Уравнения прямых через точку под углом

Уравнения прямых через точку под углом

Найти уравнения прямых, проходящих через точку A(3, 4) под углом в 60 градусов к прямой 2x + 3y + 6 = 0.

Для решения задачи нам следует определить угловые коэффициенты прямых I и II (см. рисунок). Обозначим эти коэффициенты соответственно через k₁ и k₂, а угловой коэффициент данной прямой — через k. Очевидно, что .

На основании определения угла между двумя прямыми при определении угла между данной прямой и прямой I следует в числителе дроби в формуле

вычесть угловой коэффициент данной прямой, так как ее нужно повернуть против часовой стрелки вокруг точки C до совпадения с прямой I.

Учитывая, что , получаем

Определяя же угол между прямой II и данной прямой, следует в числителе той же дроби вычесть угловой коэффициент прямой II, т. е. k₂, так как прямую II следует повернуть против часовой стрелки вокруг точки B до совпадения ее с данной прямой:

Аспирантский реферат

Пример. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 градусов .

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми
y= k 1 x+b 1 и y= kx+b определяется формулой tg j = . Так как угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен — 2/3, а угол j = 45 o , то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 — 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 — 2/3k) = -1. Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции

Имеем два значения k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые, уравнения которых: x — 5y + 2 = 0 и
5x + y — 16 = 0.

Пример . При каком значении параметра t прямые, уравнения которых 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t : t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Пример . Найти уравнение общей хорды двух окружностей: Пример. Вычислить интеграл
x 2 +y 2 =10 и x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

.

Решая первое уравнение, находим значения x 1 = 3, x 2 = 1. Из второго уравнения — соответствующие значения y : y 1 = 1, y 2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x — 4 = 0.

Задача 31376 Составить уравнения прямых, проходящих.

Условие

Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1=0 под углом 45 градусов Вычислить площадь треугольника, ограниченного данной и полученными прямыми

Все решения

y=(-2/3)x+(1/3)
k=-2/3
tg α =-2/3
α — угол, который образует данная прямая с осью Ох

Уравнение прямых, наклоненных к данной запишем в виде:
y=k_(1)x+b

tg β =k_(1)
α — угол, который образует прямая с осью Ох

Так как
tg( β – α )=(tg β –tg α )/(1+tg β ·tg α )
и

Чтобы найти b подставим координаты точки А(3;1)
1=(3/5)+b
b=2/5

[b]y=(1/5)x+(2/5)[/b] — уравнение первой прямой.

Угол между прямыми 45^(o), а смежный угол — 135^(o)

Поэтому уравнение второй прямой получим из условия
β – α =135^(o)

Так как
tg( β – α )=(tg β –tg α )/(1+tg β ·tg α )
и

Чтобы найти b подставим координаты точки А(3;1)
1= — 5*3 + b
b=16

[b]y= — 5x + 16 [/b] — уравнение второй прямой.

Найдем координаты точек пересечения прямых
< 2x+3y–1=0

2x+(3/5)x+(6/5)-1=0 ⇒ x=-1/13; y=5/13 [b] B(-1/13;5/13)[/b]

2x+3*(-5x+16)-1=0 ⇒ x=47/13; y=-37/13 [b] C(47/13;-27/13)[/b]

S_( Δ ABC)=(1/2)BA*BC*sin 45^(o)

S_( Δ ABC)=(1/2)*(8*sqrt(26)/13)*(16sqrt(13)/13)**sqrt(2)/2)=64/13