Равнопеременное движение
Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.
Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.
Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;
Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.
Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.
При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.
Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».
Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.
Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.
Равноускоренное движение
Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.
Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.
Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).
Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.
В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.
Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.
Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:
\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]
Уравнение движения выглядит так:
\[ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.
Равнозамедленное движение
Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.
Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.
На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.
В начале и в конце пути скорости будут различаться.
Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.
Связь между скоростями выглядит так:
\[ v = v_ <0>— a \cdot t \]
А уравнение движения имеет такой вид:
\[ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac
Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_<0>\), получим:
\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac
Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.
Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси
Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).
А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.
Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».
Запишем связь между скоростями:
\[ v = — v_ <0>+ a \cdot t \]
Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:
\[ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.
Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.
Мгновенная скорость
Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.
Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:
\[ v = v_ <0>\pm a \cdot t \]
Знак ускорения зависит его направления.
Средняя скорость
Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.
Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.
Примечания:
- Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
- Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
- Если скорость изменяется, появляется ускорение.
Формула для расчета средней скорости:
\( S_<\text<весь>>(\text<м>) \) – полный путь, пройденный телом;
\( t_<\text<полное>> \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.
Прямолинейное равнопеременное движение
Прямолинейное равнопеременное движение — движение тела вдоль прямой, характеризующееся постоянным по модулю и направлению линейным ускорением.
Траектория такого движения — прямая, поэтому в задачах равнозначными являются понятия пути и модуля перемещения. Такое движение может быть описано несколькими соотношениями:
- вектор скорости тела при равнопеременном движении
- где
- — вектор конечной скорости движения
- — вектор начальной скорости движения
- — вектор ускорения
- — время движения
- вектор перемещения тела при равнопеременном движении
Однако это векторные уравнения, с которыми работать достаточно сложно, а иногда, просто не хочется. Попробуем, анализируя условия задачи, составить уравнения скалярного вида, спроецировав вектора на некую ось.
Рис. 1. Равноускоренное движение 1
Пример 1. Тело движется прямо с начальной скоростью и ускоряется. По задаче выставляем вектора на ось OX (движение прямолинейное) (рис. 1). Сказано, что тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси) и ускоряется (вектор также направлен вдоль оси). Осталось зафиксированные вектора спроецировать:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
В общем случае, мы не можем предугадать направления векторов и , соответственно, мы не можем указать точный знак проекции этих векторов на выбранную ось. Но не заморачиваемся: в результате решения задачи мы получим одно и то же по модулю число, даже если ошибёмся. Т.е. выбираем направления как хотим, а потом анализируем ответ.
Рис. 2. Равноускоренное движение-2
Пример 2. Тело движется в положительном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против оси OX (рис. 2). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Рис. 3. Равноускоренное движение-3
Пример 3. Тело движется в отрицательном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против движения, а значит, по оси OX (рис. 3). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Рис. 4. Равноускоренное движение-4
Пример 4. Тело движется в отрицательном направлении оси и ускоряется. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а ускорение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен в сторону движения, а значит, против оси OX (рис. 4). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Вывод: только что мы получили восемь различных формул, применимых для решения задач. Очень не хотелось бы их помнить. К счастью, есть выход: запомнить и понять векторный вид этих уравнений (1) и (2), а далее, применительно к данной вам задаче, просто адаптировать их, используя проекции.
Кроме формул (1) и (2), имеется ещё одна расчётная формула, которая чаще всего используется, когда в задаче на нужно найти время или его не дано. Воспользуемся уже имеющимися (1) и (2), считая движение тела равноускоренным. Выделим из (1) время:
Подставим (3) в (2) при условии :
Таким образом, мы получили формулу, в которой нет параметра времени.
Равнопеременное движение.
Равнопеременным движением точки называется движение, при котором тело за равные промежутки времени изменяется одинаково.
Под равнопеременным движением понимают: равноускоренное движение (когда модуль скорости увеличивается, т. е. ускорение параллельно скорости — ), и равнозамедленное движение (когда модуль скорости уменьшается, т. е. ускорение антипараллельно скорости — ).
Ускорение и скорость при равнопеременном движении.
Ускорение равнопеременного движения — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Спроектировав ускорение и скорость на направление движения, получим следующий вид уравнения:
где υ0 — скорость в начальный момент времени, принятый за нуль; υ – текущее значение скорости. При определении ускорения тела из состояния покоя (равноускоренное движение, где начальная скорость υ0 = 0) формула имеет вид:
При равнозамедленном движении, когда нулю равна не начальная, а конечная скорость, формула принимает вид:
Из первой формулы можно вывести формулу скорости:
http://www.abitur.by/fizika/teoreticheskie-osnovy-fiziki/mexanicheskoe-dvizhenie/pryamolinejnoe-ravnoperemennoe-dvizhenie/
http://www.calc.ru/Ravnoperemennoye-Dvizheniye.html