон. метр.

    Вектор момента силы является аксиальным, то есть его направление определяется по правилу векторного произведения (или правилу правого винта):

    если винт вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение винта укажет направление искомого вектора (см. рис. 4)

    Следует помнить, что перед применением этого правила необходимо совместить начала перемножаемых векторов.

    Можно использовать более простое правило буравчика:

    если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы (см. рис. 5).

    На рис. 4 и 5 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

    При этом следует помнить, что начало вектора совпадает с точкой О,

    сам вектор перпендикулярен одновременно векторам и , а его величину можно определить по формуле:

    или ,

    где — угол между векторамии , а величина называется плечом силы , , метр.

    Плечом силы называется кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 5).

    Величина зависит от выбора точки О.

    Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно любой точки О, выбранной на этой оси:

    .

    Величина не зависит от выбора точки О на этой оси Z .

    Наблюдения показывают, что при рассмотрении вращательного движения тела, основной характеристикой инертных свойств тела является не масса этого тела , а величина, которая называется моментом инерции тела .

    Различают момент инерции тела относительно точки и момент инерции тела относительно оси.

    Моментом инерции тела относительно точки О называется величина равная ,

    где — кратчайшее расстояние от точки О до элементарной массы тела .

    Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина равная ,

    где — кратчайшее расстояние от оси Z до элементарной массы тела .

    Основной особенностью момента инерции тела является то обстоятельство, что его величина зависит от выбора оси вращения тела и распределение массы тела относительно рассматриваемой оси. То есть в отличие от массы , одно и то же тело имеет бесконечное множество моментов инерции , в зависимости от выбора оси вращения. В общем случае момент инерции тела относительно произвольной оси можно рассчитать по формуле:

    ,

    где , — это функция зависимости плотности тела от координат, а сам интеграл определяется по всему объёму данного тела.

    Однако на практике моменты инерции тел обычно определяют опытным путём, в связи с тем, что математически определить момент инерции тела иногда бывает очень сложно (более подробно о моменте инерции смотрите лабораторную работу 1-4).

    Основным уравнением динамики вращательного движения тела является закон аналогичный второму закону

    Ньютона, одной из возможных формулировок которого является следующая:

    В инерциальной системе отчёта алгебраическая сумма моментов всех внешних сил , действующих на тело относительно неподвижной оси Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно этой оси , на сообщённое ему угловое ускорение e :

    .

    Уравнения для поступательного и вращательного движения маятника без учёта сил сопротивления воздуха в нашем случае имеют вид:

    где m — полная масса маятника, кг, I — момент инерции маятника, кг. м2, g — ускорение свободного падения, м/с2,

    r — радиус оси маятника, м, Т — сила натяжения нити (одной), Н, — ускорение поступательного движения центра масс маятника, м/с2, e — угловое ускорение маятника, рад/с2.

    Так как уравнение вращательного движения маховичка относительно оси вращения: ,

    где — результирующий момент действующих на маятник сил относительно оси вращения, то с учетом уравнения (1), момент действующих сил можно определить по формуле:

    .

    Упражнение 1. Определение углового ускорения маятника и его дисперсии

    1. Установите при помощи подвижного кронштейна высоту падения маятника h , заданную преподавателем. При помощи воротка с фиксатором 7 отрегулируйте длину нитей маятника Максвелла. Следите за тем, чтобы ось маятника была расположена горизонтально.

    2. На диск маятника наложите стальное кольцо и запишите его массу mк . Убедитесь, что край стального кольца находится примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Если нет, отрегулируйте высоту нижнего кронштейна с фотоэлектрическим датчиком. Замерьте радиус оси маятника .

    3. Включите кнопку «СЕТЬ».

    4. Нажмите кнопку «СБРОС» чтобы убедиться, что на табло установились нули.

    5. Аккуратно вращая диск маятника, намотайте на его ось нить и зафиксируйте его в верхнем положении при помощи электромагнитов. При этом следите за тем, чтобы нити наматывались на ось виток к витку.

    6. Нажмите кнопку «ПУСК» на передней панели миллисекундомера, удерживая её в течение одной секунды.

    При этом маятник начнёт двигаться вниз, а таймер производить отсчет времени. В момент пересечения маятником оптиче ской оси фотодатчика отсчет времени должен прекратиться.

    7. Прочитайте измеренное значение времени падения маятника и занести его в таблицу 1.

    8. Нажмите кнопку «СБРОС» и приведите маятник в исходное положение (то есть зафиксируйте его в верхнем положении

    при помощи электромагнита).

    9. Аналогично проведите ещё четыре замера времени падения маятника с заданной высоты. Результаты занесите в таблицу 1.

    h = mк = = Таблица 1


    источники:

    http://gigabaza.ru/doc/34500.html

    http://pandia.ru/text/79/267/50697.php

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут