Уравнения работа с информацией геометрия текстовые задачи лаборатория

Анализ применения виртуальной математической лаборатории на уроках геометрии Текст научной статьи по специальности « Компьютерные и информационные науки»

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Яковенко И.В., Вашурин А.В.

Данная статья посвящена вопросу применения виртуальной математической лаборатории на уроках геометрии в средней школе как одного из средств информационнокоммуникационных технологий. Представлены особенности использования подобных сред для обучения математике. Этапы работы в лаборатории проиллюстрированы заданиями по изучению некоторых геометрических фигур.

ANALYSIS OF THE USE OF A VIRTUAL MATHEMATICAL LABORATORY FOR GEOMETRY LESSONS

This article focuses on the application of a virtual math lab for geometry lessons in high school as a means of information and communication technologies. Features of using such environments for learning mathematics. The stages of work in the laboratory is illustrated by the tasks on the study of some geometric shapes.

Текст научной работы на тему «Анализ применения виртуальной математической лаборатории на уроках геометрии»

2. Ляхова, Н.Е. Использование ограниченности функций в школьном курсе математики / Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2015. № 1. — С. 3-10.

3. Ляхова, Н.Е., Яковенко, И.В. Методы решения уравнений и неравенств в задачах с параметрами: учеб. пособие/Н.Е.Ляхова, И.В. Яковенко; отв.ред. проф. А.А. Илюхин. -Таганрог: Изд-во Таганрог. ин-та имени А.П.Чехова, 2014. — 92 с.

4. Мордкович, А.Г., Семенов, П.В. Алгебра и начала анализа (профильный уровень). М.: Мнемозина, 2007 г. — 400 с.

5. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни / Под ред. Никольского С.М. и др. 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

6. Алимов, А.Ш., Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. (базовый уровень). и др. 18-е изд. — М.: Просвещение, 2012. — 464 с.

7. Виленкин, Н.Я., Ивашев-Мусатов, О.С., Шварцбурд, С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Издание: 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998 г. — 288 с.

8. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 17-е изд. — М.: Просвещение, 2008 г. — 378 с.

9. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1986 г. — 120 с.

10. ФИПИ «Математика. Подготовка к ЕГЭ», 2016 г.

11. Мордкович, А.Г., Денищева, Л.О., Корешкова, Т.А., Мишустина, Т.Н., Тульчинская, Е.Е. Алгебра и начала анализа. 10 — 11 кл.: Задачник для общеобразоват.учреждений. 3-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2007.- 400 с.

12. Александрова, Л.А. Алгебра и начала анализа. 11 класс. Самостоятельные работы: Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. — 2-е изд. — М.: Мнемозина, 2006. — 96 с.

13. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов/ Под ред. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир — М.: Илекса, 2007, — 320 с.

14. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. — Ростов Н/Д: Феникс, 2005.

15. Дорофеев, Г. В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. 2003. — № 6. — С. 34-39

16. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов пед. вузов и ун-тов.: Просвещение, 2002.

И.В. Яковенко, А.В. Вашурин

АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ВИРТУАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ

НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Аннотация. Данная статья посвящена вопросу применения виртуальной математической лаборатории на уроках геометрии в средней школе как одного из средств информационно-коммуникационных технологий. Представлены особенности использования подобных сред для обучения математике. Этапы работы в лаборатории проиллюстрированы заданиями по изучению некоторых геометрических фигур.

Ключевые слова: виртуальная математическая лаборатория, геометрия, методика преподавания математики.

I.V. Yakovenko, A.V. Vashurin

ANALYSIS OF THE USE OF A VIRTUAL MATHEMATICAL LABORATORY

FOR GEOMETRY LESSONS

Abstract. This article focuses on the application of a virtual math lab for geometry lessons in high school as a means of information and communication technologies. Features of using such environments for learning mathematics. The stages of work in the laboratory is illustrated by the tasks on the study of some geometric shapes.

Key words: virtual mathematical laboratory, geometry, methods of teaching mathematics.

Целью применения виртуальных лабораторий в учебном процессе главным образом является развитие качеств личности: логическое мышление, пространственное воображение, точность мысли, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

В процессе развития ученик находится в постоянном изучении нового. Стоит сказать, что в некоторых случаях он получает готовую информацию, а в некоторых перед ним ставят проблемную ситуацию, разрешить которую необходимо путем проведения исследования.

Исследование в предельно широком смысле — это поиск новых знаний или систематическое расследование с целью установления фактов. Его можно проводить различными способами и методами, в зависимости от ожидаемого результата.

В процессе обучения для исследовательской работы эффективно использовать различные электронные ресурсы. Одним из видов таких ресурсов являются мультимедиа-ресурсы, которые позволяют представлять учебные объекты различными способами: текст, графика, фото, видео, звук, анимация. Таким образом, используются все виды восприятия, что способствует развитию мышления и практической деятельности ребенка.

Древняя китайская мудрость гласит: «Расскажи мне, и я забуду, покажи мне, и я запомню, вовлеки меня — и я пойму».

Для понимания построения и решения многих геометрических задач необходимо научить ребенка пространственно мыслить и видеть объекты. Это является одной из проблем при изучении геометрии. Виртуальная математическая лаборатория решает эту проблему и, стоит отметить, что при работе в лаборатории проявляется и творческая деятельность ребенка, т.е. происходит процесс исследования с элементами творчества.

Интерактивные средства обучения — это уникальная возможность для самостоятельной исследовательской и творческой деятельности учащихся. Ученики действительно получают возможность самостоятельно учиться: самостоятельное выполнение позволяет отследить свои ошибки при выполнении лабораторной или практической работы [1].

Во время прохождения педагогической практики было замечено, что ученики лучше воспринимают информацию, если она представлена средствами информационно-коммуникативных технологий. Большинство учителей использует презентации для иллюстрации тех или иных понятий, утверждений, задач на уроках, но не все ученики воспринимают информацию в таком виде.

На уроках математики, особенно на уроках геометрии, как никогда важна иллюстрация условия и решения задачи для развития пространственного мышления ученика и для хорошего усвоения материала. Поэтому перед учителем ставится серьезная задача находить новые технологии, привлекать современные электронные технические средства для повышения продуктивности занятий. Такими средствами являются использование презентаций, привлечение учеников к проектной деятельности, работа в виртуальных средах и т.д.

Одними из интересных средств являются электронные приложения, в частности, виртуальные математические лаборатории. Примером такого приложения служит УМК ЖМ (Живая Математика). Стоит отметить, что ЖМ требует определенных навыков в освоении, поэтому лучше, если ученик начнет ее использовать под руководством учителя.

Для создания компьютерных чертежей в виртуальной математической лаборатории используются стандартные геометрические операции, такие как:

— проведение прямой (луча, отрезка) через две выделенные точки;

— построение окружностей по центру и точке на окружности (а также по центру и радиусу);

— фиксация пересечений прямых и окружностей;

— проведение параллельных, биссектрис и т. п.;

— использование хорошо развитой системы измерений (с регулируемой точностью) длин,

площадей и углов;

— возможность арифметических действий над результатами измерений.

Математические лаборатории основаны на построении компьютерной модели конструирования алгоритмов решения задач любого типа. Виртуальная среда предлагает ученику ряд наглядных зрительных образов информационных объектов (исполнителей команд) и погружает его в проблемную ситуацию. Программная реализация моделей представляет собой тренажеры, с помощью которых средствами команд управления может осуществляться:

— обучение в аудитории,

— самостоятельная работа учащихся как в аудитории, так и вне аудитории.

Как показывает опыт, успех в обучении геометрии заключается в немалой степени в использовании различных наглядных пособий.

Наглядное обучение, по словам К. Д. Ушинского, — «это обучение, которое строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком».

Наглядность необходима в обучении геометрии ввиду того, что требуется достижение более высокой ступени абстракции, чем в обучении другим предметам. Правильное применение наглядных средств способствует развитию абстрактного мышления. Эффективность наглядного обучения зависит от правильного выбора средств наглядности и от их правильного применения в процессе обучения.

В качестве примера использования наглядных средств рассмотрим вопрос о применении чертежа в планиметрии и стереометрии.

При изучении планиметрии чертеж является основным средством наглядности, при изучении же стереометрии — уже нет. Это объясняется тем, что чертеж плоской фигуры сохраняет, по меньшей мере, ее форму и поэтому может служить для изучения свойств этой формы, а чертеж пространственного тела, являясь некоторой проекцией этого тела на плоскость чертежа, искажает форму и взаимное расположение элементов этого тела. Например, на чертеже правильной четырехугольной пирамиды квадрат, лежащий в ее основании, изображается в виде параллелограмма, а скрещивающиеся ребра — в виде пересекающихся прямых.

Возникает педагогическая задача: научить школьников видеть на искаженном изображении пространственного тела его истинную форму и действительное взаимное расположение его элементов. Раньше, чтобы решить такую задачу, необходимо было при переходе к изучению стерео-

метрии широко использовать модели пространственных тел и различных ситуаций геометрических элементов в пространстве, сопоставляя их с изображениями этих тел и ситуаций на плоскости. Это занимало большое количество времени и являлось затруднительным для учеников.

Виртуальная математическая лаборатория позволяет решить педагогическую задачу: научить школьников видеть на искаженном изображении пространственного тела его истинную форму и действительное взаимное расположение его элементов.

Пример использования лаборатории при изучении темы «Параллелограмм» [2].

В данной среде нами был разработан и проведен урок геометрии по теме «Параллелограмм».

ЗАДАНИЕ. Построить четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

1.Построить два отрезка. Соединить последовательно под некоторым углом (воспользоваться инструментом «Линейка»).

2.Выделить один из отрезков и конечную точку другого отрезка (воспользоваться панелью «Построение» и выбрать «Параллельная прямая»).

3.Выделить конечную точку отрезка параллельного построенной прямой и отрезок пересекающий построенную прямую (воспользоваться панелью «Построение» и выбрать «Параллельная прямая»).

4.Пересечение двух прямых отметить точкой (воспользоваться инструментом «Точка»).

5.Выделить построенные прямые (воспользоваться панелью «Вид» и «Скрыть прямые»).

6.Соединить отрезки с точкой (воспользоваться инструментом «Линейка»).

После построения ученик делает вывод: полученный четырехугольник называется параллелограммом.

И формулирует определение параллелограмма.

Учитель формулирует следующие задания, которые для ученика являются его личными исследованиями.

ЗАДАНИЕ. Исследовать соизмеримость сторон параллелограмма на различных примерах.

1.Используя панель «Измерения» необходимо измерить стороны.

2.Измените конфигурацию полученного четырехугольника несколько раз (перемещая стороны и точки).

3.Сделать вывод о свойстве сторон параллелограмма.

Вывод: противоположные стороны параллелограмма равны.

В данном задании ученик должен доказать полученный вывод.

Иллюстрация выполнения такого рода задания приведена на рис. 1.

Вывод: Противоположные стороны параллелограмма равны. Доказать.

Рис. 1. Иллюстрация исследования соизмеримости сторон параллелограмма.

Определения геометрических фигур иллюстрируются подвижными чертежами рассматриваемого объекта. Работа с определениями проводится по традиционной схеме:

— вдуматься в формулировку,

— соотнести с другими известными определениями.

Но в виртуальной среде появляются дополнительные возможности в виде различных вариаций чертежа, которые позволяют зрительно запомнить все особенности объекта как в целом (по принадлежности к семейству фигур), так и специфические (принадлежность к отдельным объектам). Кроме этого, чертежи могут содержать некоторые значения численных характеристик.

Производя различные вариации элементов чертежа, учащиеся могут запоминать свойства объектов и фиксировать утверждения. Учитель при этом имеет возможность контролировать понимание формулировок.

Геометрические задачи можно разбить на три группы:

— задачи на вычисление числовых характеристик;

— задачи на построение;

— задачи на доказательство.

Соответственно выполнение работы в виртуальной среде зависит от группы задач, для иллюстрации которой выполняются действия.

В вычислительных задачах, а также задачах на построение используются различные численные характеристики геометрических объектов. Иногда числовые значения нельзя выразить конечными десятичными дробями, т. е. точно измерить средствами виртуальной лаборатории. В таких случаях чертежи приобретают более общие конфигурации, что позволяет в пропорциол-нальном отношении проверить правильность приведенного ответа [3].

Стоит отметить, что ко всем задачам в лаборатории есть «спрятанные» построения, а иногда еще и пошаговое описание этого построения.

В программе Живая Математика можно работать не только в плоскости, но также можно создавать объемные фигуры [4].

Примером такой фигуры может служить куб (рис. 2). Заметим, что в данной программе создавая объемные фигуры, ученик может создать такую модель, которую можно вращать, а так же изменять ее масштаб.

После построения объемных фигур можно предлагать различные задачи [5].

Например, следующая задача.

Задача. Постройте сечение куба АВСВА’В’С’В’ плоскостью, проходящей через три точки К, L, V, лежащие на ребрах AD, А’В’ и В’С’ соответственно.

Ученик последовательно создает сечение. При этом, построив прямую, он может, используя кнопку «Вращать», повернуть свою фигуру и тем самым изучить и исследовать, как построенная им прямая проходит относительно других плоскостей, а так же, в каких точках она пересекает другие плоскости. Можно отметить, что используя стандартную школьную доску и мел, ученик не имеет возможности вращать построенную фигуру и исследовать построение прямой.

Живая Математика — [Задэчэ 1 .дзр]

Файл Правка Вид Построения Преобразования Измерения Графика Окно Справка

Построение сечения по трем точкам

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три тачки К, /, М, лежащие на рёбрах АО. А’В’

Рис. 2. Задача на построение сечения куба

После того как ученик завершил построение всех прямых и построил сечение куба (рис. 3), он может сделать заливку построенного сечения и при вращении куба исследовать, сечение.

Рис. 3. Построение сечения куба по трем точкам

Построение сечения может задаваться как одним действием, так и пошаговым алгоритмом. Таким образом, можно строить, начиная с определенного шага. Пример такого построения изображен на рис. 4.

Рис. 4. Пошаговое построение сечения куба

Использование программы на уроках геометрии, как показывает педагогический опыт многих учителей, является эффективным средством и имеет немало достоинств как для учителя, так и для ученика [4].

Учитель имеет возможность:

— иллюстрировать объяснения наглядными точными чертежами;

— разнообразить работу учащихся, значительно увеличив долю активной творческой работы в их учебной деятельности.

Ученику работа в среде позволяет:

— отличать осмысленные утверждения о фигурах от бессмысленных, точные от неточных;

— понимать, что утверждения о фигурах делятся на истинные и ложные;

— видеть предположительное равенство и подобие фигур;

— повторить найденное решение, осмыслить его и попытаться найти более рациональное или оптимальное решение;

— отыскать ошибку и скорректировать алгоритм решения на любой стадии его разработки;

— визуализировать ход решения задачи и алгоритма выполнения;

— наблюдать динамику решения задачи с помощью экранных объектов. Комплекс виртуальных лабораторий возможно использовать в различных режимах:

— демонстрация решения задач на уроке с помощью единственного компьютера и проектора;

— групповая работа в компьютерном классе;

— самостоятельный тренинг (в школе на уроке, на дополнительных занятиях, дома);

В виртуальных лабораториях реализованы современные методы объектного конструирования, опирающиеся на интуитивно ясные и геометрически точные принципы, продолженные в область динамических конструкций, что обеспечивает ей исключительную гибкость, управляемость и прозрачность.

Хотелось бы отметить, что использование электронных приложений позволяет развивать пространственное мышление школьников, а так же создавать для школьников более увлекательные и интересные уроки.

Виртуальные математические лаборатории могут использоваться на уроках информатики и математики. Непосредственно их можно с успехом использовать для организации работы кружков, математических вечеров, как в стенах школы, так и в системе дополнительного образования.

1. Карпенков, С. Х. Современные средства информационных технологий: учебное пособие / С. Х. Карпенков. — 2-е изд., испр.и доп. — Москва : КНОРУС, 2013. — 400 с.

2. Атанасян, Л.С.,Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б и др. Геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений. 7—9 классы. М.: Просвещение, 2010. — 384 с.

3. Хлебников, А. А. Информационные технологии / А. А. Хлебников. — Москва : КНОРУС, 2014. — 472 с.

4. Шабат, Г.Б., Чернявский, В.М., Кулагина, В.В., Смолина, Л.М., Боровикова, В.Н., Дубровский, В.Н., Аджемян, Г.А., Пантуев, А.В. Живая Математика 5.0.: Сборник методических материалов. — М.: ИНТ, 2013.— 205 с.

5. Смирнова, И.М. Геометрия. 10—11 классы. Базовый уровень. М.: Мнемозина, 2015.- 223 с.

Методический проект « Работа с текстом на уроках математики на примере решения задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

« Работа с текстом

на уроках математики

на примере решения задач»

Сегодня чтение, наряду с письмом и владением компьютером, относится к базовым умениям, которые позволяют продуктивно работать и свободно общаться с разными людьми. Кроме того, это необходимое условие успешности работы с информацией.

Сегодня нам необходимо в наших детях воспитать грамотного читателя. Одним из путей развития читательской грамотности является стратегический подход к обучению смысловому чтению.

Смысловое чтение – вид чтения, которое нацелено на понимание читающим смыслового содержания текста. Для смыслового понимания недостаточно просто прочесть текст, необходимо дать оценку информации, откликнуться на содержание.

Это означает, что на каждом предмете, в том числе и на уроках математики, должна вестись целенаправленная работа по формированию и развитию умения работать с текстом.

Существует ряд приемов, некоторых элементов технологии развития критического мышления, применение которых, позволяет реализовать идеи развития смыслового чтения на уроках математики при работе с разными текстами.

Прием «Инсерт» – это маркировка текста по мере его чтения. Применяется для стимулирования более внимательного чтения задания или текста задачи.

Приёмы постановки вопросов:” Толстый” и “Тонкий” вопрос

Вопросы такого плана возникают на протяжении всего урока математики.

Почему вы думаете….?

Предположите, что будет если…?

Почему вы считаете….?

«Ромашка вопросов» («Ромашка Блума»).

Шесть лепестков – шесть типов вопросов.

Простые вопросы. Отвечая на них, нужно назвать какие-то факты, вспомнить, воспроизвести некую информацию.

Уточняющие вопросы. Обычно начинаются со слов: «То есть ты говоришь, что. », «Если я правильно поняла, то. ». Целью этих вопросов является предоставление обратной связи ученику относительно того, что он только что сказал.

Интерпретационные (объясняющие) вопросы. Обычно начинаются со слова «Почему?». Направлены на установление причинно-следственных связей. Если учащийся знает ответ на этот вопрос, тогда он из интерпретационного «превращается» в простой. Следовательно, данный тип вопроса «срабатывает» тогда, когда в ответе на него присутствует элемент самостоятельности.

Творческие вопросы. Когда в вопросе есть частица «бы», а в его формулировке есть элементы условности, предположения, фантазии прогноза. «Что бы изменилось в …., если бы ….?», «Как вы думаете, как будет ….?»

Оценочные вопросы. Эти вопросы направлены на выяснение критериев оценки тех или фактов. «Чем …… отличается от ……?» и т.д.

Практические вопросы. Это вопросы, направленные на установление взаимосвязи между теорией и практикой. Например: «Где вы в обычной жизни вы могли наблюдать …?».

Многие из этих приемов нами постоянно применяются на уроках в разных ситуациях. Но в своей методической работе мы решили рассмотреть проблему работы с текстом на примере решения текстовых задач, так как текстовые задачи всегда относились к заданиям, наиболее сложным для овладения учащимися, поскольку, в отличие от конкретных заданий, решение которых выполняется по вполне определенному алгоритму, требуют содержательного осмысления.

Актуальность представленного опыта возрастает в условиях реализации междисциплинарной программы «Стратегии смыслового чтения и работа с текстом» в рамках введения ФГОС.

Цель работы: анализ умения учащихся работать с текстом на уроках математики, разработка приемов и способов для развития смыслового чтения через решения математических задач.

Продукт: алгоритм решения задач; образцы математических задач разного типа.

У разных авторов определение задачи сформулировано по-разному, но все авторы сходятся в том, что решать задачу — это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ.

Согласно этому определению, для полноценной работы над задачей ребенок должен:

уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия (а, следовательно, и быть хорошо знакомым с ними);

уметь записывать решение задачи с помощью соответствующей математической символики.

Технологически при решении задачи ребенок как минимум дважды выполняет «перекодировку» словесно заданной ситуации в задаче — сначала переводя ее в краткую запись, рисунок или схему, для выявления связей между данными и искомым, а затем еще раз переводя выявленную зависимость на язык математических знаков и символов — запись решения.

Для эффективного выполнения такой «перекодировки» ребенок должен свободно владеть анализом предложенной словесной структуры.

Зачастую, успев прочитать задачу, ученики начинают выполнять какие-то арифметические действия с данными числами. Это становится причиной ошибок. Поэтому необходимо научить ученика не торопиться с выбором арифметического действия. Он должен понять, насколько важно внимательно читать текст задачи и может быть не один раз.

В начале нашей работы мы провели небольшой эксперимент: предложили учащимся нашей школы с 1 по 11 класс ознакомиться с вариантами текстовых заданий из базы ОГЭ и ЕГЭ и выбрать те, которые, по их мнению, они смогут выполнить. При первичном прочтении учащиеся, начиная уже со второго класса, нашли для себя те здания, которые они решат. Однако на втором этапе, когда им было предложено более детально изучить, а затем и решить выбранные ими задания, многие из них поменяли свою точку зрения, объяснив это тем, что в первый раз не внимательно прочитали задания, а ориентировались в своем выборе больше на знакомые слова или формулировки. Таким образом, мы с ребятами еще раз убедились в том, насколько важно уметь грамотно работать с текстом задачи.

По результатам двух этапов диагностики мы выяснили, что уже рядовой ученик 5-6 класса, выполняя работу базового уровня ЕГЭ, способен пройти минимальный порог, который по официальным данным составляет 6-7 верно выполненных заданий, необходимый для получения аттестата.

И только ученик, сдающий в 9 классе ОГЭ, способен пройти минимальный порог профильного уровня ЕГЭ математике, что вовсе не даёт гарантии успешного поступления в выбранный ВУЗ (приложение 1).

Итак, работа над задачей начинается с прочтения, понимания ее и выделения в ней структурных элементов, так как, в чем мы и убедились, именно невнимательно прочитанная задача, отсутствие анализа ее текста становятся причиной ошибок в процессе ее решения.

Процесс решения задачи — это переход от условия задачи к ответу на ее вопрос. Первые представления о процессе решения задач создаются у учащихся в первом классе.

Поскольку большинство детей здесь не владеет свободным чтением, а потому не может самостоятельно в полной мере работать с текстом задачи, очень большое значение имеет умение понимать ситуацию задачи на слух, правильно моделировать ее, выбирать и объяснять выбор действия.

Для подготовки не читающего ребенка, к проведению смыслового анализа задачи полезно на подготовительном этапе учить его «на слух» улавливать различные «необычности» в текстах задач, для чего используются тексты, похожие на задачи, тексты с различными «ловушками» и т. п.

Уч.: Послушайте меня и скажите, задача ли это: Под крышей четыре ножки, а на крыше — суп да ложки. Что это?

Чем отличается задача от загадки?

Послушайте еще один текст:

Пять воробьев на заборе сидели.

Один улетел, а четыре запели.

И пели, пока не сморила усталость.

Один улетел — и их трос осталось.

Сидели втроем и немного скучали.

К концу первого класса ребята узнают, что каждая задача состоит из нескольких элементов (условие, вопрос) и решение любой арифметической задачи состоит из нескольких этапов работы:

Ознакомление с текстом задачи. Усвоение содержания текста.

Главная цель ученика на этом этапе — прочитать задачу и осознать ее текст, т. е. понять значение каждого слова и представить ту ситуацию, которая в ней дана; выделить условие и вопрос задачи, известные и неизвестные данные; установить связь между условием и вопросом задачи, между данными и искомым, т. е. провести анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметических действий для ее решения.

На этом этапе мы используем следующие приемы:

Представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче.

Постановка специальных вопросов и поиск ответов на них— включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи: О чем говорится в задаче? Что известно в задаче? Что требуется найти в задаче? Что в задаче неизвестно? и др.

Переформулировка текста задачи— состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, но более явно их выражающим.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей.

Поиск решения задач.

Для поиска решения удобно использовать краткую запись условия задачи, которая помогает устранить типичные ошибки, не дает возможности поверхностного прочтения текста задачи и возможности упустить соотношения между данными. Благодаря ей формируется умение целенаправленно читать учебный текст, задавать проблемные вопросы, вести обсуждение в группе.

Графическая модель (чертеж, схема, таблица).

Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величин (больше, меньше, столько же), а также при решении задач, связанных с движением. Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую ситуацию. Объясняя свои действия при составлении схемы, ученик привыкает описывать ход мысли словами, что является базой для формирования умения анализировать задачу (а также развития словесно-логического мышления).

Приемы, используемые на этом этапе:

анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели;

от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь);

комбинированный (анализ и синтез), анализ часто производят «про себя»;

разбиение задачи на смысловые части;

введение подходящих обозначений в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены.

Выполнение решения задачи.

Ученики справляются с этим этапом достаточно хорошо. Если при разборе задачи и поиске решения использовался чертеж, то ошибок в записи решения бывает очень мало.

Этот способ проверки интересен тем, что является одним из средств повышения интереса к математике, способствует развитию познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения.

Формулировка ответа на вопрос задачи.

Работа с решенной задачей. Преобразование задачи.

Видоизменяя условие задачи, дети глубже вникают во взаимосвязь между элементами задачи, учатся рассматривать условие задачи под углом зрения ее вопроса и наоборот.

Учитывая вышесказанное, мы с учащимися каждого класса разработали свой алгоритм для решения задач, который оформили в памятку (приложение 2).

В общем виде для учащихся 1 – 5 алгоритм выглядит так:

Прочитай задачу. Убедись, что все слова тебе знакомы.

Еще раз с карандашом внимательно прочитай задачу, найди в ней условие и вопрос.

3. Подумай, что обозначает в задаче каждое число.

4. Запиши кратко ее условие

5. Построй модель задачи: начерти к ней чертеж, схему или заполни таблицу.

6. Повтори (проговори устно) задачу по краткой записи.

7. Подумай, что тебе уже известно и что еще надо найти.

8. Составь план решения задачи. Определи арифметическое(-ие) действие(-я).

9. Запиши решение задачи.

10. Перечитай вопрос.

11. Запиши полный ответ.

Ученики 8 – 11 классов, имеют необходимость решать задачи не только арифметическим, но и алгебраическим способом (составляя и решая уравнение). Поэтому они, пришли к выводу, что для задач, которые возможно решить только алгебраическим способом им хотелось бы в алгоритм включить и три этапа математического моделирования.

Если ученик решает задачу не из учебника, то отдельно первым этапом решения (на уровне 1 и 2 пунктов алгоритма) идёт определение того, сможет ли он решить её арифметически. А учитывая структуру учебников старших классов, где задачи включены вторым или третьим уровнем освоения умения решать тот или иной тип уравнения, при решении задачи из них уже сразу можно пользоваться следующим алгоритмом:

Перечитываем с карандашом.

Обсуждаем (задать себе вопрос о возможности составления уравнения).

Если геометрический материал – рисунок.

Делаем краткую запись («Пусть Х — …»)

«Составим и решим уравнение»

Перечитываем условие и записываем перевод Х в вопрос задачи.

Делаем устную проверку. (приложение 3)

Отдельная пометка в третьем пункте необходима, так как зачастую, если задача содержит в себе геометрический материал, то введение переменной до чертежа затруднительно.
Не менее важным, а в старших классах чуть ли ни самым основным является последний пункт, поскольку большое решение может отвлечь и от вопроса задачи и от того, насколько полученный ответ вписывается в смысловые рамки условия.

Для того чтобы научить учащихся правильно решать текстовые задачи помимо алгоритма, необходимо использовать разные виды текстов задач и приемы их решения. Мы предлагаем следующие варианты (образцы задач см приложение 4,5).

Постановка вопросов к условию.

Текст задачи задан на доске, дети ставят вопросы к данному условию. При использовании этого приема важно подвести детей к пониманию того, что к одному и тому же условию иногда можно поставить несколько вопросов — и в зависимости от этого задача будет иметь различные решения.

Постановка условия к вопросу.

Выбор условия к задаче.

Дан вопрос и несколько условий задачи, дети выбирают нужное условие. Учитель дает верные и неверные условия. Данный прием формирует у ребенка гибкость мышления, учит анализировать взаимоотношения данных в соответствии с условием.

Соотнесение текста и выражений.

Дан текст задачи и несколько выражений, необходимо выбрать нужное. К остальным выражениям дети подбирают вопросы.

Соотнесение текста и решение задачи или обсуждение готовых решений.

Сразу после чтения задачи дети выбирают решение задачи, которое подходит к данному тексту. Затем они объясняют причины ошибок неверных решений.

Выбор схемы к тексту задачи.

Дан текст задачи и несколько схем. Обсуждая каждую схему, дети приходят к верному выводу.

Обозначение на схеме известных и неизвестных величин.

Учитель предлагает к данной задаче схему без чисел и вопросов, дети приходят к верному выводу.

Построение схемы к задаче.

Совместное построение схемы к задаче. Учитель использует «ловушки», т.е. вводит детей в заблуждение.

Изменение либо условия, либо вопроса задачи, так чтобы она соответствовала решению

Дети изменяют или текст задачи, или вопрос, чтобы это подходило к данному решению.

Разная запись данных.

В большинстве задач необходимые данные записаны с помощью цифр. Увидев числа, многие учащиеся просто не читают текст, а сразу пытаются манипулировать числами. Вот поэтому полезно предлагать тексты задач, где необходимые данные фиксируются разными способами: с помощью цифр, букв, сказочных чисел, словом и т. д. В таком случае ученик будет вынужден внимательно читать задачу, находить связи между данными величинами и искомым.

При использовании таких задач видно, на что опирается ребенок при решении задачи: на числовые данные или на смысл задачи.

Задачи с избытком и недостатком данных.

Работа с такими текстами является наиболее полезной с точки зрения обучения решению задач, поскольку именно такие тексты учат ребенка внимательно читать и анализировать задачу, целенаправленно устанавливать связи между данными и искомым для осознанного выбора действия.

Основная ценность работы с задачами с недостающими и с избыточными данными заключается в возможности получения большого количества вариантов их преобразования в полноценные решаемые задачи разного уровня трудности, что дает возможность каждому ученику действовать на доступном ему уровне.

Тексты с парадоксальными данными.

Анализ этого текста позволяет на втором этапе (после того, как дети объяснили, почему задачу с такими данными решить нельзя) предложить учащимся изменить либо данные, либо условие задачи так, чтобы ее можно было решить. Этот прием в начальной школе является пропедевтикой подготовки к составлению обратных задач.

Задачи в косвенной формулировке.

Решение таких задач требует сложной ориентировки в условии, которое прямо не определяет выбор действия. Анализируя такую задачу, ребенок должен сделать мысленное движение, противоположное реальному порядку описанных в условии действий или отношений.

Рассмотренные алгоритмы и приёмы работы с текстами задач обеспечивают не только усвоение учебного материала, но и активизирует умственную деятельность учащихся, прививает интерес к изучаемому предмету. Систематическая и планомерная работа в дальнейшем будет способствовать развитию навыка смыслового чтения в соответствии нового образовательного стандарта.

Читать – это ещё ничего не значит:

что читать и как понимать читаемое –

вот в чём главное дело.

Таблицы 1,2 (баз.ур.)

Таблицы 3,4 (проф.ур)

Алгоритм решения математических задач (1-5 кл):

1. Прочитай задачу. Убедись, что все слова тебе знакомы.

2. Еще раз с карандашом прочитай внимательно задачу, найди в ней условие и вопрос.

3. Подумай, что обозначает в задаче каждое число.

4. Запиши кратко ее условие.

5. Построй модель задачи: начерти к ней чертеж, схему или заполни таблицу.

6. Повтори (проговори устно) задачу по краткой записи.

7. Подумай, что тебе уже известно и что еще надо найти.

8. Составь план решения задачи. Определи арифметическое(-ие) действие(-я).

9. Запиши решение задачи.

10. Перечитай вопрос.

11. Запиши полный ответ.

Алгоритм решения математических задач (8-11 кл) алгебраическим способом:

2. Перечитываем с карандашом.

3. Обсуждаем (задать себе вопрос о возможности составления уравнения). Если геометрический материал – рисунок.

4. Делаем краткую запись («Пусть Х — …»)

5. «Составим и решим уравнение»

6. Перечитываем условие и записываем перевод Х в вопрос задачи.

7. Записываем «Ответ».

8. Делаем устную проверку.

Образец решения задачи

Пристани А и В расположены на реке, причём В – на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошёл путь из А в В и обратно за 8 ч 20 мин. За какое время катер прошёл расстояние от А до В и расстояние от В до А, если известно, что его собственная скорость равна 20 км/ч?

Примеры задач для младшей школы

На первой полке лежало 30 книг, на второй — 40, а на третьей на 5 книг
больше, чем на второй. Сколько книг лежало на третьей полке?

Эта задача с лишними данными. Для ее решения нет необходимости знать количество книг, лежащих на первой полке. Для того чтобы правильно ее решить, ученик должен установить, какие величины связаны между собой, а какие нет.

Сколько груш росло в саду, если их было на 35 деревьев больше, чем яблонь?

Эта задача с недостающими данными. Анализируя текст, ученик должен сказать, что она не имеет решения, так как в ней не хватает данных. Будет очень хорошо, если он сможет указать недостающее данное, например количество яблонь.

Маша в саду собирала ягоды. Она набрала 2 кг смородины и 5 стаканов малины. Сколько ягод собрала Маша?

Данную задачу решить нельзя, так как масса ягод измерена разными мерками, над указанными числами в таком случае производить арифметические действия нельзя. Такого вида задачи учат не только внимательно читать текст задачи, но и выявлять уровень знаний о величинах.

В автобусе ехало 37 человек. Сколько человек осталось в автобусе после того, как на остановке вышло 40 человек?

Данную задачу также решить нельзя, так как предложенные числовые данные не соответствуют смыслу задачи.

Подбери условия к данному вопросу и реши задачу.

Текст: «Сколько всего детей занимается в студии?»

В студии 30 детей, из них 16 мальчиков.

В студии мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем девочек.

В студии 8 мальчиков и 20 девочек.

В студии 8 мальчиков, а девочек на 2 больше.

В студии занимаются 8 мальчиков, а девочек на 2 меньше.

Прочитай и определи: где задача, где рассказ. Построй и сравни чертежи. Запиши решение задачи.

У Тани было 9 конфет. Она дала подружкам 6 конфет и осталось у Тани 3 конфеты.

У Иры было несколько конфет. Она дала подружкам 6 конфет, а себе оставила 2 конфеты. сколько конфет было у Иры сначала?

Данное задание направлено на развитие умения отличить задачу от рассказа по основным ее признакам.

Поставь вопрос. Реши задачу. А потом измени условие так, чтобы в решении изменилось действие.

Коля прочитал 10 книг, а Юра на 2 книги меньше. Сколько …?

Выполняя такие задания, ребята убеждаются в том, что к одному и тому же условию иногда можно поставить несколько вопросов — и в зависимости от этого задача будет иметь различные решения.

К условию задачи выбери подходящий вопрос. Запиши решение. Ответь на другие вопросы.

Когда в коробку добавили 4 мяча, то в коробке стало 12 мячей.

Сколько мячей стало в коробке?

Сколько было больших мячей?

Сколько мячей добавили в коробку?

Сколько мячей было в коробке сначала?

Эта задача на соотнесение текста и предложенных вопросов. Для того чтобы её правильно решить, анализируя текст, ученик должен выявить отношение каждого вопроса к условию, а затем уже выяснять какой из вопросов требует решения.

Построй чертеж к тексту. Определи, задача ли это?

У Саши было d дисков. Ему купили еще с дисков, и стало у Саши е дисков.

Устно переделай текст в три задачи, используя заданные чертежи и числа 13 и 5. Запиши решения задачи.

В результате выполнения заданий, учащиеся устанавливают, что на сонове одного рассказа можно постройть столько задач, сколько в нем имеется элементов отношения частей и целого.

На клумбе расцвели 2 нарцисса, а тюльпанов на 5 больше. Нарисуй столько бабочек, сколько расцвело тюльпанов и нарциссов вместе.

Выбери и дополни правильные решения задачи.

В буфете осталось 8 кг бананов. Привезли еще 3 пакета бананов по 4 кг в каждом. Сколько кг бананов стало в буфете?

Эта задача на соотнеение текста задачи и выражений, с помощью которых ее можно решить разными способами.

Подбери к каждому тексту подходящую таблицу. Заполни ее.

Юра купил 5 карандашей, заплатив за них 30 р. потом в другом ларьке он купил за 18 р еще 3 карандаша.

Туристы прошли до обеда 16 км за 4 ч. После обеда они прошли за 2 ч 6 км.

Юля вышила за 21 мин 3 листочка, а потом она вышила еще 5 листочков за 40 мин.

Объем работы (шт)

Дополни текст соответственно таблице. Заполни все клетки таблицы.

С одной яблони собрали ___ корзины яблок, это ___ кг. Со второй яблони собрали ___ кг и разложили их в ___ корзины. Собранные с третьей яблони ___кг поместились в ___ корзинах.

Впиши в текст числа из таблицы и недостающие слова. Реши задачу.

Легковой автомобиль прошел расстояние между двумя городами за ___ часа со скоростью ___ км/ч. Грузовик потратил на __________ расстояние на ___ ч больше. На сколько скорость грузовика была __________, чем скорость легкового автомобиля?

Слова для выбора: больше, меньше, это же.

Подобные задания развивают умение работать с задачей, представленной в разном виде (как в текстовом, так и табличном).

Внук нашел в лесу 28 съедобных грибов, что на 15 грибов меньше, чем нашел его дедушка. Сколько грибов нашел дедушка?

Эта задача в косвенной формулировке. Строя чертеж учащиеся убеждаются, что выбор действия не совпадает с формулировкой условия. Как правило, без построения чертежа правильно такие задачи удается решить небольшому количеству детей.

Фрагмент презентации «Что такое задача» 1 класс

Примеры задач для основной и старшей школы

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Эта задача с лишними данными.

Для её решения нет необходимости знать длинны

боковых сторон трапеции. Для того чтобы

правильно её решить ученик должен установить,

какие величины входят формулу для вычисления площади трапеции.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Эта задача тоже с лишними данными.

Для её решения нет необходимости знать длину боковой

стороны параллелограмма. Для того чтобы

правильно её решить ученик должен установить,

какие величины входят формулу для вычисления площади параллелограмма.

Найдите тангенс угла В треугольник ABC , изображённого на рисунке.

Эта задача одновременно и с избытком и с недостатком данных.

Для её решения нет необходимости знать длину гипотенузы.

Для того чтобы правильно её решить ученик должен установить,

какие величины входят формулу для вычисления тангенса

острого угла прямоугольного треугольника и определить их размер

в условных единицах (клетках).

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

И эта задача одновременно и с избытком и с недостатком данных.

Для того чтобы правильно её решить ученик должен установить,

какие величины входят формулу для вычисления площади трапеции

и определить их размер в единицах, показанных на рисунке.

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за две недели.

Эта задача на разную запись данных. Для того чтобы её правильно решить ученик в тексте должен видеть не только данные записанные с помощью цифр, но и числа записанные словами.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат

10м 10м. Найдите площадь участка, изображённого на плане.

Ответ дайте в м 2 .

Эта задача тоже одновременно и с избытком и с недостатком

данных, но кроме того и на разную запись данных, ведь часть

информации скрыта в рисунке (клетки), а часть в тексте записана

цифрами. Для того чтобы её правильно решить ученику придётся

определиться не только с оптимальным способом решения, но и

учесть все выше описанные нюансы.

Оля младше Алисы, но старше Иры. Лена не младше Иры. Выберите утверждения, которые непосредственно следуют из приведенных данных

Лена и Оля не могут быть одного возраста.

Среди указанных четырёх человек нет никого младше Иры.

Алиса старше Иры.

Алиса и Лена одного возраста.

Эта задача на соотнесение текста и предложенных следствий. Для того чтобы её правильно решить, анализируя текст, ученик сначала должен сам выявить соотношения, а затем уже выяснять какие из предложенных утверждений соотносятся с его схемой.

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl , где n – число шагов, l – длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 60 см, n = 1200? Ответ дайте в километрах.

Эта задача на разную запись данных. Для того чтобы её правильно решить, читая условие задачи, ученик должен смотреть не только на то в каких единицах следует подставлять данные в формулу, но и обращать внимание на единицы, в которых требуется написать ответ.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Эта задача на соотнесение текста и предложенных вопросов. Для того чтобы ученику правильно ответить на последний вопрос помогут последовательные ответы на первый и второй вопросы, так как при этом анализ строится по принципу метода математической индукции, что позволяет постепенно подойти к построению схемы, отражающей зависимость исходных данных.

В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

И. купит все три товара сразу.

И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.

И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

Эта задача на выбор оптимальной схемы покупки. Для того чтобы её правильно и быстро решить ученику нужно сначала определиться с тем, будет ли он рассматривать все схемы покупки, а затем сравнивать результаты, или же какая-то схема может быть отброшена как неоптимальная ещё на этапе анализа задачи.

Какие из данных утверждений верны? В ответ запишите их номера.

а) Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

б) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

в) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Эта задача на изменение формулировки так, чтоб она была верной. Для того чтобы её правильно решить, учащемуся необходимо рассматривая каждое утверждение делать к нему чертёж. Кроме того следует не отбрасывать сразу неверные утверждения, а стараться переформулировать их в верные, что позволит уменьшить вероятность ошибки.

Список использованной литературы

Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций. – М.: Владос, 2005.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 1 класс. Учебник. – М.: Вита-пресс, 2013.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 1 класс. Рабочие тетради. – М.: Вита-пресс, 2014.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 2 класс. Учебник. – М.: Вита-пресс, 2013.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 2 класс. Рабочие тетради. – М.: Вита-пресс, 2014.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 3 класс. Учебник. – М.: Вита-пресс, 2013.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 3 класс. Рабочие тетради. – М.: Вита-пресс, 2014.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 4 класс. Учебник. – М.: Вита-пресс, 2014.

Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика, 4 класс. Рабочие тетради. – М.: Вита-пресс, 2014.

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 5 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014.

Зубарева И.И., Мельштейн М.С. Математика, 5 класс. Самостоятельные работы. – М.: Мнемозина, 2012.

Зубарева И.И., Гамбарин В.Г. Сборник задач и упражнений по математике. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.

Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь для 1-го класса начальной школы.- М.: Линка-Пресс, 2014.

Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь для 2-го класса начальной школы.- М.: Линка-Пресс, 2014.

Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь для 3-го класса начальной школы.- М.: Линка-Пресс, 2014.

Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь для 4-го класса начальной школы.- М.: Линка-Пресс, 2014.

Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2ч. Ч 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2014.

Полникова М.Ю. Математическая разминка: устный счет в 3-х уровнях, 1-4кл. Учебные пособия. – Спб: СМИО Пресс, 2013.

Шклярова Т.В. Сборник упражнений по математике, 1 — 2 класс. – М.: Грамотей, 2010.

Шклярова Т.В. Сборник упражнений по математике, 3 класс. – М.: Грамотей, 2010.

Шклярова Т.В. Сборник упражнений по математике, 4 класс. – М.: Грамотей, 2010.

Шклярова Т.В. Сборник упражнений по математике, 5 класс. – М.: Грамотей, 2010.

ЕГЭ. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под ред. И. В. Ященко. М.: Издательство «Национальное образование», 2015

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И. В. Ященко. М.: Издательство «Национальное образование», 2015

Краткое описание документа:

Это означает, что на каждом предмете, в том числе и на уроках математики, должна вестись целенаправленная работа по формированию и развитию умения работать с текстом. В своей методической работе мы решили рассмотреть проблему работы с текстом на примере решения текстовых задач, так как текстовые задачи всегда относились к заданиям, наиболее сложным для овладения учащимися, поскольку, в отличие от конкретных заданий, решение которых выполняется по вполне определенному алгоритму, требуют содержательного осмысления.

Продукт: алгоритм решения задач; образцы математических задач разного типа.

Согласно этому определению, для полноценной работы над задачей ребенок должен:

уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;
уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;
уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия (а, следовательно, и быть хорошо знакомым с ними);
уметь записывать решение задачи с помощью соответствующей математической символики.

Геометрические построения текстовых задач

В работе рассмотрено решение текстовых задач с помощью графических и геометрических построений

Скачать:

Вложение	Размер
rabota_1geometricheskie_postroeniya_tekstovyh_zadach._malyshevad.d.mbu_47.doc	1012 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 47

ГОРОДСКОГО ОКРУГА ТОЛЬЯТТИ

XII городская научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Возрастная категория: «Юный исследователь»

« Текстовые задачи и их геометрические построения»

Малышева Диана Даниловна

г.о. Тольятти, МБУ «Школа № 47, 7 «А» класс

Дьячкова Светлана Николаевна

учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ

Проблемный вопрос : Можно ли текстовую задачу представить геометрически?

Актуальность исследования: Одна из отличительных особенностей человека от животного – наличие абстрактного мышления.

Например, цирковая собака считала, необходимо чтобы перед ней была либо картинка, либо услышала то, что ей подсказало сколько раз лаять. Даля этого нужно много репетировать.

Человек же может оперировать и тем, что не видит. Главное здесь является опыт. В своей предыдущей работе «Суммы и их геометрические построения» мы представили некоторые геометрические построения сумм действительных чисел. Сумму нескольких чисел можно научиться виртуозно, складывать с помощью алгебраического метода (метод К. Гаусса), а также и с помощью геометрического метода, в суммах n-первых слагаемых – по правилу четырехугольников, с помощью координатного луча для любых сумм. Но и можно как мы заметили для развития абстрактного мышления представлять суммы в виде точек (геометрических фигур).

В своей новой работе мы рассмотрим решения текстовых задач с помощью графических и геометрических построений. Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины усвоения им учебного материала. По этой причине, текстовые задачи обязательно присутствуют в текстах государственной итоговой аттестации, и являются, как правило, самыми сложными для учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий имеет значение не только правильность, но и скорость решения. В ходе работы мы попытались отыскать метод решения текстовых задач, который во многих случаях является рациональным, значительно упрощает решение, ведет к более быстрому получению ответа.

Цель: показать геометрические построения текстовых задач.

Предмет исследования: текстовые задачи

Объект исследования: геометрический способ решения задач текстовых задач

Гипотеза: решения текстовых задач можно представлять геометрическими построениям.

Рассмотреть различные способы решения текстовых задач, имеющиеся в известной литературе на примере одной текстовой задачи.
Проверить любую ли текстовую задачу можно перевести на геометрический язык.
Рассмотреть на конкретных примерах, применим ли геометрический метод для решения текстовых задач.
Провести обучающий урок для ребят нашего класса.

Текстовые задачи и их геометрические построения

Рассмотреть различные способы решения текстовых задач, имеющиеся в известной литературе на примере одной текстовой задачи .

На сайте http://lifehacker.ru « Хотите быть умными и креативными? Тренируйте мозг! » мы увидели следующую задачу :

Мэри 24 года. Сейчас ей вдвое больше лет, чем было Анне, когда Мэри было столько же лет, сколько Анне сейчас. Сколько сейчас лет Анне? Нам стало интересно, как решить данную задачу.

24/2=12 (лет)- было Анне,

24+12=36 (лет)- вдвое больше Анне, чем ей сейчас

Пусть Анне — х лет, тогда разница в количестве лет 24-х, а когда Анне 12 лет, то Марии — х лет и разница будет х-12. А по условию задачи разница одинакова, так как мы говорится об одних и тех же людях.

Составим и решим уравнение:

3-способ-геометричекий. Сделано в программе Paint

Отметили 24, затем отрезок в два раза меньше 12, затем еще в два раза меньше 6 и тогда сложив два отрезка 12 и 6, получим 18 лет.

Видим, что геометрический метод более наглядный и быстрый.

Тогда возник вопрос любую ли задачу можно перевести на геометрический язык?

Ответ : Да, мы это увидели опытным путем

Возьмем всем известные задачу на движение.

На уроке математике наш учитель предложил решить следующую задачу из сборника «Алгебра,7 класс» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворов под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г.

Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 часа они шли со скоростью 4,5 км/ч. Затем сделали привал на 1 час. На оставшуюся часть пути они затратили полчаса, проходя ее со скоростью 6 км/ч. Каков весь путь. Какова средняя скорость движения. Постройте график движения.

2*4,5=9 км- расстояние за 2 часа

0,5*6=3 км-расстояние за полчаса пути

9+3=12 км-весь путь

12/(2+0,5)=12/2,5=4,8 км/ч — средняя скорость

3 способ — геометрический

или

На втором графики виде пройденный путь, а на первом легко вычисляется скорость движения и затем и средняя скорость.

Разделим задачи на четыре вида:

Движение на встречу

Движение в противоположном направлении

Движение по течению реки

S=(V n +V r )*t+(V n -V r )*t

Задача. За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что, за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч .

(х+2)*9=(х-2)*11

-2х=-40

х=20км/ч

11-9=2 часа

40/2=20км/ч

Возьмем всем известные задачи на работу. Из учебника Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие. И.Ж. Ибатуллина. М: БИНОМ, 2013г.

Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая в одиночку, второй рабочий сможет выполнить все задание?

; 6(25-х+х)=х(25-х), х 2 -25х+150=0, х(х-15)-10(х-15)=0; (х-15)(х-10)=0;

х=15дней пол работы, 15*2=30 дней вся работа.

АС и BD – графики зависимости выполненного объема работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.

Время совместной работы – 12 дней, на рисунке имеем: BF = AE = 12.

АМ – время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работ (второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Сказано, что рабочим необходимо 25 дней, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда

АМ = 2 · 25 = 50 дней. Пусть ЕD = x, тогда

DM = 50 – 12 – x = 38 – x;

FC = BC – BF = (38 – x) – 12 = 26 – x.

Рассмотренные конкретные примеры говорят о том, что применим геометрический метод для решения текстовых задач.

Возьмем сюжетную задачу

В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего продано 392 билета?

(392-36)/2=178 билетов, 178+36=214 билетов

х=178 билетов-в одной кассе,

178+36=214 билетов в другой кассе

Задачи государственной итоговой аттестации полностью задания прототипов 15 и 17 текстовые задачи с геометрическим содержанием приведу примеры из Банка данных ГИА.

№ 1. 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

( 31-6) 2 +60 2 = 4225, расстояние 65. Теорема Пифагора.

№ 2. На карте показан путь Лены от дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите длину пути (в м), если масштаб 1 см : 10 000 см.

Умение читать график. 14*10000=140000см=1км400м=1400м

№ 3. Определите высоту дома, ширина фасада которого равна 8 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

Треугольник на крыше дома равнобедренный. Значит высота и медиана одновременно, рассмотрим египетский треугольник Высота 3 м крыши, вся высота 3+4=7м.

№ 4. Лестница соединяет точки и , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту (в метрах), на которую поднимается лестница.

Ступеньки имеют форму прямоугольного треугольника с катетами 14 и 48 см. Найдём гипотенузу каждого из них: 14 2 + 48 2 =2500; 50см=0,5м

Так как расстояние от A до B равно 25 метрам можем найти количество ступеней: 25 : 0,5 = 50 шт.

50 · 14 см = 700 см = 7 м.

№ 5 . Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры

Средняя линия равна полу сумме оснований трапеции: (1,8+2,8)/2=2,3м

Любую текстовую задачу можно наглядно представить через ее решение. Это может быть решение на числовом луче, координатной плоскости, построением геометрических фигур и описанием их свойств, а также построением графиков функций . Д остоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий.И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат. Графический способ экономит время.

4 . Результаты ребят нашего класса.

Далее мы предложили ребятам решить следующие примеры сборника ГИА, различными способами.

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.
Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

В 7 «А» классе обучается 24 человека.

Алгебраическим способом решили

Геометрическим способом решили

Гипотеза подтвердилась. Любую текстовую задачу можно наглядно представить через ее решение. Это может быть решение на числовом луче, координатной плоскости, построением геометрических фигур и описанием их свойств, а также построением графиков функций. Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат. Графический способ экономит время.

В дальнейшем перед собой ставлю задачу, рассмотреть геометрический метод решения задач через свойства геометрических фигур.

источники:

http://infourok.ru/metodicheskiy-proekt-rabota-s-tekstom-na-urokah-matematiki-na-primere-resheniya-zadach-3914747.html

http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2017/01/09/geometricheskie-postroeniya-tekstovyh-zadach