Уравнения приводящиеся к линейным уравнениям

Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным

Метод решения

К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1) ,
где z – функция от y ; p и q – функции от x .
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z :
.

Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x

Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y . То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x , а не y . В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2) ,
где P, Q, R –функции от y .

Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x . Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Умножаем на и выполняем алгебраические преобразования:
;
.
Разделив на R ( y ) , приводим уравнение к виду:
,
где .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка

Решить уравнение:
(П.1) .

Подставим в (П.1):
.
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y . Умножим на :
(П.2) .
Делаем подстановку:
.
Здесь z – сложная функция от y , .
Дифференцируем по y . По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляем в (П.2):
;
.
Это линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e y :
;
;
.
Интегрируем по частям:

;

;
;
.
Переходим к переменной x :
;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2012 Изменено: 26-06-2015

Уравнения, приводимые к линейным.

Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляет следующий шаг в изучении уравнений с параметром.

Пример1. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что х ≠ 2. Умножив обе части уравнения на х–2≠0, получим а = х – 2 или х = а + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при котором найденное значение х было бы равно числу 2, то есть решим уравнение 2 = а + 2 относительно а. Получим, что при а = 0 х =2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.

Ответ: при а = 0 корней нет; при а≠ 0 х = а +2.

Пример2. Решите уравнение

Решение: х ≠ –1. Приведя уравнение к виду (1 — а)х = а, заметим, что при а = 1 уравнение не имеет корней, а при а ≠1 получаем . Решим уравнение относительно а. Так как уравнение не имеет корней, других вариантов не имеется.

Ответ: при а ≠1 ; при а = 1 корней нет.

Пример 3. Решите уравнение

Решение При условии, что исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение 2ах =1– а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ≠ 0 . Проверим, нет ли таких значении параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2. для этого решим относительно а уравнения . Корень первого уравнения

– 0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при а ± 0, 2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: при корней нет; при .

Пример 4. Исследовать и решить уравнение с параметром.

kx + 2k – 3k + 3 = x + 1;

(k – 1 )x = x + 1 — вид уравнения наиболее удобный для исследования.

a) Пусть k ≠ 1, тогда существует единственный х .

б) Выясним, при каких значениях параметра k х = -1, и исключим их.

Для этого решим уравнение:

, тогда k = 1,5.

в) Если k = 1, то 0х = -1, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру k

1) 2) 3)

Ответ: 1) При k ≠ 1

k ≠1,5 существует ед. х = .

2) При k =1 решений нет.

3) При k = 1,5 решений нет.

Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D (у): m ≠ 1

Преобразуем данное уравнение в равносильное с учётом D (у):

3mx – 5 + (3m – 11)(x + 3) = (2x + 7)(m – 1);

(4m – 9)x = 31 – 2m — линейное уравнение с параметром, удобное для исследования.

а) Если m ≠ 2,25

m ≠ 1 , то существует ед.

б) Выясним, при каких значениях параметра m x = -3.

следовательно, m = — 0,4, т.е. при m = — 0,4 х .

в) Если m = 2,25, то 0х = 26,5, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру

Ответ: 1) при m ≠ 2,25

m ≠ — 0,4 существует ед.

2) При m = 2,25 решений нет

3) При m = — 0,4 решений нет

4) При m = 1 уравнение не определено или не имеет смысла.

Пример 6. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D(y): Выполнив необходимые преобразования получим следующее уравнение:

.

а) Если то

б) тогда т.е.

в) тогда т.е.

г) тогда 0= — 6,5, следовательно, решений нет

Графическая иллюстрация исследования c параметром m

— 2 -1,5

Ответ: 1) При существует единственное решение

2) При решений нет

3) При решений нет

4) При уравнение не определено.

5) При решений нет.

Пример 7. Исследовать и решить уравнение с параметром:

D(y) :

Данное уравнение перепишем в виде

или

а) Если то существует ед.

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=1, и исключим эти значения, т.е. или 2 = 1. Следовательно, не существует такого значения параметра m, при котором x=1, т.е. дополнительных ограничений на значение параметра m нет.

в) Если m=1, то, следовательно, любое есть решение уравнения, т.е. это случай бесконечного множества решений.

г) Если m = -1, то , т.е. решений нет.

д) Если m = 0 — уравнение не определено.

Ответ: а) а) Если то существует ед. x

б) Если m=1, то для любого x ≠ 1 есть решение.

в) Если m = -1, решений нет

г) Если m = 0 — уравнение не определено.

Пример 8. Исследовать и решить уравнение с параметром:

Найдём область определения данного уравнения. D(y) : х ≠±1.

Запишем уравнение в виде. или

а) Если а ≠ -2 , то существует ед. х

б) Выясним, при каких значениях параметра а х=1, и исключим их.

, т.е. а = 1.

в) выясним, при каких значениях параметра а х=-1,

, т.е. 4=-2, или решений нет. Следовательно, не существует такого значения параметра а, при котором х=-1.

г) Если а = -2, то , т.е. решений нет.

Графическая иллюстрация исследования c параметром а

-2 1

Ответ 1) При существует ед. х

2) При а = -2, решений нет.

3) При а = 1, решений нет.

Пример 9. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y): .

Запишем уравнение в виде , или

а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=-3.

т.е. m ≠-1.

в) Если m = -4, то , следовательно, любое х из области определения уравнения есть решение.

г) Если m = 2, то , т.е решений нет.

д) Если m = -1 – уравнение не определено.

Ответ: 1) При то существует ед. х

2) При m = — 4, любое х ≠-3 есть решение.

3) При m = 2, решений нет.

4) При m = -1 – уравнение не определено

Пример 10. Исследовать и решить уравнение с параметром

D (y): .

Запишем уравнение в виде

а) Если то существует ед. х .

б) Если а=0, то 0=0, следовательно, любое х из области определения есть решение.

Ответ: 1) При то существует ед. х .

2) При а=0, любое х ≠ 1 – есть решение.

3) При а = 1,5 уравнение не определено.

Пример 11. Исследовать уравнение, выяснить, при каких значениях параметра m существует единственное решение, меньше 1.

D(y):

Запишем уравнение в виде

I. а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каком значении параметра m х=-2.

т.е.

в) Выясним, при каком значении параметра m х=-3

т.е. .

II. Решим неравенство . Перенесём 1 в левую часть, тогда

0 1

Ответ: при существует единственное решение такое, что .

Пример 12. Исследовать уравнение, выяснить при каких значениях параметра m существует единственное положительное решение.

D(y) .

Запишем уравнение в виде .

I. а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каком значении параметра m

тогда

в) При найдём дополнительное ограничение на значение параметра m.

Тогда уравнение имеет вид

т.е.

II.

-2 -1 -½

Ответ: при существует ед. х

Пример 13. Исследовать и решить уравнение с параметром

D (y):

В результате преобразований получаем — данное уравнение наиболее удобно для исследования.

а) Если то существует ед. х

б) Выясним при каком значении параметра b

в) Выясним при каком значении параметра b

г) Если , то решений нет.

Ответ: 1)При существует ед. х

2) При решений нет. 3) При решений нет.

4) При решений нет.

Пример 14. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y):

Преобразуем уравнение в более удобное для исследования.

.

а) Если то существует ед х

б) Выясним, при каком значении параметра n х=0.

.

в) Если , то любое значении х из области определения является решением.

г) Если , уравнение не определено.

д) Если , уравнение не определено.

Ответ: 1) При то существует ед. х

2) При любое является решением.

3) При , уравнение не определено.

4) При , уравнение не определено.

Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу. Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 7 – 11 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

1. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368 с.

2. Шахместер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.– 304с.

3. Шахместер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. –

1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.– 304с.

4. Шахместер А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах. – 3-е изд., исправленное.– М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс»,2009. – 248с.

5. Н.Воронина Уравнения с параметрами на уроках повторения. – Газета «Математика» №1/ 2010г. Издательский дом «Первое сентября».

6. Т.Овчинникова, Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами» – Газета «Математика» №1/ 2010г. №2/2010, №3/2010 Издательский дом «Первое сентября».

7. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999 – 336с.

8. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

9. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

10. Алгебра. 10-11 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

11. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 9-е изд.- М.: Айрис-пресс, 2004 – 432с.

12. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208с (Серия «Математика: элективный курс»).

Дистанционный урок по теме «Решение уравнений, приводимых к линейным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 21 города Ставрополя

Тема. Решение уравнений, приводимых к линейным.

Автор Белоцерковская Татьяна Юрьевна

Образовательное учреждение МБОУ СОШ № 21 города Ставрополя

Краткая аннотация- Закрепление материала по решению линейных уравнений, приводимых к линейным, проверка знаний по данной теме в ходе выполнения самостоятельной работы.

Тема Решение у равнений, приводимых к линейным.

Тип урока Урок закрепления изученного материала

Форма урока урок-семинар , контроль знаний .

Необходимое оборудование и материалы для дистанционного урока компьютер с выходом в интернет,

использование ресурсов сети Интернет –

i-Класс Алгебра I , 7 класс, урок № 5

микрофон, камера, колонки

Требования к уровню ИКТ компетентности обучающихся

умение работать со Skype – звонить, принимать звонки, получать и отправлять файлы

умение работать с MS Word

умение загружать файлы на сайт

Тип доставки учебного материала —

Чтение с сайта, скачивание с сайта и по Skype

Повторить с учащимися решение уравнений и задач, приводимых к линейным.

Проверить умение учащихся решать уравнения и задачи, приводимые к линейным.

Развитие познавательного интереса учащихся к решению уравнений, приводимых к линейным.

Развивать интерес учащихся к выбору профессии.

Воспитание средствами математики уважительного отношения к профессии врача и негативного отношения к табакокурению.

Воспитывать аккуратность, самостоятельность, внимательность, требовательность к себе.

Закрепить навыки решения уравнений, приводимых к линейным.

Контроль полученных знаний.

Создание условий для наилучшего усвоения материала по данной теме.

Создание условий для развития познавательного процесса.

таблица «Линейное уравнение с одной переменной»,

карточки «Домашнее задание» к уроку,

карточки для работы на уроке,

карточки для самостоятельной работы,

плакат-рисунок к домашней задаче,

газеты о вреде курения,

Учебно-методическое обеспечение учебник «Алгебра, 7 класс», под редакцией С.А. Теляковского.

Время реализации занятия 1 урок – 40 минут

Примерная структура дистанционного урока

Устанавливается связь с учеником посредством программы Skype . Затем объявляется тема урока и его ход.

Проверка домашнего задания, теоретического материала, устный счет.

Теоретический материал (учитель задает вопросы по изученному материалу):

Уравнение какого вида называется линейным уравнением с одной переменной?

Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Сколько корней может иметь линейное уравнение?

Когда линейное уравнение имеет один корень?

Затем проверяется домашнее задание с использованием слайда презентации.

Устно (учащийся решает уравнения, учитель комментирует):

Комментарий учителя: имеет один корень — число 5.

Комментарий учителя : уравнение имеет три корня: 1, 5 и 8. Каждое из этих значений x обращает произведение ( x — 1)( x — 5)( x — 8) в ноль, а при любых других значениях x ни один из множителей не равен нулю, а значит, не равно нулю их произведение.

Комментарий учителя: уравнение не имеет корней, так как значение его левой части меньше значения правой части на 4 при любом значении x .

Уравнение 3( x + 5) = 3 x + 15

Комментарий учителя: уравнение имеет бесконечно много корней, так как в силу распределительного свойства умножения значение его левой части равно значению правой части при любом значении x .

Решение задачи и уравнений.

Рассмотрим и решим задачу (выход в I – школу, урок № 5):

В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?

Пусть x — число мальчиков в классе, тогда 2 x — число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2 x — 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет ( x + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков, отсюда составим уравнение:

Чтобы найти неизвестное число мальчиков, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной. Нам надо найти число, при подстановке которого вместо x в уравнение (2 x — 3) — ( x + 3) = 4 получается верное равенство.

Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:

2 x — 3 — x — 3 = 4; (раскрыли скобки)

x — 6 = 4; (привели подобные слагаемые)

Число 10 называют корнем уравнения.

Итак, в классе 10 мальчиков, 20 девочек, всего в классе 30 учащихся.

Ответ: 30 человек.

Решим уравнение 4 + 16 x = 21 – (3 + 12 x ).

1) 4 + 16 x = 21 – 3 – 12 x – раскрыли скобки в правой части уравнения.

2) 16 x + 12 x = 21 – 3 – 4 – перенесли слагаемые с неизвестным в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

3) 28 x = 14 – привели подобные слагаемые.

4) x = 14 : 28 — разделили на 28 обе части уравнения.

5) x = 0,5 — корень уравнения.

Все пять уравнений, полученные при решении данного уравнения, являются равносильными ему и имеют решением один и тот же корень: 0,5.

а) Выполни задания по теме «Уравнение и его корни» .

Желаю успеха! (урок № 5 i -школы, Алгебра, 7 класс)

б) Выполни любой из вариантов из презентации.

Итак, мы прошли тему «Решение уравнений, приводимых к линейным», подведем итоги (продублировать часть теоретических вопросов из начала урока).

В заключении я хочу рассказать притчу :

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горящем солнцем тележку с камнями для строительства.

Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» Тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.

У второго спросил: «А что ты делал целый день?» Тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу».

А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. «А я принимал участие в строительстве храма». Оцени свою работу на уроке. (сигнальные карточки)

Если работал как первый человек, то подними синюю карточку.

Если работал как второй человек, то подними зелёную карточку.

А если работал как третий человек, то подними красную карточку.

Я желаю тебе всегда работать с радостью и удовольствием.

Учебник « Алгебра, 7 класс»,

Дидактический материал «Алгебра, 7 класс», авторы В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.

«Справочник школьника по математике».

Учебно-методическое пособие по математике, автор Н.Г. Миндюк.

Ф. Кривин «Притчи и сказки».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 574 703 материала в базе

Другие материалы

• 10.05.2018
• 601
• 7

• 10.05.2018
• 565
• 4

• 10.05.2018
• 1138
• 27

• 10.05.2018
• 291
• 0

• 10.05.2018
• 321
• 0

• 10.05.2018
• 1092
• 0

• 10.05.2018
• 947
• 19

• 10.05.2018
• 532
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.05.2018 612
• DOCX 373.5 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Белоцерковская Татьяна Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 34230
• Всего материалов: 24

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.