Уравнения приводимые к квадратным 10 класс примеры

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,

где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

то получится x 2 + px + q = 0.

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

является приведённым, а уравнение:

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Приведём уравнение к общему виду:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.

Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах

Уравнение 1

Решить уравнение:

1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.

(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

вводим новую переменную: пусть 2 x =y;

y 2 + 2 y -3 =0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D₁=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2 x = 2 0 ;

Уравнение 2

2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.

(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;

(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.

0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y 2 — 5 y+ 4 =0;

Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂= 5 , y₁+y₂= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y₁=1, y₂=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5 2x = 0,5 0 ;

2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х

2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:

Уравнение 3

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.

Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры

Основные понятия по теме

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.

Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:

a sin 2 x + b sin x + c = 0

Здесь a отлично от нуля.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:

1. Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
2. Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.

Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным

Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:

a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0

При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .

Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.

Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸

Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

• выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
• выполнение подстановки;
• преобразование уравнения;
• введение обозначения, к примеру, sin x = y;
• решение квадратного уравнения;
• обратная замена;
• решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0

cos 2 α = 1 — sin 2 α

В результате уравнение преобразуется таким образом:

6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0

Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:

6 t 2 + 13 t + 7 = 0

Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:

sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .

Разберем другой пример:

5 sin 2 x = cos 4 x — 3

Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:

cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α

cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x

Подставим значения и преобразуем уравнение:

2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0

Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:

2 t 2 + 5 t + 2 = 0

Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:

sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .

Примеры решения задач с пояснениями

Найти корни уравнения:

tg x + 3 ctg x + 4 = 0

При tg x · ctg x = 1 имеем, что:

Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:

t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0

Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:

Путем обратной замены получим:

Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .

Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :

2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0

Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:

2 t 2 + 2 t — 2 = 0

Определим дискриминант уравнения:

Таким образом, корни равны:

Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:

sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n

x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .

Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:

— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .

— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .

Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :

2 sin 2 x + 2 = 5 sin x

Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:

2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0

Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:

2 t 2 — 5 t + 2 = 0

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:

Решениями sin x = a являются:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:

x = 5 π 6 + 2 π k

Определим, какие корни соответствуют интервалу:

0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:

Рассмотрим другие решения:

0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:

Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .

Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :

ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0

Вспомним формулу приведения:

cos x — 11 π 2 = — sin x

Также пригодится формула:

ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x

1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0

Заменим 1 sin x на t. В результате:

Путем обратной замены получим:

sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .

Определим подходящие решения:

Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .

Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :

cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3

Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:

1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0

Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:

2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0

t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:

Решения для уравнения sin x = a следующие:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :

x = 3 π 4 + 2 π k

Определим подходящие корни:

π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8

Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Определим корни, которые подходят к задаче:

π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8

Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.

Требуется найти решения тригонометрического уравнения:

3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0

Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4

Область допустимых значений в данном случае:

Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:

3 t 2 — 10 t + 3 = 0

Путем обратной замены получим:

Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:

— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6

Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:

x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .

Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .