Уравнения прямой и плоскости реферат

Реферат «Плоскости в пространстве»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Маклинская средняя полная общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов

«Плоскости в пространстве»

Автор: ученик 11А класса

Соколова Татьяна Владимировна

1. Введение 3
2. Способы задания плоскости 4
3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве 7
4. Параллельность плоскостей 8

1. Признаки параллельности плоскостей 8
2. Свойства параллельных плоскостей 10

1. Двугранные углы и угол между двумя плоскостями 14

1. Двугранный угол и его измерение 14
2. Угол между двумя плоскостями 17

1. Перпендикулярность плоскостей 19

6.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей 19

6.2. Свойства перпендикулярных плоскостей 20

7. Заключение 24

8. Список используемой литературы 25

Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямы.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов. Понятия «точка», «прямая» и «плоскость» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах. С другой стороны, понятия «точка», «прямая», «плоскость» имеют наглядный смысл, отраженный на чертежах и рисунках.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.

Цель реферата – получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

— рассмотреть способы задания плоскостей в пространстве,

— рассмотреть основные аксиомы стереометрии;

— изучить возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве,

— сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;

— проиллюстрировать теоретический материал практическими примерами.

2. Способы задания плоскости

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом.

Рассмотрим аксиому R1 . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку М прямую, параллельную прямой а , и притом только одну.

В аксиоме R3 говорится: какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка А лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: А α и говорят, что плоскость α проходит через точку А . Если точка А не принадлежит плоскости α, то записывают : А α и говорят, что плоскость α не проходит через точку А.

Плоскость в пространстве однозначно определяется:

— тремя точками, не лежащими на прямой. Аксиома R2 (аксиома плоскости) гласит: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость, которая проходит через точки А, В и С , не принадлежащие одной прямой (С АВ) , обозначается символически (АВС) ; если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (АВС) или (АВС)= α. Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его ножек (три точки) принадлежат одной плоскости – плоскости пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну из его ножек что-нибудь стараются подложить.

— прямой и точкой, не лежащей на прямой.

По теореме 1 через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежащая ей точка А. Выберем на прямой а любые точки В и С . Через точки В и С проходит только одна прямая – прямая а . Так как точка А по условию теоремы не принадлежит прямой а , то точки А, В и С не принадлежат одной прямой. По аксиоме R2 через точки А,В,С проходит только одна плоскость – плоскость АВС , которую обозначим α . Прямая а имеет с ней две общие точки – точки В и С , следовательно по аксиоме R4 (аксиоме прямой и плоскости — Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости ) эта прямая лежит в плоскости α . Таким образом, плоскость α проходит через прямую а и точку А и является искомой.

Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую а и точку А а , не существует.

Предположим, что есть другая плоскость – α , проходящая через точку А и прямую а . Тогда плоскости α и α проходят через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, а значит совпадают. Следовательно, плоскость α единственная. Теорема доказана.

— двумя пересекающимися прямыми.

Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.

Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть данные прямые а и b пересекаются в точке С . Выберем на прямых а и b любые точки А и В , отличные от С : А а, В b. Тогда точки А, В и С не принадлежат одной прямой, и по аксиоме R2 через них можно провести только одну плоскость. Обозначим её α .

Точки А и С прямой а принадлежат плоскости α , значит, плоскость α проходит через прямую а ( аксиома R4: Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости) . Плоскость α проходит и через прямую b , так как точки В и С этой прямой принадлежат плоскости α .

Таким образом, плоскость α проходит через прямые а и b , следовательно является искомой.

Докажем единственность плоскости α . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые а и b , плоскость β .

Так как плоскость β проходит через прямую а и не принадлежащую ей точку В , то по теореме 1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.

— двумя параллельными прямыми.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство. Пусть а и b – данные параллельные прямые. Из определения параллельных прямых следует, что через прямые а и b можно провести плоскость. Обозначим её α и убедимся, что она единственна.

Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α , которая содержит каждую из прямых а и b . Обозначим эту плоскость β .

Выберем на прямой а точки В и С , на прямой b – точку А . В силу параллельности прямых а и b точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Каждая из плоскостей α и β содержит обе прямые а и b , значит, каждая из них проходит через точки А, В и С . Но по аксиоме R 2 через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают. Теорема доказана.

3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве возможен один из двух взаимно исключающих случаев.

1. Две плоскости имеют общую точку. Тогда по аксиоме пересечения двух плоскостей они имеют общую прямую. Аксиома R5 гласит: если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая. Из этой аксиомы следует, что у плоскостей Такие плоскости называются пересекающимися.

2. Две плоскости не имеют общей точки.

Реферат на тему «Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования и науки Челябинской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Троицкий технологический техникум

Тема: « Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве »

Студент 211 группы

Зоркина Галина Павловна

Тема « Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»

Цель : изучить прямую и плоскость в пространстве.

Рассмотреть плоскость в пространстве, её уравнение, а также рассмотреть прямая в пространстве.

1. Плоскость в пространстве

2. Плоскость и прямая в пространстве

3 Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

4Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

3 Прямая в пространстве

.4 Угол между прямой и плоскостью

6 СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ах + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот:

всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения .

D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат. .

C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz. .

B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0

. Прямая в пространстве может быть задана: а) как линия пересечения двух

плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; )

двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: =; ) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой. Вектор a

называется направляющим вектором прямой . Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t: = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой: = mz + a, y = nz + b От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Рассмотрим прямую L: и плоскость α: +By+Cz+D=0. Прямая L и плоскость α

: а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е. и Am + Bn + Ср = 0.

.2 Угол между прямой и плоскостью

Угол α между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Прямая в пространстве

Прямая линия в пространстве бесконечна, поэтому задавать ее удобнее отрезком. Из школьного курса Евклидовой геометрии известна аксиома, «через две точки в пространстве можно провести прямую и, притом, только одну». Следовательно, на эпюре прямая может быть задана двумя фронтальными и двумя горизонтальными проекциями точек. Но так как прямая — это прямая (а не кривая), то с полным основанием мы можем соединить эти точки отрезком прямой и получить фронтальную и горизонтальную проекции прямой (рис. 13) . Доказательство от обратного: в плоскостях проекций V и Н заданы две проекции а’ b’ и ab (рис.14). Проведем через них плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций V и Н (рис.14), линией пересечения плоскостей будет прямая АВ.

Различные случаи положения прямой в пространстве

В рассмотренных нами случаях прямые не были ни параллельными, ни перпендикулярными к плоскостям проекций V, Н, W. Большинство прямых занимает именно такое положение в пространстве и их называют прямыми общего положения. Они могут быть восходящими или нисходящими (разобраться самостоятельно).

На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями. Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами — прямые, параллельные какой-либо плоскости проекци. На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями. Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами — прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций. профильной (у) плоскостям проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Прямая общего положения, как мы уже говорили, наклонена к плоскостям проекций под некоторым произвольным углом.

Угол между прямой и плоскостью определяется углом, составленным прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 22). Угол a определяет угол наклона отрезка АВ к пл. Н. Из рис. 22: Ab1 |1пл. Н; Вb1 = ВЬ — Аа = Z Рис. 22

Взаимное положение прямых

Проекции пересекающихся прямых на эпюре имеют ярко выраженный признак: проекции точки пересечения лежат на одной линии связи (рис. 25). Действительно: точка К принадлежит и АВ, и CD; на эпюре точка k’ лежит на одной линии связи с точкой k. Прямые АВ и CD — пересекаются

Следующее из возможных взаимных расположении двух прямых в пространстве — прямые скрещиваются. Это возможно в случае, когда прямые не параллельны, но и не пересекаются. Такие прямые всегда можно заключить в две параллельные плоскости (рис. 26). Это отнюдь не означает, что две скрещивающиеся прямые обязательно лежат в двух параллельных плоскостях; а лишь то, что через них можно провести две параллельные плоскости.

Общие уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: ×+ D = 0, где — нормаль плоскости; — радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D1 = 0 и ×+ D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).

1 Общие уравнения прямой в пространстве Ах + By + Cz +D = 0

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей

2 Каждая плоскость задается в системе прямоугольных координат , , уравнением вида Ах + By + Cz +D = 0
3 Уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна ненулевому вектору , имеет вид.
4Уравнение является уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной ненулевому вектору .
5 Плоскость в пространстве задается уравнением , где , , , — действительные числа, причем , , одновременно не равны 0 и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали.

1. Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.

2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — Главная редакция физико-математической литературы,. .

3Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебрыИльин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. — 7-е изд., стер

. 4 Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот.. . Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия

Уравнения прямых и плоскостей

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref и \eqref определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Рис. 6.1

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда \(M\) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки \(M\) найдется такое число \(t\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t\boldsymbol.\label
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref в качестве \(t\), вектор \(\boldsymbol\) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение \eqref называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина \(t\), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol_<0>\) — радиус-вектор ее начальной точки \(M_<0>\). Пусть точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol\) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец \(M\) также лежит на плоскости. Так как \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка \(M\) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа \(t_<1>\) и \(t_<2>\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t_<1>\boldsymbol

+t_<2>\boldsymbol.\label
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref определит некоторую точку плоскости.

Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Прямая линия на плоскости.

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref.

Уравнение \eqref линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид \(a_<2>x-a_<1>y+(a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>) = 0\), то есть \(Ax+By+C = 0\), где \(A = a_<2>\), \(B = -a_<1>\) и \(C = a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>\).

Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref в общей декартовой системе координат, а точку \eqref за начальную точку.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol(A, B)\) перпендикулярен прямой с уравнением \eqref.

Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol) = -BA+AB = 0\).

Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol_<1>\) к \(\boldsymbol_<2>\) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. \(k=\operatorname\varphi = -1\). Прямая \(y=-x+1/2\)

Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref, получаем \(y = b\). Это означает, что свободный член уравнения \(b\) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref, то обязательно \(A \neq 0\). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид \(x = x_<0>\), где \(x_ <0>= -C/A\) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol

, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol = [\boldsymbol

, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref в виде
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0.\label
$$

Уравнения \eqref и \eqref называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в \eqref \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\), получим
$$
(\boldsymbol, \boldsymbol)+D = 0.\label
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref и \eqref,
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0\ \mbox<или>\ (\boldsymbol, \boldsymbol)+C = 0.\nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) перпендикулярен ненулевому вектору \(\boldsymbol\), перпендикулярному направляющему вектору \(\boldsymbol\), и потому коллинеарен \(\boldsymbol\).

Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol\) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) при \(\boldsymbol \neq 0\) записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\), где \((A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0)\).

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol_<0>\) и \(\boldsymbol \neq 0\), что в заданной общей декартовой системе координат \(Ax+By+Cz+D = (\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol\) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(x\boldsymbol_<1>+y\boldsymbol_<2>+z\boldsymbol_<3>-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) и
$$
A = (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol),\ B = (\boldsymbol_<2>, \boldsymbol),\ C = (\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)\label
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol\) не может быть ортогонален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol\) из равенств \eqref, считая \(A\), \(B\) и \(C\) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
\boldsymbol = \frac_<2>, \boldsymbol_<3>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<3>, \boldsymbol_<1>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<1>, \boldsymbol_<2>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>.\label
$$

Вектор \(\boldsymbol_<0>\) должен удовлетворять условию \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\). Один из таких векторов можно найти в виде \(\boldsymbol_ <0>= \lambda \boldsymbol\). Подставляя, видим, что \(-\lambda(\boldsymbol, \boldsymbol) = D\), откуда \(\boldsymbol_ <0>= -D\boldsymbol/|\boldsymbol|^<2>\).

Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<0>\) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol)+y(\boldsymbol_<2>, \boldsymbol)+z(\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)-(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).

Это сразу вытекает из формул \eqref и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.

Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref, можно принять за направляющие векторы плоскости.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах \eqref и \eqref \(\lambda \neq 0\), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<1>\) коллинеарны, и существует такое число \(\lambda\), что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). В силу уравнений \eqref \(A_ <1>= (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<1>) = \lambda(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol) = \lambda A\). Аналогично доказываются и остальные равенства \eqref. Обратно, если равенства \eqref выполнены, то из формулы \eqref следует, что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.

Условия \eqref выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами \((A, B)\) и \((A_<1>, B_<1>)\). Точно так же условия \eqref означают коллинеарность векторов с компонентами \((A, B, C)\) и \((A_<1>, B_<1>, C_<1>)\). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end =
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end =
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

При условии \eqref система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end\right.\label
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end^ <2>+
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end^ <2>+
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end^<2>
\neq 0.\label
$$

Разумеется, систему \eqref можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = \frac><\alpha_<1>>,\ t = \frac><\alpha_<2>>,\ t = \frac><\alpha_<3>>,\nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\ \frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Уравнения \eqref представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная \(x\)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref. По условию \eqref один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что \(AB_<1>-A_<1>B \neq 0\). В силу утверждения 9 при любом фиксированном \(z\) система уравнений будет иметь единственное решение \((x, y)\), в котором \(x\) и \(y\), разумеется, зависят от \(z\). Они — линейные многочлены от \(z\): \(x = \alpha_<1>z+\beta_<1>\), \(y = \alpha_<2>z+\beta_<2>\).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref при значении \(z = 0\).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end,\
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end,\
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end.\label
$$

Вектор с компонентами \eqref есть направляющий вектор прямой с уравнениями \eqref, какова бы ни была декартова система координат.

Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref ненулевой в силу неравенства \eqref. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.