Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac
Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).
Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>
Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.
Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>
Ответ: \(a=1.\)
Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$
После преобразований получили линейное уравнение.
Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).
Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.
II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным
Оглавление
II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным. 4
III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром. 6
IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид 9
V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром. 111
I. Введение
Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году только 13,4 % девятиклассников смогли выполнить задание 23 части С. На следующий год нам тоже предстоит сдавать ОГЭ, а данная тема вызывает наибольшее затруднение. Именно поэтому мы выбрали эту тему.
Цель
Изучение решения линейных уравнений с параметрами.
Задачи
1.Познакомиться с понятием параметра.
2.Изучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.
3.Рассмотреть различные виды уравнений с параметрами.
4.Научиться решать уравнения с параметрами.
Актуальность
Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.
Предмет исследования:линейные уравнения с параметром.
Объект исследования:алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.
II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным
Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение 
+ 
= 
с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение + = 1 – всех единичных окружностей; уравнение 
+ 
= – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.
Определение.Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.
Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.
Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.
В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:
1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;
2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.
В качестве примера рассмотрим уравнение 
1) Пусть 
, тогда уравнение примет вид 
Решим его: 
2) Пусть 
, тогда уравнение примет вид 
, решением которого является любое действительное значение 
.
3) Пусть 
, тогда уравнение примет вид 
. Решив его, получим, что 
. В этом случае уравнение не имеет решения.
Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения
параметра 
.
Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром 
это значит :
— найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;
— найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнения с параметрами,сводящиеся к линейным.7 класс.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.7 класс (методические рекомендации).
Солодовникова Галина Николаевна, учитель математики
МБОУ Школа №16 г. Саров Нижегородской области.
«Задачи с параметрами незаменимое средство для тренировки логического мышления».
Данный материал можно использовать на уроках алгебры в 7 классе, на занятиях математического кружка общеобразовательной школы, для самостоятельного ознакомления с данной темой учениками 7-ого класса.
На первом занятии мы рассмотрели уравнения вида ах= b (1),
где х-неизвестное, b -некоторое число или выражение, а — параметр. В уравнениях данного вида параметр а может принимать любые значения. Задача могла звучать так: найдите решение уравнения в зависимости от параметра а.
На первом занятии были рассмотрены и решены уравнения:
1) а∙х=1. Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х = .
2) а∙х=0. Ответ. Если а=0,то х-любое число; если а≠0, то х=0.
3) (а-2)∙х=1. Ответ. Если а=2, то корней нет; если а≠2, то х = .
4) (а-2)∙х=0. Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠ 2, то х=0.
5) (а-2)∙х=5∙(а-2). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=5.
6) (а-2)х=(а-2)(а+3). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х= а+3.
7) (7-а)(а+2)х=а -7. Ответ. Если а=7, то х-любое число; если а=-2, то корней нет; если а≠7,а≠-2, то х= .
На 2-ом занятии мы рассмотрим уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным, т.е. к виду ах= b (1).
1.Решите уравнение ах-3х= -1.
В данном уравнении параметр а принимает любое значение.
Приведем уравнение к виду (1).
Для этого в левой части исходного уравнения вынесим за скобку общий множитель х, выделив при этом коэффициент при неизвестном х, (а-3).
Получили уравнение (а-3)∙х= — 1,
если а=3,то уравнение примет вид 0∙х= — 1 . Данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= .
2.Решите уравнение тх-7т=5х-6.
В данном уравнении параметр т принимает любое значение.
Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения.
Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, (т-5).
если т=5,то уравнение примет вид 0∙х=35-6 ,т.е. 0∙х=29. Данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х = .
В данном уравнении параметр m принимает любое значение.
Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения.
Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, m ().
Если m =0, то уравнение примет вид 0∙4∙х=3∙4 или 0∙х=12. Данное уравнение корней не имеет.
Если m = — 4, то уравнение примет вид -4∙0∙х=3∙0 или 0∙х=0 , х — любое число.
Ответ. Если m =0,то корней нет;
В данном уравнении параметр а принимает любое значение.
Необходимо освободиться от знаменателей дробей.
Это можно сделать двумя способами.
Можно применить основное свойство пропорции и получить уравнение 3∙(ах+5)=4∙(ах+1)
или умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 12 и получить уравнение
Сократив первую дробь на 4, вторую на 3, получим уравнение 3∙(ах+5)=4∙(ах+1).
(На мой взгляд, исходное уравнение удобнее решать, используя основное свойство пропорции).
Выполняем умножение одночленов на многочлены и получаем уравнение:
Собираем члены уравнения, содержащие х, в левой части, остальные в правой части уравнения и приводим подобные слагаемые:
Умножаем обе части уравнения на -1 и получаем уравнение вида(1)
Если а=0,то уравнение примет вид 0∙х=11, данное уравнение корней не имеет;
Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х= .
В данном уравнении параметр а принимает любое значение.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6.
Сократив первую дробь на 3, вторую на 2,получим уравнение: 2∙(1+а) + 6 =3∙а (х-4).
Умножаем одночлены на многочлены, переносим члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левую часть, остальные в правую часть уравнения, приводим подобные слагаемые:
Умножаем обе части уравнения на -1 и получаем уравнение вида (1)
Если а=0, то уравнение примет вид 0∙х=8 , данное уравнение корней не имеет;
Ответ. Если а=0, то корней нет;
Задания для самостоятельной работы.
Ответ.1) если n =0,4, то корней нет; если n ≠0,4, то х = ;
2)если а=6, то корней нет; если а≠6, то х = ;
3) если с= 0, то корней нет; если с= -3, то х-любое число; если с≠0, с≠ -3, то х= ;
4) если а=0, то корней нет; если а≠0, то х=;
5)если а=0, то корней нет; если а≠ 0, то х = — .
На следующем занятии можно рассмотреть уравнения с модулем, содержащие параметр и сводящиеся к линейным.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 590 725 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
§ 2. Линейное уравнение с одной переменной
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
- 23.07.2018
- 1876
- 53
- 21.07.2018
- 2297
- 3
- 18.07.2018
- 348
- 0
- 29.06.2018
- 276
- 1
- 29.05.2018
- 387
- 14
- 29.05.2018
- 334
- 9
- 12.05.2018
- 784
- 4
- 15.03.2018
- 3598
- 462
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 24.07.2018 465
- DOCX 22.4 кбайт
- 0 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Солодовникова Галина Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 4 года и 5 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 12516
- Всего материалов: 13
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии
Время чтения: 3 минуты
В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля
Время чтения: 1 минута
Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии
Время чтения: 1 минута
В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы
Время чтения: 1 минута
В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
http://poisk-ru.ru/s20957t12.html
http://infourok.ru/uravneniya-s-parametramisvodyaschiesya-k-lineynim-klass-3165839.html