Решение уравнений, приводимые к квадратным
Разделы: Математика
Цель: Обобщить и систематизировать знания о целых уравнениях и методах их решений.
Форма проведения: игра “Математик-бизнесмен”
Оборудование: карточки- задания, “Правила игры”
Ход урока.
I. Сообщение темы и цели урока.
Учитель: Одна из важнейших тем математики — это уравнения. Начиная с начальных классов рассматриваются самые разнообразные уравнения. Мы с вами изучали линейные уравнения, дробно- рациональные уравнения. Для всех, уже умевших решать эти уравнения, желанным было бы решать уравнения 3-ей степени и выше. Сегодня рассмотрим некоторые методы решения уравнений высших степеней. Урок проведем в форме игры “Математик- бизнесмен”. Для этого класс разбиваем на 4 группы. Каждая группа представляет финансово-кредитное учреждение, которое осуществляет денежные расчеты и наращивает “капитал”. Каждая команда объявляет название банка, называет управляющего банком и наблюдателя. Управляющий банком представляет членов банка.
— Слово предоставляется ученикам.
Названия банков:
- “Альфа- банк”
- “Плюс-банк”
- “Би-банк”
- “Омега-банк”
Учитель: Ознакомимся с правилами игры.
- Каждый банк получает стартовый капитал в размере 10 тыс. рублей.
- Каждый банк имеет наблюдателя, который заносит результаты всех видов работы каждого члена правления банка в таблицу. Таблицы наблюдателей лежат на столах, где указаны все виды работ.
- Выигрывает тот банк, который набрал наибольшее количество денег.
II. Ход игры.
1. Домашнее задание.
Учитель: Вам было задано на дом задание – работать со словарем и выяснить значения слов: банк, кредит, капитал, банкир.
Ожидаемый ответ учащихся:
Банк – крупное финансово-кредитное учреждение.
Кредит – предоставление в долг товаров или денег.
Капитал – стоимость, которая в результате ее использования дает прибыль.
Банкир – банковский делец, владелец или крупный акционер банка.
За каждый правильный ответ член правления банка получает 2000 рублей. Наблюдатели заносят результаты в таблицу, отмечая при этом фамилии отвечающих.
Учитель: проверим надежность вашего партнера. Для этого вы должны ответить на несколько вопросов. За каждый правильный ответ дается 3000 рублей.
а) что такое целое уравнение? (Левая и правая части уравнения-целые выражения)
б) Что такое степень уравнения? (P(x)=0, где P(x)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения).
в) Что такое биквадратное уравнение? (Уравнение четвертой степени, имеющее вид )
г) Методы решения целых уравнений? (Введение новой переменной, разложение на множители, группировка слагаемых, графический)
д) Сколько корней может иметь уравнение первой степени? (один корень при )
е) Сколько корней может иметь уравнение второй степени? (Зависит от дискриминанта, если D>0, то два корня, если D=0,то один корень, если D
Наименование банка | Сумма | Место |
“Альфа-банк” | ||
“Плюс-банк” | ||
“Би-банк” | ||
“Омега-банк” |
№ | ФИО | Стар.кап. | д/з | Взаимопров. | Диктант | Карточка | Сумма | Оценка |
1 | 10 тыс. | |||||||
2 | 10 тыс. | |||||||
3 | 10 тыс. | |||||||
4 | 10 тыс. | |||||||
5 | 10 тыс. | |||||||
6 | ||||||||
ИТОГО |
Подведение итога, объявление результатов игры.
Таким образом, на сегодняшнем уроке мы с вами вспомнили методы решения целых уравнений.
Д/з: подготовиться к контрольной работе, дидактические материалы К-2, в-I (1,2 задания)
Уравнения, приводимые к квадратным
Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. При решении уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же прием – введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.
Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение: \((x^2+2x)^2-7(x^2+2x)-8=0\) .
Подстановка \(x^2+2x=t\) приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t: \(t^2-7t-8=0\) .
По теореме Виета: \(\begin
Обратная замена: \(\begin
\(1) \ x^2+2x+1=0 \\(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1 \\2) \ x^2+2x-8=0 \\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot (-8)=36 \\x_1=\frac<-2+6>2=2 \\x_2=\frac<-2-6>2=-4 \)
Один вид уравнений, приводимых к квадратным – биквадратные уравнения.
Биквадратные уравнения – это уравнения вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0, где\ a≠0\) .
Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки \(x^2 =t\) . После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно t: \(at^2+bt+c=0\) .
Биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней. Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.
Пример 2. Решить уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\) .
Решение: Пусть \(x^2=t, \ t \ge0\) ,
Получили квадратное уравнение.
Оба корня удовлетворяют условию \(t≥0\) .
Возвращаемся к исходной переменной: \(x^2=1; \ x^2=\frac14\) .
Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни:
\(x_1=1; \ x_2=-1; \ x_3=\frac12; \ x_4=-\frac12\) .
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:
ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,
где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.
называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.
Приведённое квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:
x 2 + | b | x + | c | = 0. |
a | a |
Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:
если | b | = p, а | c | = q, |
a | a |
то получится x 2 + px + q = 0.
Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.
является приведённым, а уравнение:
можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:
Решение квадратных уравнений
Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:
Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:
Вид уравнения | Формула корней | ||||
---|---|---|---|---|---|
ax 2 + bx + c = 0 | |||||
ax 2 + 2kx + c = 0 | |||||
x 2 + px + q = 0 |
|
Обратите внимание на уравнение:
это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:
Пример 1. Решить уравнение:
Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:
Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:
x1 = | -2 | = — | 1 | , x2 = | -12 | = -2 |
6 | 3 | 6 |
Ответ: — | 1 | , -2. |
3 |
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Приведём уравнение к общему виду:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:
http://itest.kz/ru/ent/matematika/8-klass/lecture/uravneniya-privodimye-k-kvadratnym
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/kvadratnye_uravn.html