Уравнения притока тепла и влаги в атмосфере

Уравнения притока тепла и влаги в атмосфере

Основу прогностических моделей атмосферы составляют уравнения движения, притока тепла, неразрывности, переноса влаги и атмосферных примесей, являющиеся математическим выражением законов физики (это законы сохранения импульса, энергии и массы), а также уравнения состояния.

Для идеальной атмосферы (без учета турбулентной вязкости) в локальной декартовой системе координат (ось х направлена на восток, ось у – на север, ось z – по местной вертикали). уравнения гидротермодинамики представляют собой дифференциальные уравнения и содержат производные по времени (t) или по координатам и имеют следующий вид:

Уравнение притока тепла, влаги:

В (1)–(7) p, ρ и Т – давление, плотность и температура воздуха, и, v, w – проекции вектора скорости V на оси х, y, z соответственно; g – вектор силы тяжести, отнесенный к единице массы; ω – вектор угловой скорости вращения Земли, R – удельная газовая постоянная сухого воздуха; ε_л – скорость изменения количества тепла в единице объема за единицу времени за счет лучистого теплообмена, ε_п – скорость изменения количества водяного пара; c_p – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении, γ_а – сухоадиабатический градиент температуры; l = 2ω sin φ – параметр Кориолиса, l₁ = 2ω cos φ, φ – широта места.

Основы динамической метеорологии Учебное пособие (стр. 30 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

где – скорость изменения количества водяного пара в единице объёма (чаще всего за счёт конденсации и испарения).

Уравнение притока влаги, находящейся во всех агрегатных состояниях с учетом влагосодержания будет:

где – влагосодержание воздуха, равное , здесь – плотность водяного пара, – плотность капельной воды, – плотность льда, – плотность влажного воздуха, – скорость изменения влаги за счет гравитации, — скорость изменения влаги за счет молекулярной диффузии. Таким образом, изменение влагосодержания движующейся частицы воздуха обусловлено скоростью изменения влагосодержания за счёт гравитации и за счет молекулярной диффузии. предлагает для уравнения переноса влаги следующии вид:

где — коэффициент молекулярной диффузии, – конденсирующаяся или сублимирующаяся масса водяного пара.

Если пренебречь молекулярной диффузией и учесть турбулентную, то уравнение будет:

где – коэффициент турбулентности. Отсюда следует, что изменение массовой доли водяного пара уравновешивается турбулентностью и конденсацией или испарением.

Для оценки перноса примесей имеем следующее уравнение:

где – скорость изменения количества примесей в единице объёма.

Изменение примесей движущейся частицы воздуха уравновешивается скоростью изменения количества примесей в единице объёма. Это уравнение используется при решении задач загрязнения атмосферы.

3.8. Система уравнений гидротермодинамики для нетурбулентной вязкой атмосферы в форме Навье

Основная система уравнений гидротермодинамики характеризует движение ламинарного вязкого потока жидкости или газа; уравнения движения отражают второй закон Ньютона или закон сохранения импульса или количества движения [4, 14, 15, 16, 17, 18]. Их можно записать в форме Навье или Навье-Стокса. В первом случае система уравнений выглядит следующим образом:

Эти уравнения отражают тот факт, что ускорения движущейся частицы воздуха в ламинарном вязком потоке уравновешивается равнодействующей силы тяжести, силы барического градиента, силы Кориолиса и силы вязкости.

Вместо третьего уравнений во многих задачах динамической метеорологии и численных методах прогноза погоды используют уравнение статики:

Это уравнение указывает нам на то, давление с высотой убывает тем быстрее, чем больше плотность воздуха.

Уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы:

Которое можно записать и в таком виде:

.

Для несжимаемой жидкости оно приобретает форму .

Оно отражает тот факт, что локальный рост или падение плотности должно быть сбалансировано притоком или оттоком массы.

Следующее уравнение – уравнение притока тепла – отражает закон сохранения энергии, который мы рассматриваем в форме первого начала термодинамики:

Оно отражает то, что для идеального газа всякий приток тепловой энергии к системе должен быть сбалансирован изменением её внутренней энергии и работой, которую совершает система против сил давления, т. е. работой расширения или сжатия.

Следующими уравнениями в системе уравнений гидротермодинамики являются уравнения переноса влаги и переноса примесей, которые имеют следующий вид:

где – массовая доля водяного пара; –количество примесей; — скорость изменения количества водяного пара в единице объёма; — скорость изменения количества примесей в единице объёма.

Ещё одно уравнение используется для решения системы уравнений гидротермодинамики – это уравнение состояния идеального газа, которое имеет вид

которое отражает тот факт, что изменение параметров идеального газа протекает по строгой зависимости так, что частное от деления давления на произведение плотности на температуру остаётся величиной постоянной.

Мы получили основную систему уравнений динамики и термодинамики атмосферы. Строго говоря, эта система не замкнута, т. е. не решаема, так как содержит число неизвестных, которое больше числа уравнений. Это , а также внешний приток тепла, фазовый приток тепла (внутренний), приток водяного пара и примесей. Эти характеристики требуют дополнительных уравнений. В дальнейшем будут получены уравнения, учитывающие турбулентное трение и турбулентные притоки тепла и влаги. Представляется, что добавление все новых и новых уравнений не имеет конца.

В то же время во многих атмосферных процессах притоки тепла так малы, что ими можно пренебречь или определить их очень грубо. В таком случае первые 6 уравнений могут образовать замкнутую систему. А последние уравнения решаются независимо при условии какого-то дополнительного предположения относительно притока влаги.

3.9. Система уравнений гидротермодинамики в форме Навье-Стокса

В этом случае изменяются только уравнения движения, которые имеют вид:

Первое начало термодинамики для атмосферы

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В АТМОСФЕРЕ

Первое начало термодинамики для атмосферы

Атмосфера представляет собой воздушную среду, в которой постоянно осуществляется переход энергии из одного вида в другие. Раздел метеорологии, рассматривающий общие закономерности преобразования энергии и изменения состояния атмосферы под влиянием притока тепла называется термодинамикой атмосферы.

В этом разделе широко используются выводы, вытекающие из первого начала термодинамики или закона сохранения энергии:

ü Невозможно возникновение или уничтожение энергии, возможен лишь переход одних видов энергии в другие.

Количественно это положение выражается в виде

уравнения первого начала термодинамики или

уравнения притока тепла.

Для вывода этого уравнения выделим в атмосфере частицу сухого воздуха единичной массы. К характеристикам, определяющим состояния этой частицы относятся р_i, ρ_i,T_i, а к характеристикам, определяющим состояние окружающего эту частицу воздуха р_е, ρ_е, Т_е.

В силу малой скорости движения частицы (по сравнению со скоростью звука), можно ввести допущение, что между характеристиками окружающего воздуха и выделенной частицы выполняются квазистатические условия, т. е.: р_i = p_e= p.

Рассмотрим изменение характеристик выделенной частицы при получении этой частицей количества тепла, равного dg. Это количество тепла будет израсходовано на увеличение внутренней энергии и

совершение работы на увеличение объема, занимаемого данной частицей.

В этом случае ее внутренняя энергия увеличится на du и совершится работа dw против внешних сил давления на увеличение объема:

Для идеального газа, к которому можно отнести и сухой и влажный ненасыщенный воздух, изменение внутренней энергии частицы справедливо выражение:

где c_v — удельная теплоемкость сухого воздуха при постоянном объеме (v = const). Работа по расширению объема частицы определяется из выражения:

где dv_i– приращение объема частицы.

С учетом полученных выражений (3.2) и (3.3) уравнение первого начала термодинамики для выделенного объема воздуха примет вид:

После преобразования выражения (3.4) получим:

Для изобарического процесса (dр = 0) выражение (3.7) примет вид:

Для данного вида процесса справедливо выражение:

где с_р — удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении.

Соотношение (3.11) носит название уравнения Майера.

Для сухого воздуха: c_v = 718 Дж/кг К, а с_p = 1006 Дж/кг К,

. (3.13)

Подставим (3.10) в (3.7), тогда с учетом (3.5) получим

уравнение первого начала термодинамики:

. (3.14)

3.2. Адиабатический процесс

Термодинамический процесс называется адиабатическим, если он протекает без теплообмена частицы с окружающей средой.

При адиабатическом процессе dg = 0. Для такого процесса уравнения

(3.4) и (3.14) принимают вид:

. (3.16)

Уравнение (3.15) показывает, что при адиабатическом процессе работа против внешних сил давления совершается только за счет внутренней энергии.

При этом, если работа положительная, т.е. направленная на расширение объема (dv_i > 0), то внутренняя энергия частицы уменьшается (dТ_i 0), ее внутренняя энергия растет (dТ_i > 0).

При подъеме частицы объем ее увеличивается (dv_i > 0), а давление падает (dр

Подставим (3.19) в (3.17) и после сокращения запишем:

(3.20)

Разделим выражение (3.20) на выражение (c_p · dz):

(3.21)

Полученное выражение (3.21) определяет изменение температуры воздушной частицы, отнесенное к единице высоты при адиабатическом процессе.

ü Данное выражение показывает, что при адиабатическом подъеме воздушной частицы температура ее всегда падает

Это связано с тем, что при подъеме воздушной частицы происходит расход внутренней энергии на работу расширения.

Сухоадиабатическимградиентом называется падение температуры при адиабатическом подъеме сухой воздушной частицы, отнесенное к единице высоты:

. (3.22)

Подставим (3.22) в (3.21) и получим:

(3.23)

Для реальной атмосферы 1. Следовательно, сухоадиабатический

градиент для реальной атмосферы – величина постоянная (const).

(3.24)

Приближенно можно считать, что температура адиабатически подни­мающейся воздушной частицы падает примерно на один градус при подъеме на каждые 100 м высоты.

Изменение с высотой температуры адиабатически поднимающейся воздушной частицы графически изображается в осях координат – температура – высота, в виде прямой линии. Она называется сухоадиабатой или кривой состояния сухой воздушной частицы.

3.4. Потенциальная температура

Потенциальной температурой ( ) называется температура, которую примет воздушная частица, если ее переместить сухоадиабатически с исходного уровня до уровня с давлением 1000 гПа.

Приближенное выражение для расчета потенциальной температуры имеет вид:

(3.25)

где р₀ – давление воздуха на поверхности Земли;

Т_i – температура воздуха на исходной поверхности;

z – расстояние перемещения частицы по вертикали.

В выражении (3.25) последнее слагаемое правой части представляет собой изменение температуры частицы при перемещении ее от поверхности Земли до уровня 1000 гПа.

Если давление воздуха у поверхности Земли менее 1000 гПа, то уровень 1000 гПа лежит ниже поверхности Земли. Поэтому при дополнительном перемещении частицы от поверхности земли до уровня 1000 гПа частица нагревается.

Потенциальная температура обладает важными свойствами.

§ При сухоадиабатическом перемещении частицы ее потенциальная температура сохраняет постоянное значение, хотя ее температура (как степень нагретости) изменяется.

Это свойство сохранения (консервативности) потенциальной темпера­туры используется в качестве характеристики воздушных масс и оценки их вертикальных перемещений.

§ Если при перемещении частицы ее потенциальная температура изменилась, то это свидетельствует о притоке, либо оттоке тепла.

Другим свойством потенциальной температуры является ее связь с пол­ной энергией воздушной частицы.

§ При адиабатическом перемещении частицы ее полная энергия не изменяется.

3.5. Критерии устойчивости атмосферы на основе метода частицы

Распределение температуры окружающего частицу воздуха в различных слоях атмосферы характеризуется вертикальным градиентом температуры

(3.26)

Распределение температуры и других метеорологических величин по высоте называется стратификацией атмосферы.

Для определения устойчивости к движению воздуха выделим в атмо­сфере воздушную частицу единичного объема. Характеристикой изменения температуры частицы является сухоадиабатический градиент при ее адиабатическом перемещении.

При вертикальном движении частицы возможны три случая с разными соотношениями между вертикальным и сухоадиабатическим градиентами.

Первый случай: > _а. Данное соотношение свидетельствует о том, что температура воздуха в атмосфере падает с высотой быстрее, чем на 1°С/100м. На воздушную частицу действуют две силы: сила тяжести и сила Архимеда. Результирующая величина этих сил называется силой плавучести.

При _е > _i, эта сила направлена вверх, а при _{е а} называется сухонеустойчивой.

Второй случай: = _а. В этом случае при перемещении частицы с исходного уровня, на котором Т_i = Т_е, а ,на любой другой уровень, температура и плотность частицы будут равны температуре и плотности окру­жающего ее воздуха. В соответствии с выражением (3.27) ускорение ее дви­жения будет равно нулю.

Термическое состояние атмосферы в этом случае при называется сухобезразличной (равновесной) стратификацией

Третий случай: 0;

— второй случай – инверсия – 2017-01-21 ; просмотров: 1766 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов