Уравнения прямой в пространстве r2

Глава VIII

1. Прямые и плоскости в пространстве R n

Изучим пространство R n с другой точки зрения. Будем рассматривать его элементы не как векторы, а как точки, то есть А(х₁, х₂, . х_n), где х_i — координаты точки А ( i = 1, 2, . n). О(0. 0) — назовем началом координат.

Элементы R, R 2 , R 3 можно интерпретировать как координаты точек соответственно на прямой, на плоскости, в пространстве; поэтому R принято называть числовой прямой, R 2 — числовой плоскостью, R 3 — числовым пространством.

Как мы уже знаем, при n>3 непосредственное обращение к геометрии невозможно, но многие факты, относящиеся к R n , носят общий характер, не зависящий от n. Так свойства решений линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Тогда можно сказать, что в этом смысле пространство R n обладает геометрическими свойствами, подобными свойствам пространств R, R 2 , R 3 . Множества точек в R 4 (“фигуры”) будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Определение 1. Область решений совместной системы линейных уравнений с n переменными ранга r назовем k-мерной плоскостью в R n , где k = n — r (k — число свободных, а r — базисных переменных.)

Отметим два случая:

1. r = n, k = 0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в R n , то есть точку можно считать нуль-мерной плоскостью.

2. r = 0, k = n. Все уравнения являются тождествами (0 = 0), все переменные свободные, область решений системы совпадает со всем пространством R n , то есть само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если этих два крайних случая исключить из рассмотрения, то очевидно, что k может меняться в пределах 1 £ k £ n — 1.

Определение 2. Плоскость наибольшей возможной в R n размерности, но не совпадающей со всем пространством, то есть (n-1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, то есть одномерную плоскость, называют прямой.

R — само одномерно и в нем не может быть плоскостей меньшей размерности.

R 2 — (числовая плоскость) — в нем гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость.

R 3 — (числовое пространство) — здесь гиперплоскостью является двухмерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость; других плоскостей нет.

З а м е ч а н и е. При n > 3 кроме гиперплоскостей и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей (n-2)-мерные, . трехмерные, двухмерные.

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

в котором не все коэффициенты равны нулю, то есть

. (1.2)

Условие (1.2) равносильно тому, что ранг системы, состоящей из одного уравнения (1.1), равен 1.

Пусть теперь система состоит из двух уравнений

. (1.3)

Если ее матрица А имеет ранг 1, то

В этом случае гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), называются параллельными и, если

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 2), то система несовместна:

гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), не имеют общих точек (не пересекаются); если же

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 1), то система сводится к одному уравнению, две гиперплоскости совпадают.

И наконец, если ранг матрицы А равен 2, то система определяет (n-2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r = n-1. Если известны две точки А(а₁,а₂. а_n), B(b₁,b₂. b_n) прямой, то эту систему можно записать в виде

, (1.4)

где X(x₁, x₂, . x_n) — текущая переменная точка прямой.

Систему уравнений (1.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки А и В.

1.1. Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую l в R 2 , заданную уравнением

А × х + В × у + С = 0

и точку М(х₁,у₁) вне данной прямой.

Обозначим через d расстояние MN (MN перпендикуляр к l). Уравнение перпендикуляра можно записать в виде В × (х — х₁) — А × (у — у₁) = 0.

или

= t, (1.5)

то есть t — коэффициент пропорциональности. Поэтому из (1.5) следует, что

. ×

C другой стороны, точка N(x₂,y₂) принадлежит l, следовательно, из (1.5) получаем

Подставим эти значения в уравнение прямой А × х + В × у + С = 0. Получим

А × х₂ + В × у₂ + С = А × (х₁ + А × t) + В × ( y₁ + В × t) + С = (А × х₁ + В × у₁ + C) + t × (А 2 + В 2 ) = 0

.

.

З а м е ч а н и е. (следствие).

(1.6)

является расстоянием от прямой до начала координат.

2. Разделив обе части общего уравнения прямой на , получим уравнение

, (1.7)

свободный член которого численно равен расстоянию прямой от начала координат. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

1.2. Нормированное уравнение прямой

Пусть дана прямая l. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную l. Пусть Р — точка пересечения прямых. Возьмем единичный вектор .

Выразим уравнение l через два параметра:

и угол q

Пусть М(х,у) принадлежит l. Тогда проекция на ось, определяемую вектором , равна р, то есть при условии пр_n , так как единичный вектор, то согласно определению скалярного произведения пр_n ,= . Так как , а вектор , то скалярное произведение имеет вид

.

Следовательно, точка М принадлежит прямой l означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению

. (1.8)

Это и есть нормированное уравнение прямой l.

Пусть теперь имеем общее уравнение прямой l:

l: А × х + В × у + С = 0

l:

t × A = Cos q , t × B = Sin q , t × C = -p.

t 2 × A 2 + t 2 × В 2 = Cos 2 q + Sin 2 q = 1

t 2 × (A 2 + В 2 ) = 1 (1.9)

-нормирующий множитель.

Следовательно, чтобы получить из общего уравнения прямой

А × х + В × у + С = 0

нормированное уравнение (1.8) следует умножить его на нормирующий множитель (1.9), знак которого противоположен С.

2. Общее уравнение плоскости в R 3

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат O_xyz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени

А × х + В × у + С × z + D = 0, (2.1)

где A, B, C, D — произвольные константы, хотя бы одна из которых не равна 0.

Уравнение (2.1) заведомо имеет хотя бы одно решение (x₀, y₀, z₀).

Действительно, пусть С ¹ 0, следовательно, взяв произвольные (x₀, y₀), мы получим ,

которое эквивалентно (2.1).

Рассмотрим разность между (2.1) и (2.2).

которое эквивалентно (2.1).

Докажем, что уравнение (2.2) и, стало быть, уравнение (2.1), определяет плоскость (П) в O_xyz.

,

то есть хотя бы одна координата его не равна 0.

Возьмем произвольную точку М₀(x, y, z), принадлежащую плоскости П, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (2.3), ибо в этом случае вектор перпендикулярен вектору ( ) и их скалярное произведение

Если точка М(x,y,z) не принадлежит плоскости П, то ее координаты не удовлетворяют (2.3), ибо в этом случае вектор не перпендикулярен вектору и (2.3) не равно нулю.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если в R 3 фиксирована произвольная декартова система координат O_xyz (прямоугольная), то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z определяет относительно этой системы плоскость.

З а м е ч а н и я.

1. Уравнение (2.1) с произвольными коэффициентами А, В, С (хотя бы один из которых не должен быть равен нулю) называется общим уравнением плоскости в R 3 .

2. Если два общих уравнения

А × х + В × у + С × z + D = 0

определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует число t, такое, что справедливы равенства

Рассмотреть(самостоятельно) неполные уравнения плоскости, когда

1) А = 0; 2) В = 0; 3) C = 0; 4) D = 0;

5) A = В = 0; 6) A = C = 0; 7) B = C = 0;

8) A = В = C = 0; 9) A = C = D = 0; 10) В = C = D = 0;

2.1. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости П₁ и П₂, которые заданы уравнениями

Чтобы определить угол между плоскостями, достаточно определить угол j между их нормальными векторами и .

По определению скалярного произведения

. (2.5)

Условие параллельности двух плоскостей заключается в пропорциональности координат векторов и :

. (2.6)

Условие “плоскость П₁ перпендикулярна к плоскости П₂” определяет, что Cos j = 0

2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой

Пусть даны три точки М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂) и М₃(x₃,y₃,z₃). Необходимо вывести уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, то векторы и неколлинеарны, и поэтому точка М(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками М₁, М₂ и М₃ в том случае, если векторы , и компланарны.

Теорема 2.2. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие

(2.8)

Из условия (2.8) получим уравнение первой степени относительно x,y,z. Оно и является уравнением искомой плоскости.

2.3. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости

Пусть дана плоскость П. Проведем через начало координат прямую n перпендикуляр к плоскости П, и пусть Р — точка пересечения прямой n и плоскости П.

Рассмотрим вектор и — единичный вектор. . Пусть углы a , b , g образованы с положительными направлениями осей и вектором . Тогда . Очевидно, что точка М(x,y,z) принадлежит плоскости П тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором , равна р.

пр_n = р = .

Так как , то скалярное произведение равно р

(2.9)

Определение 2.1. Назовем отклонением d точки М от плоскости П число +d в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по разные стороны от плоскости П, и число -d — в случае, когда точка М и начало координат точка О лежат по одну сторону от плоскости П, (куда направлен вектор — “+d” и “-d” — в противоположном расположении точки М, если точка О лежит на плоскости).

