4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости
Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.
Прямая, проходящая через начало координат
Построение графика по заданной функции
Пусть переменная \(y\) пропорциональна переменной \(x\) с коэффициентом пропорциональности \(k\) :
Давайте договоримся, что \(x\) здесь — это независимая переменная, а \(y\) — зависимая. Коэффициент \(k\) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что \(y\) является (однородной) линейной функцией от \(x\) . Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат \((0, 0)\) . Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку \((x_1, y_1)\) . Для этого положим, например, \(x_1 = 1\) . Тогда \(y_1 = k \cdot 1 = k\) . Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции \(y\) от \(x\) . Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку \((x_1, y_1)\) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции \(y=\frac<1> <2>x\) .
Восстановление функции по графику
Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями \(x\) и \(y\) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные \(x\) и \(y\) . Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку \((0,0)\) .
Заранее ясно, что это уравнение имеет вид
От нас фактически только требуется найти значение константы \(k\) . Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от \((0,0)\) , и определим ее координаты \((x_1, y_1).\) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением
При этом следует особо подчеркнуть, что константа \(k\) не зависит от выбора точки \((x_1, y_1).\) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве \((x_1, y_1),\) мы придем к одному и тому же значению \(k\) . Таким образом,
Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.
Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью \(x\) . Тогда значение \(y\) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что \(k = 0\) и переменную \(y\) можно всё еще формально считать функцией от \(x\) :
Во-вторых, прямая может совпасть с осью \(y\) . В этом случае в каждой ее точке \(x = 0\) . Формула для константы \(k\) оказывается неприменимой, потому что число \(x_0\) , стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию \(y\) от \(x\) , которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять \(y\) за независимую переменную и формально рассматривать \(x\) как функцию от \(y<:>\)
Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси \(y\) , удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так:
Это соотношение между \(x\) и \(y\) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел \((x_1, y_1)\) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.
Произвольная прямая
Восстановление функции по графику
Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?
Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Поместим в точку \((x_0, y_0)\) начало новой системы координат с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями \(x\) и \(y\) старой системы.
Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны
\(\begin
Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением
Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:
Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем
Что и решает поставленную задачу.
При желании, можно еще выразить функцию \(y\) от \(x\) в явном виде:
\(y = k\,x — k\,x_0 + y_0\)
\(y = k\,x + b,\) где \(b = — k\,x_0 + y_0.\)
Значения констант \(k\) и \(b\) не зависят от выбора точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям \(k\) и \(b\) . Заметим, что из-за дополнительного слагаемого \(b\) переменные \(x\) и \(y\) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа \(k\) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение \(k\) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси \(x\) . Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент.
Константу \(b\) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная \(y\) равна \(b\) при \(x = 0\) . Иными словами, \(b\) — это точка на оси \(y\) , в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если \(b = 0\) , то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее.
Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида
при подходящем выборе констант \(k\) и \(b\) . Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента \(k = \frac
\(x = 0 \cdot (y — y_0) + x_0.\)
В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:
\((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).\)
При этом, однако, выбор двух пар параметров \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.
Построение графика по заданной функции
Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции \(y\) от \(x\) , которая определяется как
где \(k\) и \(b\) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси \(y\) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров \(k\) и \(b\) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:
Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке \((0, b)\) и с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид:
Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции
представляет собой прямую линию при любых значениях параметров \(k\) и \(b\) . Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) . В качестве \(x_0\) и \(x_1\) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда
\(y_0 = b\) (при \(x_0 = 0\) ),
\(y_1 = k+b\,\) (при \(x_1 = 1\) ).
Проводим прямую через точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров \(k = \frac<1><3>\) и \(b = 1\) представлен на следующем рисунке.
Конспект
\(1\) . Линейная функция \(y = k\,x + b\) называется однородной при \(b = 0\) и неоднородной при \(b \ne 0.\) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам.
\(2\) . Уравнение прямой, проходящей через начало координат: \(y = \frac
\(3\) . Уравнение произвольной прямой: \(y-y_0 = \frac
Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
x | + | y | = 1 |
a | b |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
x — x 1 | = | y — y 1 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 y = m t + y 0
где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a =
x — x 0 | = | y — y 0 |
l | m |
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1 y = -4 t + 7
Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
x — x 1 | = | y — y 1 | = | z — z 1 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 | |
y = m t + y 0 | |
z = n t + z 0 |
где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой,
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n =
x — x 0 | = | y — y 0 | = | z — z 0 |
l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .
Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
- Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .
Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.
Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
- Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .
Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:
n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0
Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .
Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .
Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .
Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.
Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.
Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.
Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.
Неполное уравнение общей прямой
Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.
Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
- Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
- Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
- Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
- Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
- Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.
Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.
Решение
Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:
Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0
Ответ: 7 x — 2 = 0
На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.
Решение
Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .
Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .
Ответ: y — 3 = 0 .
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .
Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.
Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0
Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0
Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .
Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .
Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.
Решение
Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:
2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0
Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2
Ответ: — 5 2
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.
Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .
Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .
Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .
В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .
Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .
Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.
Решение
Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .
Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.
Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .
Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:
2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .
Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.
Решение
Произведем нужные действия по алгоритму:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x
Ответ: y = — 2 7 x .
Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.
Решение
Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.
Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.
Решение
Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:
x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0
Перейдем от канонического к общему:
x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0
Ответ: y — 4 = 0
Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.
Решение:
Просто перепишем уравнение в необходимом виде:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0
Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .
Составление общего уравнения прямой
Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.
Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.
Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0
Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .
Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.
Решение
Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .
Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/obschee-uravnenie-prjamoj/