Уравнения приводимые к квадратным f

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.

Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах

Уравнение 1

Решить уравнение:

1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.

(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

вводим новую переменную: пусть 2 x =y;

y 2 + 2 y -3 =0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D₁=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2 x = 2 0 ;

Уравнение 2

2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.

(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;

(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.

0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y 2 — 5 y+ 4 =0;

Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂= 5 , y₁+y₂= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y₁=1, y₂=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5 2x = 0,5 0 ;

2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х

2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:

Уравнение 3

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.

Уравнения, приводимые к квадратным

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. При решении уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же прием – введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение: \((x^2+2x)^2-7(x^2+2x)-8=0\) .

Подстановка \(x^2+2x=t\) приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t: \(t^2-7t-8=0\) .

По теореме Виета: \(\begin t_1+t_2=7 \\ t_1\cdot t_2=-8\\ \end \Rightarrow t_1=-1; \ t_2=8\)

Обратная замена: \(\begin x^2+2x=-1\\ x^2+2x=8\\ \end \Rightarrow \begin x^2+2x+1=0\\ x^2+2x-8=0\\ \end \Rightarrow \)

\(1) \ x^2+2x+1=0 \\(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1 \\2) \ x^2+2x-8=0 \\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot (-8)=36 \\x_1=\frac<-2+6>2=2 \\x_2=\frac<-2-6>2=-4 \)

Один вид уравнений, приводимых к квадратным – биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения – это уравнения вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0, где\ a≠0\) .

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки \(x^2 =t\) . После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно t: \(at^2+bt+c=0\) .

Биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней. Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

Пример 2. Решить уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\) .

Решение: Пусть \(x^2=t, \ t \ge0\) ,

Получили квадратное уравнение.

Оба корня удовлетворяют условию \(t≥0\) .

Возвращаемся к исходной переменной: \(x^2=1; \ x^2=\frac14\) .

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни:

\(x_1=1; \ x_2=-1; \ x_3=\frac12; \ x_4=-\frac12\) .

Разработка+презентация на тему «Уравнения, приводимые к квадратным» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ КСП 8класс алгебра №51.docx

Краткосрочный план урока

Предмет: алгебра Урок: № 51

Тема: Уравнения, приводимые к к вадратным.

Основная идея: Развитие навыка аргументации через применение таксономии Блума.

Цель обучения: Использование алгоритма решения биквадратных уравнений.

Знают общий вид полного биквадратного уравнения, умеют находить коэффициенты; умеют решать простейшие неполные квадратные уравнения

Умеют решать биквадратные уравнения по алгоритму

Могут аргументированно доказать применение того или иного алгоритма, в том числе и при решении биквадратного уравнения

Этап урока, время

Что делает учитель?

Что делают ученики?

Настрой на урок.

Запишите на карточке свою Ф.И. и 1 личную цель, которую вы хотите достичь к концу урока.

ИР: записывают Ф.И. и цель

Актуализация прежних знаний 7 мин

Найти корни неполного уравнения: х 2 =0; х 2 =1,21; х 2 + 4= 0; х 2 – 5х = 0; 2х 2 + х = 0.

Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета: х 2 — 9х + 20 = 0; х 2 – 1х –2 = 0.

ФР: устно находят корни

Презентация, слайд 1

№ 851 (1,2) 1) Д=961=31 2 ; у₁=30, у₂= -1; х_1,2=

Уравнения вокруг нас.

3.Где используется уравнения сегодня

ИР: слушают презентацию

Презентация, слайды 2-17

Решение уравнений. 2 ученика одновременно у доски

№ 851(3,4) 3) Д=64=8 2 ; у₁=0,6, у₂= -1; х_1,2=

4) Д=81=9 2 ; у₁= 3,5, у₂= -1; х_1,2=

ИР: решают у доски

Мел, доска, тетради

Решение самостоятельной работы

1.Решить неполное квадратное уравнение

2.Решить биквадратное уравнение

3.Сколько корней может быть в биквадратном уравнении 4,6,8 степени?

ИР: учащиеся работают самостоятельно

Карточки с вариантами

Рефлексия . Заполнить карточки, отвечая на вопросы.

Д/з: Придумать 2 биквадратных уравнения и решить

ИР: заполняют карточки, зап д/з

Вопросы, обдумываемые после урока:

Что можно улучшить?

Что я смог развить в своих навыках? Что можно изменить?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

Моя цель на урок:

Чему научился(лась) за урок?

Что удалось с трудом?

1.Решите неполное квадратное уравнение: