Подобные слагаемые, их приведение, примеры
Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.
Определение и примеры подобных слагаемых
В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.
Рассмотрим сумму двух слагаемых 3 · a + 2 · a . В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть, которая представлена буквой a . Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа 2 и 3 в данном случае являются числовыми коэффициентами.
Рассмотрим сумму 5 · x · y 3 · z + 12 · x · y 3 · z + 1 . Здесь подобными являются слагаемые 5 · x · y 3 · z и 12 · x · y 3 · z , которые имеют одинаковую буквенную часть x · y 3 · z . Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень y 3 . Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что y 3 по сути является произведением y · y · y .
Числовые коэффициенты 1 и − 1 в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма 3 · z 5 + z 5 − z 5 состоит из трех слагаемых 3 · z 5 , z 5 и − z 5 , которые являются подобными. Здесь z 5 – это одинаковая буквенная часть, 3 , 1 и — 1 – коэффициенты.
Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма 5 + 7 · x − 4 + 2 · x + y представлена 4 подобными слагаемыми, два из которых ( 5 и — 4 ) не имеют буквенной части.
Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:
3 · 5 · a — 2 · 5 · a + 12 · 5 · a .
Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение 5 · a .
По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении 4 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 0 , 5 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 1 . Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью ( x 2 + x − 1 / x ) .
Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.
Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.
Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.
Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.
Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение 2 · x · y + 3 · y · x можно переписать в виде 2 · x · y + 3 · x · y . Тогда слагаемые будут подобны.
К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:
- перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
- вынесение за скобки буквенной части;
- вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.
Приведем пример таких вычислений.
Возьмем выражение 3 · x · y + 1 + 5 · x · y . Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 3 · x · y + 5 · x · y + 1 .
Теперь вынесем за скобки буквенную часть: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 .
Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 = x · y · 8 + 1 .
Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью: x · y · 8 + 1 = 8 · x · y + 1 .
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.
Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3 · x · y + 1 + 5 · x · y коэффициентами подобных слагаемых 3 · x · y и 5 · x · y являются числа 3 и 5 . Сумма коэффициентов равна 8 . Умножим ее на буквенную часть и получим: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 8 · x · y + 1 .
Приведите подобные слагаемые: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 .
Решение
Начнем с приведения подобных слагаемых 0 , 5 · x и 3 , 5 · x . Используя правило, сложим их коэффициенты 0 , 5 + 3 , 5 = 4 . Умножим буквенную часть на полученный результат 4 · x .
Теперь займемся приведением подобных слагаемых без буквенной части: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4 . Вспомним правило сложения чисел с разными знаками и выполним вычитание обыкновенных дробей. Получим: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4
Итог: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .
Приведем краткую запись решения: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = ( 0 , 5 · x + 3 , 5 · x ) + ( 1 2 − 1 4 ) = 4 · x + 1 4 .
Ответ: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .
Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством a · ( b + c ) = a · b + a · c . Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде a · b + a · c = a · ( b + c ) .
6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых
1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.
Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.
Примеры. Раскрыть скобки.
1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.
2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».
Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
Примеры. Раскрыть скобки.
2б) — (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d;
2в) — (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b.
3. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с.
Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).
Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
Примеры. Привести подобные слагаемые.
3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а;
3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m;
3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.
4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.
Примеры. Привести подобные слагаемые.
4а) -4а +5с-11с -20а = (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с;
4б) 3,2х +5,6у -8х -3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у;
4в) 8 m -3k +7 m -2k+12k +13 m = (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k.
5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры. Раскрыть скобки.
5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙ 4х+2 ∙ (-5) = 8х-10у;
5б) -3 (4а+7с) = -3 ∙ 4а-3 ∙ 7с = -12а-21с;
5в) -6 (-а+4с) = -6 ∙ (-а) -6 ∙ 4с = 6а-24с.
6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.
Примеры. Упростить выражение.
6а) (3х+у) -2 (5х-у) = 3х +у -10х +2у = -7х+3у;
6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах +4,5х -4ах = 4,5х-ах;
6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х -6у +6х -3у = -9у.
7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить:
Повторение: приведение подобных слагаемых
Летняя онлайн-школа по математике задание 17 июля для 6 класса.
Повтори правило приведение подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты и результат сложения умножить на буквенную часть.
Реши задание, ответы впиши в форму и отправь на проверку.
Задание: приведи подобные слагаемые
Примеры на приведение подобных слагаемых
Рассмотрим где применяется сложение подобных слагаемых.
Пример 1
Приведите подобные слагаемые: 3х + 15у – 2х – 20у + 7х.
В примере два вида подобных слагаемых, с x и y. Собираем их в разные скобки. Между скобки ставим знак «+».
3х + 15у – 2х – 20у + 7х = (3x — 2x +7x) + (15y -20y) = (3 — 2 + 7)x + (15 — 20)y =
= 8x + (- 5y) = 8x — 5y.
Пример 2
Приведите подобные слагаемые 3(2k — 4c) — (-6k + c).
Сначала упрощаем выражение: раскрываем скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно сложения, и правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-» (скобки опускаются, а знаки перед слагаемыми меняются).
3(2k — 4c) — (-6k + c) = 6k — 12c + 6k — c = (6k + 6k) + (- 12c — c) = 12k + (- 13c) = 12k — 13c.
Пример 3
Упростите выражение -10(7x — 1) + 5(6 — 4x).
Раскроем скобки и сложим подобные слагаемые.
-10(7x — 1) + 5(6 — 4x) = — 70x + 10 + 30 — 20x = (-70x — 20x) +(10 + 30) = -90x + 40.
Пример 4
Решите уравнение 5,4(3y — 2) — 7,2(2y — 3) = 1,2.
Чтобы решить данное уравнение, нужно преобразовать левую часть: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
5,4(3y — 2) — 7,2(2y — 3) = 1,2;
16,2y — 10,8 — 14,4y + 21,6 = 1,2;
(16,2y — 14,4y) + (21,6 — 10,8) = 1,2;
Переносим 10,8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.
y = — 9,6/1,8 = — 96/18 = — 5 6/18 = — 5 1/3.
Приведение подобных слагаемых используется так же и при решении текстовых задач на составление уравнения.
http://mathematics-repetition.com/6-4-2-raskrtie-skobok-privedenie-podobnh-slagaemh/
http://mathembox.xyz/2021/06/20/povtorenie-privedenie-podobnyh-slagaemyh/