Для нахождения отклонения d точки М₀(x₀,y₀,z₀) от плоскости П следует в левую часть нормированного уравнения плоскости П поставить на место х,у,z координаты x₀,y₀,z₀ точки М.

А × х + В × у + С × z + D = 0

определяют одну ту же плоскость, то существует t такое, что

t × A = Cos a , t × B = Sin b , t × C = Sin g , t × D = -p.

Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, то

t 2 × (A 2 + B 2 + C 2 )=1,

, (2.10)

где знак t противоположен знаку коэффициента D.

Для приведения общего уравнения плоскости

А × х + В × у + С × z + D = 0

к нормированному виду (2.9) следует умножить его на нормирующий множитель (2.10), знак которого противоположен знаку коэффициента D.

3. Прямая линия R 3

Прямую в пространстве R 3 можно задать как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями

(3.1)

Приведем (3.1) к каноническому виду.

Для этого достаточно найти:

1) хотя бы одну точку М₁(x₁,y₁,z₁), через которую проходит прямая

Так как плоскости, определяемые (3.1), не параллельны и не сливаются, то нарушается (2.6), то есть хотя бы одна из пропорций

,

а это значит, что хотя бы один из определителей второго порядка

, ,

отличен от нуля.

.

Тогда, взяв вместо z произвольное число z₁ и подставив его в уравнение (3.1), можно определить соответственно x₁ и y₁

(3.2)

Можно взять z₁=0. Тогда, воспользовавшись (3.2), получим, что прямая проходит через точку .

Пусть текущая точка М(x,y,z). Тогда уравнение линии можно записать в виде

. (3.3)

. (3.4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(x₁,y₁,z₁) и перпендикулярной плоскости А × х + В × у + С × z + D = 0, имеет вид

. (3.5)

Уравнение прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку М₀(x₀,y₀,z₀).

Пусть плоскость П задана уравнением

Тогда уравнение прямой имеет вид

4. Выпуклые множества точек на плоскости. Неравенства

4.1. Неравенства

Пусть задана линия

то есть это множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Аналогично можно рассмотреть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

(х — a) 2 + (у — b) 2 — r 2 = 0

Это уравнение определяет окружность с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.4);

(х — a) 2 + (х — b) 2 — r 2 0

определяет множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.5);

(х — a) 2 + (х — b) 2 — r 2 > 0

определяет множество точек, лежащих вне этого круга с центром в точке С(a,b) радиуса r (Рис. 8.6);

Множество точек, удовлетворяющих (4.1), называют областью решений этого уравнения.

Аналогично будем говорить об области решений неравенств (4.2) и (4.3).

Пусть теперь F(x, y) — линейное уравнение, то есть имеет вид

F(x, y) = A × x + B × y + C, (4.4)

где A, B, C — константы .

Любое невырожденное уравнение A × x + B × y + C = 0 определяет линию L в R 2 , рассмотрим

A × x + B × y + C 0 (4.5)

A × x + B × y + C > 0, (4.6)

По отношению к прямой линии все точки разбились на два множества Ф₁ и Ф₂, лежащие по разные стороны от прямой L (Рис 8.7).

Покажем, что эти множества определяются неравенствами (4.5) и (4.6).

Так как эти точки не лежат на прямой, то имеем

Действительно, так как точки М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂) лежат по разные стороны от прямой (4.4), то существует точка М₀(х₀,у₀) такая, что она делит отрезок М₁М₂ в отношении , а сама точка М₀(х₀,у₀) принадлежит прямой L, то есть

, . (4.7)

Так как точка М₀(х₀,у₀) принадлежит прямой L, то имеем

Подставим (4.7) в (4.4):

.

то есть d ₁+ l × d ₂ = 0, откуда d ₁ = -l × d ₂ , но l > 0, следовательно, d ₁ и d ₂ имеют разные знаки.

Пусть, например, d ₁ 0, d ₂ > 0, тогда точка М₁(х₁,у₁) удовлетворяет неравенству (4.5), а точка М₂(х₂,у₂) — неравенству (4.6).

Множество точек, лежащих на некоторой прямой и по одну сторону от нее, называют полуплоскостью.

Очевидно, что каждая прямая L разбивает плоскость П на две полуплоскости, для которых она является общей границей. Считается, что граница принадлежит сразу двум полуплоскостям.

Если (4.4) — это граница, то нестрогие неравенства

A × x + B × y + C £ 0

A × x + B × y + C ³ 0

Пусть задана система неравенств

(4.8)

Геометрически система (4.8) может быть истолкована как область решений этой системы, то есть это множество точек , которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам этой системы, то есть . Очевидно, что область решений системы неравенств является пересечением областей решений каждого из неравенств системы.

З а м е ч а н и е. В частности может иметь место .

Областью решений системы линейных неравенств

(4.9)

является очевидно пересечение полуплоскостей, определяемых каждым из неравенств.

Эту область будем называть многоугольником.

Не исключены также случаи вырождения многоугольной области в прямую или луч, а многоугольника — в отрезок или точку.

4.2. Выпуклые множества точек на плоскости

Определение 4.1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с двумя его точками М₁ и М₂ ему принадлежат и все внутренние точки отрезка М₁М₂.

Выпуклые множества: полуплоскость, круг, отрезок и так далее.

Многоугольники могут быть как выпуклые, так и невыпуклые. Геометрически это можно всегда увидеть, но этот факт также может быть

установлен и аналитически.

Теорема 4.1. Пусть дана полуплоскость

Ф₁: A × x + B × y + C 0

Если А × х₀ + В × у₀ + С 0, то тогда полуплоскость будет выпуклой.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Координаты точки М₁ можно выразить через координаты точек М₁ и М₂:

, ,

Подставим эти выражения в неравенство полуплоскости

.

l > 0, и по условию

а по определению 8.4 такое множество называется выпуклым.

З а м е ч а н и е. Определение выпуклого множества сформулировано в предположении, что в этом множестве имеются по крайней мере две точки. Если множество пустое (в этом случае его обозначают как Æ ) или состоит из одной точки, то его тоже считают выпуклым.

Для выпуклых множеств имеет место следующая теорема:

Теорема 4.2. Пересечение любого числа выпуклых множеств — выпуклое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть j ₁, j ₂, . j _n — выпуклые множества и их пересечение , тогда оно выпукло. Из того, что точка М₀(х₀,у₀) принадлежит множеству j _i (i = 1. n) следует, что М₀(х₀,у₀) принадлежит .

Пусть имеем две произвольные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), принадлежащие пересечению множеств j _i, тогда, так как все множества j _i выпуклы, то им принадлежит и отрезок М₁М₂, а следовательно, , но тогда и пересечение есть множество выпуклое.

Следствие. Область решений системы линейных неравенств (), если она не представляет собой Æ , является выпуклой многоугольной областью или выпуклым многоугольником.

5. Выпуклые множества в пространстве. Неравенства

По аналогии с пространством R 2 можно рассмотреть геометрию и неравенства в пространстве R 3 .

определяют множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам.

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 2

определяет внутреннюю область шара, ограниченную сферой

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 = r 2

с центром в точке С(а,b,c) и радиусом r, а неравенство

(х — a) 2 + (х — b) 2 + (z — c) 2 > r 2

определяет множество точек, находящихся вне этого шара.

Множество точек, лежащих в некоторой плоскости и по одну сторону от нее, называют полупространством.

5.1. Нестрогие линейные неравенства

D + A × x + B × y + C × z и

D + A × x + B × y + C × z > 0

определяют два полупространства, общей границей которых будет плоскость

D + A × x + B × y + C × z = 0.

Доказательство этого факта проводится так же, как и в случае двух переменных.

Пусть дана система линейных неравенств с тремя неизвестными

. (5.3)

Областью решений системы (5.3) является пересечение полупространств, то есть такое множество точек, если оно не пусто, которое является решением каждого из неравенств системы. Это пересечение полупространств называют многогранной областью или (в случае ограниченности) многогранником.

З а м е ч а н и е.

1. Понятие выпуклого множества точек и теорема о выпуклости пересечения выпуклых множеств точек сохраняет силу и для пространства.

(Провести доказательство самостоятельно).

2. Так как полупространство выпукло, то область решений системы линейных неравенств (5.3), если она не пуста, является выпуклой многогранной областью (или выпуклым многогранником), если она ограничена.

Не исключены случаи вырождения.

Назад Далее

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений