Уравнения равновесия для всей фермы

Фермы и их расчёт

Содержание:

Фермой называется шарнирно-стержневая геометрически неизменяемая конструкция.

Плоская ферма – частный случай пространственной конструкции, у которой один из поперечных размеров либо мал по сравнению с другими размерами, либо не существенен для распределения внутренних усилий.

Реальная ферма, может не иметь идеальных шарнирных соединений в узлах, соединения стержней между собой в узлах являются жесткими, а не шарнирными, с помощью сварки, заклепок, болтов или других скреплений.

Плоские фермы конструируют таким образом, что приложенная к ферме нагрузка передается в узлах, вследствие чего, в сечениях элементов ферм не возникают поперечные силы и изгибающие моменты, стержень работает только на продольные усилия – растяжение или сжатие, и, следовательно, реакции стержней будут направлены вдоль этих стержней.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Ферма и их расчет

Ферма — это жесткая конструкция, которая состоит из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирами. Место, где стержни соединяются друг с другом, носит название узла фермы. Внешняя нагрузка прикладывается к ферме только в ее узлах. Ферма состоит из идеальных стержней, то есть тонких, однородных, невесомых
стержней, на концах которых шарниры, которые работают на растяжение или на сжатие.
Мы будем рассматривать фермы, в которых оси всех стержней и векторы внешних сил содержатся в одной плоскости, то есть, плоские фермы. Помимо этого, конструктивно ферма состоит из стержней, которые образуют собой треугольники, то есть в конструкции фермы нет лишних стержней. такие фермы являются жесткими и статически определенными. В них число стержней n и число узлов m всегда связано таким соотношением

Расчет фермы сводится к определению ее опорных реакций и усилий в стержнях.

Рассмотрим простую плоскую ферму (рис. 1.26).

Как видно из схемы — это плоская конструкция, которая состоит из 7 стержней, которые соединяются в 5 узлах. В узлах I и V ферма имеет опоры (в I-ом узле — неподвижная шарнирная опора; в V-м — подвижная шарнирная опора), к II и к IV узлу фермы приложены внешние нагрузки в виде сосредоточенных сил и ( = 30 kH; = 10 kH). Линейные и угловые размеры фермы данные на схеме (α = 45º). Оси плоской декартовой системы координат I xy показаны на схеме фермы.

Первый этап расчета фермы — это определение ее опорных реакций. Определяют опорные реакции, рассматривая ферму в целом, как твердое тело с приложенными внешними силами. Тогда, условно освобождая ферму от связей (опор) и заменяя их соответствующими реакциями (в узле I это реакции _I, _I; в узле V — _V), имеем плоскую систему произвольных сил, для которой можно использовать условия равновесия и составить систему уравнений равновесия:

Из первого уравнения системы вычисляем неизвестную реакцию X_I. она равна

Из последнего уравнения вычисляем реакцию R_V:

Далее, из второго уравнения является возможность вычислить последнюю неизвестную
величину Y_I. Она будет равняться

Таким образом, вычислено искомые реакции опор фермы. Теперь необходимо определить неизвестные усилия в стержнях фермы. существует несколько способов определения этих усилий, графические и аналитические. Мы рассмотрим два аналитические методы: метод вырезания узлов и метод сечений (или метод Риттера). Рассмотрим последовательно эти методы.

Метод вырезания узлов

Этот метод заключается в последовательном вырезании (мысленно) узлов фермы,
начиная с узла где совпадают два стержня с неизвестными внутренними усилиями. Таким образом, каждый узел — это плоская система сходящихся сил, для которой можно составить два уравнения равновесия, из которых определяют неизвестные усилия в этих двух стержнях.

При применении этого метода принимается правило, согласно которому реакции
стержней направляются от узлов. Если же при определении реакции стержня произойдет, что она имеет отрицательный знак, то этот стержень сжат и действительное направление его реакции ориентировано к узлу.

Определим данным методом усилия в стержнях фермы, приведенной на рис. 1.26. Вырезаем сначала узел I (рис. 1.27). Кроме реакций _I и _I к нему приложены неизвестные реакции стержней 1 и 2, которые обозначаются и и направление которых, по правилу, от узла. Покажем в этом вырезанном узле I оси координат xIy и угол α. Как видно из схемы, узел и находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил с двумя неизвестными усилиями: и . Составим для узла и уравнения равновесия,
используя условия равновесия для плоской системы сходящихся сил в виде. Будем иметь

Из второго уравнения определяем усилия S₁. Оно равно

Как видим, стержень 1 сжатый усилиям 35,3 kH. С первого уравнения определим неизвестное усилие S₂

Таким образом, стержень 2 растянутый усилием 15,00 kH.

Далее вырезаем узел ІІ (рис. 1.28). В этом узле сосредоточены внешняя сила и усилия трех стержней , и . Причем неизвестные усилия только в двух стержнях — в 3 () и в 4 (). Также предварительно считаем, что стержни 3 и 4 растянуты, и их усилия и
направлены от узла ІІ. Усилия же в стержне 1 уже определено ранее, при вырезании первого узла, и не только установлено ​​его значение, но и то, что он сжат, поэтому направление его реакции будет к узлу ІІ. Проведем через узел ІІ оси координат xy и покажем угол α.

Составим для узла ІІ уравнения равновесия, также используя условия, аналогичные предыдущим.

Из второго уравнения определяем усилия S₃. Оно будет равняться

Как видим, стержень 3 сжатый усилиям 7,00 kH. Направление реакции S₃ — к узлу ІІ.

Из первого уравнения находим усилия S₄. Оно равно

Таким образом, стержень 4 сжатый усилием 20,00 kH.

Далее вырезаем узел IV (рис. 1.29). Он находится под действием внешней силы и усилий в стержнях 4, 5 и 7. Усилия в стержне 4 определено и его направление — к узлу, а потому неизвестны — только усилия и . Проведем через узел IV оси координат xy и покажем угол α. Направления усилий в стержнях 5 и 7 — от узла IV. Составим для узла IV уравнения равновесия, также используя условия равновесия:

Решаем систему, для чего из второго уравнения выразим усилия S₅ через усилия S₇. Оно будет равняться

Теперь подставим значение S₅ в первое уравнение системы. Будем иметь

Стержень 7 сжатый усилием 7,00 kH. Теперь есть возможность найти усилие S₅. Оно равно

Стержень 5 растянутый усилием 7,00 kH.

Теперь, для окончательного определения усилий в стержнях фермы, что рассматривается, необходимо вырезать узел V. К узлу V приложена реакция , усилия , которое направлено к узлу, и неизвестно усилию , которое направляем от узла. Составим для узла V уравнения равновесия, используя условия равновесия:

Как видим, для определения последнего неизвестного усилия S₆ достаточно решить первое уравнение системы. Найдем S₆ :

Стержень 6 растянутый усилием 5,00 kH.

Данные расчетов заносим в таблицу 1.1. Знак при определенном усилии в стержне показывает характер его нагрузки. Если он положительный («+»), То стержень растянут, если отрицательный («–»), то стержень сжат.

Метод Риттера

Рассмотрим второй аналитический метод определения усилий в стержнях плоской фермы. Это метод Риттера, или метод сечений.

Данный метод имеет несколько преимуществ по сравнению с рассмотренным ранее
методом вырезания узлов. Здесь нет необходимости составлять большое количество уравнений равновесия узлов, особенно когда ферма многостержневая. Кроме того, в случае неточности расчета какого-то стержня, в дальнейшем эта ошибка накапливается при расчетах других стержней. Метод Риттера лишен этих неудобств.

Особенность применения этого метода состоит в том, что условно делается сечение всей фермы, при этом в сечении должно быть не больше, чем три стержня с неизвестными усилиями. Тогда рассматривается равновесие одной из частей фермы, а вторая часть отбрасывается. Действие стержней, которые попали в сечение, заменяем их реакциями. предварительно считается, что эти стержни также растянуты, то есть их усилия направлены от узлов. Опорные реакции фермы определяются так же, как и при
применении метода вырезания узлов.

Определим усилия в 4, 5 и 6 стержнях фермы, сделав сечение и рассматривая равновесие правой части фермы (рис. 1.31). Вместо указанных стержней прикладываем в узле IV усилия и а в узле V — усилие . Направления указанных усилий — от узлов. К данной части фермы приложена внешняя сила и реакция . Покажем оси прямоугольной декартовой системы координат Vxy и угол α. Как видим, данная часть
фермы находится в равновесии под действием плоской системы произвольных сил, а
для этого составим для нее уравнения равновесия, используя условия равновесия. Согласно методу Риттера надо составлять уравнения равновесия, как суммы моментов сил относительно тех точек, где пересекаются линии действия большего количества неизвестных усилий. В данном случае такими точками будут точки ІІІ и IV. В отношении этих точек возьмем моменты сил.

Вычислим неизвестные усилия. Из первого уравнения — усилия S₅:

Из второго уравнения — усилия S₄. Оно будет равняться

Таким образом, стержень 4 сжатый усилиям 20,00 kH, направление усилия S₄ будет противоположный тому, который был показан на рис. 1.31.

Расчет плоских ферм

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой на концах шарнирами и образующих геометрически неизменяемую систему. Шарнирные соединения стержней фермы называют её узлами. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской.

Основные понятия о плоских фермах

Фермой называется геометрически неизменная конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных в узлах шарнирами (рис. 8.1).

Основная задача, о которой будет идти речь далее, заключается в определении внутренних усилий, возникающих в стержнях фермы под действием внешних активных сил.

Приведенное определение фермы имеет одно существенное упрощение, которое позволяет усилия в стержнях фермы находить методами теоретической механики. Этим упрощением является допущение о шарнирном соединение стержней фермы.

В реальных фермах стержни соединены жестко с помощью электросварки, клепки и тому подобное. Однако, как показывают исследования в строительной механике, сделано допущение о способе соединения стержней фермы позволяет найти приближенное значение усилий с достаточной точностью.

Фермы используются в качестве несущих конструкций в различных сооружениях: в мостах, в перекрытиях зданий, в подъемных кранах, каркасах самолетов тому подобное.

Места соединения стержней фермы называются узлами, а те узлы, которыми ферма опирается на основу — опорными узлами. Стержни, размещены по верхнему контуру фермы, образуют верхний пояс, а по нижнем — нижний пояс (См. Рис. 8.1).

Вертикальные стержни называются стойками, а наклонены — раскосами.

Фермы бывают пространственные и плоские. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, такая ферма называется плоской, если нет — то пространственной. В этом разделе ограничимся рассмотрением только плоских ферм.

Расчет ферм существенно упрощается, если сделать такие допущения:
1) трения в шарнирах отсутствует;
2) заданные силы, действующие на ферму, лежат в плоскости фермы и приложенные в узлах;
3) собственный вес стержней малый по сравнению с заданными силами и ею можно пренебречь.

Если выполнять эти условия, каждый стержень фермы будет работать на растяжение или сжатие и не испытывать деформации изгиба, в чем и есть преимущество фермы как строительной конструкции. Действительно, при условии, что все усилия приложены в узлах фермы и отсутствует трение в шарнирах, каждый стержень будет находиться под действием только двух сил, которые приложены к его концов. Согласно с первой аксиомой статики, при равновесии линия действия этих сил должна проходить через их точки приложения. Итак, силы, приложенные к стержню фермы, будут обязательно направлены вдоль стержня, и поэтому приводить его сжатие или растяжение.

Сделанные допущения оправданы тем, что, во-первых, трения в шарнирах малое по сравнению с заданными силами и им можно пренебречь; во-вторых, если сила приложена не у узле фермы, то ее можно разложить на составляющие, которые будут приложены в узлах.

Для того чтобы ферму можно было использовать как несущую конструкцию в инженерных сооружениях, необходимо обеспечить ее жесткость.

Определим условия, при которых ферма будет жесткой (геометрически неизменной).

Условие жесткости фермы

Найдем наименьшее число стержней N, необходимых для построения геометрически неизменяемой (жесткой) фермы, которая имеет n узлов.

Простой, геометрически неизменной фермой является конструкция, состоит из трех узлов, соединенных тремя стержнями. для жесткого присоединения каждого из последующих узлов необходимо два стержня (Рис. 8.2). Полученная таким образом новая конструкция также будет геометрически неизменной фермой.

Следовательно, для обеспечения жесткости фермы (т.е. исключения относительных
перемещений стержней) необходимо, чтобы число стержней равнялось

то есть

Пример неизменной жесткой фермы показано на рис. 8.3, а.

Если число стержней то конструкция будет геометрически переменной (рис. 8.3, б), а если то ферма будет содержать лишние стержни (рис. 8.3, в).

Уравнение (8.1) называется условием жесткости фермы. Заметим, что равенство (8.1) является необходимым условием жесткости фермы, но не достаточным. Для конструкции, изображенной на рис. 8.3, г, условие (8.1) выполняется, но эта система геометрически переменная. Для обеспечения геометрической неизменности фермы условие (8.1) должно выполняться как для всей фермы, так и для отдельных ее частей (решеток).

Статически определенные фермы

Статическую определенность фермы устанавливают по количеству реакций опор и числом стержней фермы.

Заметим, что ферма является неизменной системой, поэтому, как известно из предыдущего, неизвестных опорных реакций не должно быть более трех. В противном случае задача определения опорных реакций для данной фермы является статически неопределенной.

Рассчитывая фермы, кроме трех неизвестных реакций, нужно еще определить усилия в стержнях фермы. Выясним, сколько независимых уравнений статики можно составить для определения этих неизвестных сил. для этого используем метод вырезания узлов.

На каждый вырезанный узел фермы будет действовать плоская система сходящихся сил, которая состоит из внешних сил (активных и реакций связей) и внутренних усилий в стержнях. Поэтому система сил, приложенная к узлу, должна удовлетворять двум уравнениям равновесия

Следовательно, при равновесии фермы, которая имеет n узлов, все действующие на ферму
внешние силы и усилия в стержнях должны удовлетворять 2n уравнением.

С равновесия отдельных узлов фермы следует равновесие фермы в целом, а потому три уравнения равновесия записанные для всей фермы, будут линейными комбинациями первых уравнений, которые являются независимыми.

К 2n уравнениям будут входить три неизвестные реакции связей и внутренние усилия в стержнях. Из этих уравнений можно найти — неизвестных внутренних усилий в стержнях. Если число стержней фермы эти усилия могут быть определены из уравнений статики, и такая ферма называется статически определенной; если усилия в стержнях с помощью одних лишь уравнений статики абсолютно твердого тела определить невозможно и ферма будет статически неопределенной. Заметим, что условие жесткости фермы (8.1) действительно для плоской фермы и является условием статической определенности.

Методы нахождения усилий в стержнях статически неопределенных ферм рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики. В курсе
теоретической механики рассматривают только статически определенные фермы.

Существует три основных метода нахождения усилий в стержнях статически определенных ферм: вырезания узлов Риттера и графический (построения
диаграммы Максвелла-Кремоны).
Остановимся только на двух аналитических методах.

Метод вырезания узлов

Суть метода вырезания узлов заключается в том, что рассматриваем равновесие каждого узла в отдельности. Для этого вырезаем узлы фермы, прикладываем к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляем уравнение
равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Поскольку в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты, условно допускаем, что все стержни растянуты. В этом случае реакции стержней направляем от узлов. Если в результате вычислений получим значение реакций некоторых стержней со знаком минус, то это будет означать, что эти стержни сжаты. Найденные реакции стержней по модулю равны внутренним усилием в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов определяется по условию: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать количества уравнений равновесия сил, то есть двух.

Проиллюстрируем этот метод на конкретном примере.

Задача 1. Найти усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 8.4, методом вырезания узлов, если к узлу D фермы приложено вертикальную силу

Решение. В этой ферме число узлов n = 8, а число стержней N = 13. Итак, условие (8.1) выполняется и ферма является жесткой без лишних стержней, то есть статически определенной.

Составим уравнения равновесия для всей фермы и найдем реакции опор А и В:

Переходим к определению усилий в стержнях. Условно вырежем все узлы фермы, сохраняя последовательность, указанную выше. реакции стержней обозначим через (рис. 8.5). На основе закона равенства действия и противодействия

Для сил, которые совпадают в каждом узле, составим последовательно уравнения равновесия. Расчет начнем с узла А, в котором приложены только две неизвестные силы и

Равновесие последнего узла В можно не рассматривать, поскольку все усилия найдены. Если правильно найдены все усилия, то условия равновесия узла В будут выполняться тождественно.

Полученные усилия в стержнях 1, 4, 8 и 12 отрицательные, и это означает, что стержни сжаты.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы, как видно из приведенного примера, могут равняться нулю. Такие стержни принято называть нулевыми.

Сформулируем леммы, которые позволяют найти нулевые стержни плоской фермы, не проводя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержни, то усилия в этих стержнях равны нулю.
Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержни, два из которых расположены на одной прямой, то усилия в третьем стержни равна нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой.
Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилия в этом стержни равна по модулю приложенной силе, а усилия во втором стержне равна нулю.

Довести эти леммы предлагается самостоятельно.

Методом вырезания узлов выгодно пользоваться тогда, когда нужно найти усилия во всех стержнях фермы. Этот метод хоть и простой, но громоздкий и нерациональный в тех случаях, когда нужно найти усилия не во всех стержнях фермы, а только в отдельных. Например, для нахождения усилий только в одном стержне приходится рассматривать
последовательно равновесие определенного количества узлов, пока не будет найдено усилия в нужном стержни. Этот недостаток отсутствует в методе Риттера.

Метод Риттера

Метод Риттера состоит в том, что после нахождения реакций опор ферму условно разрезают на две части так, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями, и рассматривают равновесие одной из частей фермы. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, то есть считают, что стержни розтянути (как в методе вырезания узлов).

На часть фермы, которую рассматриваем в равновесии, будут действовать внешние силы и реакции разрезанных стержней. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия.

Уравнение выгодно записывать в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно трех разных центров,которые являются точками, в которых попарно пересекаются разрезанные стержни или их продолжение. Эти точки носят название точек Риттера. В каждое из уравнений моментов относительно трех точек Риттера будет входить лишь одно неизвестное, а именно усилия в том стержни, ось которого через эту точку не проходит. Покажем это на примере.

Задача 2. Методом Риттера найти усилия в стержнях 4, 5 и 6 фермы, изображенной на рис. 8.4.

Решение.Реакции опор фермы найдены в предыдущем примере Условным сечением разделим ферму на две части по стержнях 4, 5, 6 (рис. 8.4) и рассмотрим равновесие левой от сечения части фермы.

Действие правой части на левую заменяем реакциями и(Рис. 8.6).

Для плоской системы сил, которая действует на левую часть фермы, составляем три уравнения равновесия:

где и — точки Риттера, которые показаны на рис. 8.6.

Индексация точек Риттера выбрана так, что уравнение моментов, записанное относительно каждой точки , содержит только одно неизвестное усилиев стержне под номером

Решая эту систему уравнений, получим:

Величины найденных усилий совпадают с полученными ранее методом вырезания узлов.

Аналогично можно найти усилия и в других стержнях фермы. Из приведенного примера видно, что уравнение равновесия не связаны между собой, а потому для нахождения усилий в одном стержне достаточно составить лишь одно из этих уравнений.

Фермы. Способы определения усилий в стержнях ферм

Основными способами определения усилий в стержнях ферм являются: — способ вырезания узлов; — способ сечений Риттера; — графический способ определения усилий в стержнях фермы с помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны; — метод построения веревочного многоугольника.

Простейшие фермы

Фермами называются конструкции, которые состоят из прямолинейных стержней, которые соединены между собой шарнирами и образуют неизменную геометрическую фигуру (рис. 4.1). При расчете ферм весом стержней пренебрегают и считают, что шарниры размещены только на концах стержней; нагрузки, действующие на ферму, приложенные в шарнирах (т.е. в узлах фермы). В этом случае каждый стержень фермы испытывает усилия, действующие вдоль оси стержня, то есть будет растянут или сжат.

С всего класса геометрически неизменных ферм без лишних стержней выделим простые фермы. Их построение происходит так: рассматривается основной треугольник, к нему двумя стержнями присоединяется новый шарнир (узел) и и. д. В дальнейшем будем изучать простые, плоские фермы, где их стержни расположены в одной плоскости.
По своему назначению зачастую фермы делятся на мостовые, стропильные и крановые (рис. 4.1). Установим зависимость между количеством стержней и количеством шарниров (узлов) в простых фермах.
Рассуждаем так: для образования основного треугольника нужно три стержня и три шарнира. Для образования каждого из остальных шарниров (узлов) необходимо два стержня для постоянного соединения с основой фермы. Итак, общее количество стержней в простой ферме с учетом трех стержней основного треугольника определяется так:

(4.1)

Основной задачей расчета простых ферм является определение усилий в стержнях фермы, которые являются внутренними силами, возникающими в стержнях под действием внешних сил. Эту задачу можно решить методами теоретической механики.

Определение усилий в стержнях фермы

Ограничимся двумя способами определения усилий в стержнях простой фермы: способом
вырезания узлов (графически-аналитический метод) и способом Риттера (аналитический метод).

Способ вырезания узлов

Этот способ заключается в том, что каждый узел вырезается из
фермы и рассматривается отдельно как таковой, что находится в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил и усилий разрезанных стержней. Система сил, действующей на узел, является плоской системой сходящихся сил, которая находится в равновесии; следовательно, силовой многоугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнутым. Построение силовых многоугольников (треугольников) следует начинать с узла, в которых сходятся два стержня, тогда построением замкнутого треугольника (третья сторона отвечает известной заданной силе, прилагаемой в узле) найдутся усилия в этих двух стержнях. После этого можно переходить к следующему узлу и т. Д. Каждый следующий узел выбирается так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней с неизвестными усилиями. Так графически будут определены усилия во всех стержнях. Если усилия разрезанных стержней направлены по стержнях в сторону узла, то они сжимающие, в противном случае — растяжимые.
Формально условия равновесия узлов фермы включают в себя условия равновесия фермы в целом, то есть позволяют найти и внешние реакции. Более того, предварительное определение внешних реакций фермы существенно упрощает решения задачи. Рассмотрим способ вырезания узлов на примере расчета усилий в стержнях фермы, показанной на рис. 4.2.

Пример 1. В узле В фермы приложена сила Опорами фермы будут шарнир А и каток С. Определить: реакции опор , усилия стержней в узлах А и D.
Решение. Рассмотрим ферму как твердое тело, которое находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил (в этом случае реакция шарнира будет параллельная силам и , иначе система сил , а следовательно, сама ферма не была бы в равновесии). Проведем ось параллельно силам системы и составим условия равновесия в виде (3.21)

откуда найдем

Определение усилий в стержнях начнем с рассмотрения узла А, в котором сходятся два стержня: 1 и 7. Строим замкнутый треугольник из сил , (рис. 4.2). Для этого в соответствующем масштабе строим вектор, равный вектору реакции , с конца которого проводим прямую, параллельную стержню АВ, а с начала — прямую, параллельную стержню AD. С построенного треугольника находим усилия и . Изображая эти усилия в узле А, видим, что направлено к узлу А по стержню АВ, следовательно, оно — тяговое, а усилия S7 направлено от узла А по стержню AВ, то есть оно — растяжимое. Растяжимое усилия обозначается знаком плюс, а сжимающее — знаком минус. Теперь рассмотрим равновесие сил в узле , в котором остаются только две неизвестные силы: и . Реакция стержня 7, который выходящий из узла равна и противоположная по направлению его же реакции, но приложена в узле А. Опять строим замкнутый треугольник сил: откладываем силу , с ее конца проводим прямую, параллельную стержню 2, сначала — прямую, параллельную стержню 6, и определяем величины и направления усилий и . Аналогично можно определить другие усилия:

Неудобство этого способа заключается в его громоздкости, поскольку приходится строить столько многоугольников, сколько узлов в ферме. Объединение разных многоугольников сил в одну диаграмму осуществили независимо друг от друга английский физик Максвелл и итальянский геометр Кремона, в честь которых эту диаграмму назван диаграммой Максвелла — Кремоны.

Способ Риттера

Этот способ позволяет найти усилия в любом стержни фермы независимо от усилий в других стержнях. Однако предварительно необходимо определить реакции опор фермы.
Способ Риттера состоит в том, что ферма рассекается на две части так, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями, которые не сходятся в одном узле. Отвергая отсеченную часть фермы и рассматривая равновесие той части, оставшейся под действием приложенных внешних сил и усилий, которые заменяют действие рассеченных стержней, получим для этой части фермы три уравнения равновесия с тремя неизвестными усилиями. Чаще всего эти уравнения являются условиями равенства нулю алгебраических сумм моментов сил относительно трех разных центров моментов, за которые выбирают точки парного пересечения рассеченных стержней с числа перерезанных. Эти точки называются точками Риттера.
Если два стержня из трех рассеченных параллельны, то одна точка Риттера удаляется в бесконечность. Тогда составляют два уравнение моментов сил и одно уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную к параллельным стержням.

Пример 2. Определить усилия в стержнях 1, 2, 3 фермы, если а другие размеры показано на рис. 4.3.
Решение. Найдем реакции в опорах фермы и . Реакция катка В направлена ​​по нормали к опорной плоскости, а поскольку на ферму действует система параллельных сил то и реакция шарнира А будет параллельной этим:

Отсюда находим Проведем сечение через стержни 1,2,3 и рассмотрим равновесие той части рассеченной фермы, в которой приложено меньшее количество сил. В рассматриваемом случае — это правая часть фермы. Усилия в рассеченных стержнях условно считаем растяжимыми и направлением в сторону части, отбрасываются. Итак, в отсеченной части фермы уравновешивается плоская система сил

Для определения усилия соответствующей точкой Риттера будет точка К, а уравнение равновесия примет вид:

Для определения усилия точкой Риттера является точка В, для определения усилия — точка D, а соответствующие уравнения равновесия имеют вид:

Подставляя необходимые данные, находим
Итак, усилия — растяжимое, — сжимающее (тяговое) , — нулевое (при заданной нагрузке стержень 2 не работает, но с конструкции его изъять нельзя, поскольку нарушится жесткость конструкции и не выполнится условие (4.1)). В завершение сравним методы Максвелла — Кремоны и Риттера, несмотря на их различие, которое заключается в том, что первый метод относится к графическим, а второй — к аналитическим. Как видно из предыдущего изложения, усилия методом вырезания узлов определяются последовательно, переходя от одного узла к соседнему. Поэтому неизбежно накопление ошибок, связанных с неточностью проведение параллельных прямых. Следует отметить, что накопление этих ошибок можно избежать при решении задачи чисто аналитическим способом, составляя уравнения равновесия для системы сходящихся сил, приложенных в узлах фермы.

Но, с другой стороны, взаимосвязь между построением новых вершин диаграммы Максвелла — Кремоны и положением предыдущих, следует рассматривать как определенное ограничение погрешностей, позволяет избежать грубых
ошибок.
Метод Риттера в отличие от предыдущего не приводит к накоплению ошибок, так как все усилия определяются независимо друг от друга, но одновременно не дает возможности заметить грубые ошибки, которые могут случиться при исчислении.

Очевидно, лучшая методика определения усилий в стержнях фермы заключаться в сочетании методов Максвелла — Кремоны и Риттера. Например, все усилия определяются по методу Максвелла — Кремоны и некоторые из них проверяются методом Риттера.

Услуги по теоретической механике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Расчет ферм в теоретической механике

Содержание:

Расчет ферм:

При устройстве перекрытий, постройке мостов, кранов, мачт для высоковольтных линий и т. п. применяются конструкции, называемые фермами.

Фермой называется геометрически неизменяемая система, состоящая из невесомых стержней, соединенных между собой по концам шарнирами. Места соединения стержней между собой называются узлами фермы.

Обычно в фермах соединение стержней в узлах осуществляется при помощи клепки или сварки, шарнирное же соединение стержней вводится лишь для облегчения расчета ферм, что приводит к сравнительно небольшим ошибкам в вычислении по сравнению с действительными конструкциями.

Фермы, у которых оси всех стержней расположены в одной плоскости, называются плоскими. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением плоских ферм.

Всякая ферма состоит из ряда стержневых треугольников, соединенных в узлах шарнирно (рис. 79).

Для образования фермы мы должны взять основной треугольник, хотя бы abc, и к нему последовательно присоединять каждый узел d, е и т. д. двумя стержнями. Если ферма состоит из

При расчете фермы, т. е. при определении усилий во всех ее стержнях, мы можем для каждого узла составить два уравнения равновесия, а для узлов уравнений.

Отсюда следует, что число неизвестных усилий, определяемое числом стержней, сложение с числом опорных реакций не должно превышать общего числа уравнений статики , в противном случае задача будет статически неопределимой.

Для определения усилий в стержнях ферм обычно применяют один из следующих трех способов: последовательное вырезание узлов, построение диаграммы Кремона, проведение сквозных сечений (Риттера).

При применении каждого из перечисленных способов следует предварительно по заданным силам, приложенным к ферме, определить опорные реакции (аналитически или графически) и только после этого переходить к определению усилий в стержнях фермы.

Определение усилий по способу последовательного вырезания узлов

Определение усилий по способу последовательного вырезания узлов заключается в том, что последовательно рассматривают равновесие каждого узла фермы и для рассматриваемого узла либо составляют два уравнения равновесия в форме и , а затем эти уравнения решают, либо строят замкнутый многоугольник сил, сходящихся в узле.

При этом порядок рассмотрения равновесия узлов безразличен, лишь бы в рассматриваемом узле число неизвестных усилий не превышало двух.

Выясним применение этого способа на отдельных примерах.

Задача №1

Найти усилия в стержнях DA, АВ, BD, ВС и DC шарнирного кронштейна, если к шарниру В приложена вертикальная сила Q=2 т (рис. 80).

Решение. Начнем с рассмотрения равновесия узла А, так как здесь сходятся два неизвестных усилия. Вырежем узел А и взамен пересеченных стержней введем силы (рис. 80, б). При рассмотрении равновесия каждого узла, неизвестные усилия стержней условимся всегда направлять от узла, т. е. будем предполагать растяжение. Составляя уравнения равновесия, имеем:

Вырежем теперь узел В и рассмотрим его равновесие (рис. 80, в):

откуда получаем:

Переходим к рассмотрению равновесия узла С (рис. 80, г):

откуда находим:

Составляя уравнения равновесия для точки D (рис. 80, д), имеем:

откуда

Для усилия получился знак минус; следовательно, стрелки усилия будут направлены к узлам В и С; отсюда заключаем, что стержень ВС сжат.

Правильное направление стрелок усилий показано на рисунке 80, а.

Иногда при определении усилий в стержнях полезно сразу выделить те стержни, усилия в которых равны нулю (нулевые стержни). Из рассмотрений равновесия узлов А и С (рис. 80, б и. 80, г) заключаем:

1. Если имеется узел А, в котором сходятся два стержня, то при отсутствии других сил, приложенных к узлу, усилия в этих стержнях равны нулю.

2. Если имеется узел С, где сходятся три стержня, из которых два направлены по одной прямой, а третий примыкает к узлу под любым углом, то при отсутствии других сил, приложенных к узлу, усилие в третьем стержне равно нулю. На основании этого можно сказать, что усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6 фермы (рис. 79) равны нулю.

Задача №2

Сцепка состоит из четырех тросов АО, ВО, АС и ВС, образующих квадрат (рис. 81, а).

Между точками А и В по диагонали квадрата вставлен брус, а в точках А, В и С приложены вертикальные силы Q = 500 кГ каждая. Определить натяжения в частях тросов АО, ВО, АС и ВС и усилие S в брусе АВ.

Решение. Из рассмотрения равновесия точки С (рис. 81, б) имеем:

откуда:

Переходим к рассмотрению равновесия узла А (рис. 81, в):

откуда

В силу симметрии узлов А и В заключаем, что . Переносим правильное направление стрелок усилий и на рисунок 81, а.

Задача №3

В точках А и F шарнирной стержневой системы (рис. 82, а), внешний контур которой совпадает со сторонами правильного шестиугольника, приложены силы , направленные по одной прямой. Найти усилия в стержнях АВ, BC. FO.

Решение. Эту задачу проще всего решить геометрическим способом, построив для каждого из узлов замкнутый треугольник сил. Рассмотрим сначала равновесие точки А (можно F). Отложим в выбранном масштабе силу Р (рис. 82, б) и из начала и конца этой силы проведем направления, параллельные стержням 1 и 6, до их взаимного пересечения. В полученном треугольнике равновесия стрелки сил , определяемые стрелкой известной силы Р, идут в одном направлении. При переносе стрелок сил с треугольника равновесия на рисунок 82, а видно, что стержень 1 растянут, а стержень 6 сжат.

При построении треугольника равновесия для точки В известной нам силой является реакция . Проводя из начала и конца силы направления, параллельные стержням 2 и 7, найдем из полученного треугольника равновесия реакции (рис. 82, б). Для каждого из узлов получается равносторонний треугольник равновесия, а отсюда следует, что и . Знак минус условно обозначает сжатие стержня.

Задача №4

Способом последовательного вырезания узлов определить усилия во всех стержнях ферм (рис. 83 и 84).

Ответ (к рис. 83).

Ответ (к рис. 84).

Определение усилий в стержнях ферм по способу построения диаграммы Кремона

Идея этого графического способа проста и заключается в построении для узлов фермы, находящихся в равновесии, замкнутых многоугольников сил, образующих диаграмму.

Пусть требуется найти усилия во всех стержнях фермы (рис. 85, а) при действии на нее заданных сил 2 т и 8 т. Известными нам способами находим, что левая опорная реакция равна 4 т, а правая 6 т.

Для облегчения построения диаграммы введем в рассмотрение внешние и внутренние поля. Под внешними полями будем понимать части плоскости, ограниченные с боков внешними силами (заданными и реактивными) и внешним контуром фермы, под внутренними полями — части плоскости, ограниченные стержнями фермы.

Условимся нумерацию внешних полей 1, 2, 3 и 4 (рис. 85, а) производить по направлению движения стрелки часов, внутренних 5, 6, 7, 8 — слева направо, а усилия, сходящиеся в каждом узле обозначать двойными цифрами смежных полей, производя обход усилий в каждом узле по часовой стрелке. Так, например, в узле а сходятся три усилия: в узле с — пять усилий: и т. д.

Выбрав масштаб сил, например , строим многоугольник внешних сил 1—2, 2—3, 3—4, 4—1 (рис. 85, б). B нашем случае многоугольник сил обращается в прямую. При этом нумерацию вершин многоугольника проводим согласно имеющемуся на чертеже направлению сил. Так, например, откладывая на многоугольнике сил отрезок 1—2, изображающий в масштабе силу 1—2, мы ставим цифру 1 внизу, а цифру 2 вверху, так как сила 1—2 направлена снизу вверх.

Построение диаграммы следует начинать для того узла, в котором сходятся не более двух стержней. В нашем случае такими узлами являются и . Начнем построение с узла . Производим обход всех усилий, начиная с известных, которые сходятся в точке ; такими усилиями являются 1—2, уже имеющиеся на диаграмме, затем неизвестные 2—5 и 5—1. Проводим из точки 2 диаграммы линию, параллельную стержню 2—5, а из точки 1 направление, параллельное 5—1 в пересечении этих направлений получаем точку 5. Вернее при определении неизвестных усилий параллельные направления на диаграмме следует проводить из тех точек, которые повторяются один раз, как, например, 2 и 1; в пересечении этих направлений получаем ту точку, которая повторяется два раза, например 5.

Теперь можно перейти к следующему узлу, где сходятся два неизвестных усилия; таким узлом является . В точке сходятся усилия: 1—5, имеющиеся на диаграмме, затем неизвестные 5—6 и 6—1. Из точки 5 диаграммы проводим направление, параллельное стержню 5—6, а из точки 1 направление, параллельное стержню 6—1; в пересечении этих направлений получаем на диаграмме точку 6.

Переходим к узлу с. Здесь сходятся усилия 6—5, 5—2, 2—3, имеющиеся на диаграмме, и неизвестные 3—7 и 7—6. Проводим из точки 3 диаграммы направление, параллельное стержню 3—7, а из точки 6 направление, параллельное стержню 7—6; в пересечении этих направлений получаем на диаграмме точку 7. Подобные построения можно провести для остальных узлов. Узел является лишь поверочным, так как здесь сходятся усилия, которые определились после построений, произведенных для узлов d и e.

Имея диаграмму Кремона (рис. 85, б), можно:

1. Проверять правильность построенной диаграммы, основываясь на том, что многоугольник сил для каждого узла должен быть замкнут. Возьмем, например, узел d, в котором сходятся усилия 7—3, 3—4, 4—8, 8—7. Мы видим, что эти усилия на диаграмме образуют замкнутый многоугольник.

2. Определять величину и знак усилия в любом стержне, примыкающем к какому-либо узлу. Так, например, если возьмем стержень 3—7, примыкающий к узлу с (если бы мы переставили цифры и рассматривали стержень 7—3, то тогда мы обязаны были бы его отнести к узлу d), то на диаграмме величина усилия, возникающего в этом стержне, выражается отрезком 3—7, умноженным на масштаб, а направление будет к узлу с, так как на диаграмме усилие 3—7 читается от 3 к 7, т. е. справа налево. Точно так же усилие в стержне 7—6 изобразится на диаграмме отрезком 7—6, умноженным на масштаб α , а направление усилия будет от узла с, так как при чтении усилия 7—6 на диаграмме оно направлено от 7 к 6, т. е. сверху вниз по диагонали. Следовательно, в первом случае мы имеем сжатие (—), во втором — растяжение (+).

Задача №5

Определить усилия в стержнях ферм путем построения диаграммы Кремона (рис. 86, а и 87, а).

Решение. На рисунках 86, б и 87, б приведено построение диаграмм.

Определение усилий в стержнях ферм по способу сквозных сечений

Особенность этого способа состоит в том, что он позволяет определять усилие в любом стержне фермы, не определяя усилий в остальных стержнях, что во многих случаях является удобным.

Выясним применение этого способа на отдельном примере.

Пусть дана ферма (рис. 88, а), стержни которой образуют между собой углы в 45° и 90°. Определим сначала величины опорных реакций аналитически или способом веревочного многоугольника. Нетрудно видеть, что

Пронумеровав стержни, можно перейти к определению усилий, возникающих в стержнях, по способу сквозных сечений. Положим, требуется найти усилие в стержне 1 (рис. 88, а), Для этого перерезаем стержень 1 сквозным сечением с таким расчетом, чтобы этим сечением было захвачено три стержня. В нашем случае в сечение, помимо стержня 1, попали еще стержни 3 и 4.

Рассмотрим теперь равновесие одной из частей фермы, расположенной слева или справа от проведенного сечения. В данной задаче удобнее выделить левую часть, так как на нее действует меньше сил (рис. 88, б).

Взамен отброшенной правой части прикладываем реакции стержней , при этом, не зная правильного направления стрелок этих реакций, направляем их к отсеченной части. Теперь выделенная левая часть (рис. 88, б) находится в равновесии под действием сил , из которых три последние нам неизвестны. Путем составления трех уравнений равновесия (36) можно было бы определить усилие но при этом неизбежно пришлось бы заодно находить и усилия и . Нам же по условию требуется определить только усилие в стержне 1, для чего нужно иметь только одно уравнение, но такое, в которое не вошли бы усилия и .

Нетрудно видеть, что таким. уравнением является уравнение моментов относительно той точки, где пересекаются линии действия усилий (на чертеже эта точка обозначена через 3,4):

откуда

Чтобы определить усилие в стержне 3, следует составить уравнение моментов относительно точки 1, 4, где пересекаются стержни 1 и 4:

откуда

Для определения усилия в стержне 4 составим уравнение моментов относительно точки 1, 3 пересечения стержней 1 и 3:

откуда

Знак минус указывает на то, что стержень 4 сжат,

Точки 1, 3; 3, 4 и 1, 4, выбранные таким образом, приводят нас к уравнениям равновесия (36, б).

При определении усилия в стержне 6 проводим сквозное сечение через стержень 6 (рис. 88, а) так, чтобы оно пересекло три стержня; это можно сделать, захватив стержни 6, 5 и 4 или 6, 7 и 8. Остановимся на последнем варианте и рассмотрим равновесие правой части, так как на нее действует меньше сил. Опять же стрелки неизвестных реакций и направляем к отсеченной части (рис. 88, в).

Для определения усилия составляем уравнение моментов относительно точки 7, 8 пересечения двух других стержней:

откуда

При определении усилия в стержне 7 следовало бы составить уравнение моментов относительно точки 6, 8, пересечения стержней 6 и 8, но эти стержни параллельны и точка 6, 8 получается в бесконечности; в этом случае вместо уравнения моментов составляют уравнение проекций на ось, перпендикулярную к линиям действия тех реакций стержней, которые параллельны:

откуда

Подобным же способом можно определить усилия и в остальных стержнях.

Преимущество изложенного способа заключается в том, что здесь мы можем определить усилие в любом стержне, не определяя усилий в остальных стержнях.

Задача №6

Определить по способу сквозных сечений усилия во всех стержнях фермы (рис. 89).

Указание: предварительно определяем реакцию и принимаем ее за известную силу.

Ответ (к рис. 89) см. в таблице 3.

Задача №7

По известному усилию в стержне , равному , определить усилия во всех стержнях фермы (рис. 90).

Ответ (к рис. 90) см. таблицу 4.

Статически определимые фермы. Методы вырезания узлов и сквозного сечения

Плоская или пространственная неизменяемая конструкция, составленная из шарнирно соединенных между собой стержней, называется фермой.

На рис. 135 изображена простая плоская ферма (пример пространственной фермы приведен в § 19-4).

Если число узлов (шарниров) фермы n, а число стержней k, то в простой плоской ферме соблюдается условие

Ферма называется статически определимой, если усилия во всех стержнях фермы, нагруженной в шарнирах, можно определить при помощи уравнений равновесия.

Все. плоские простые фермы статически определимы.

Для определения усилий в стержнях ферм употребляются графические или аналитические методы. Рассмотрим только аналитические методы: метод вырезания узлов (задача 103-17) и метод сквозного сечения—метод Риттера (задача 104-17).

При использовании метода вырезания узлов необходимо придерживаться следующего порядка:

• а) выяснить, какие нагрузки действуют на ферму, как они направлены и где приложены, а затем определить реакции связей, используя уравнения равновесия Правильность этой части решения нужно обязательно проверить: для проверки можно использовать любое дополнительно составленное уравнение равновесия;
• б) затем следует определить усилия в стержнях фермы, начиная с того узла, на который действуют не более двух неизвестных сил, так как в каждом случае на узел действует система сходящихся сил и, следовательно, для одного узла можно составить лишь два уравнения равновесия;
• в) вырезав узел, необходимо заменить действие на узел отброшенной части фермы усилиями, действующими вдоль стержней, считая при этом, что все стержни растянуты, а затем составить уравнения равновесия;
• г) путем перехода от узла к узлу определяют усилия во всех стержнях, один из узлов при этом остается нерассмотренным; составив уравнения равновесия для этого узла, можно проверить правильность решения задачи.

При определении усилий в стержнях ферм по методу сквозного сечения необходимо придерживаться следующего порядка:

• а) прежде всего, так же как и при методе вырезания узлов, выявив все нагрузки, определить реакции опор;
• б) мысленно разрезать фермы на две части таким образом, чтобы разрез проходил не более чем через три стержня, усилия в которых неизвестны»1, и, отбросив одну из частей, заменить действие отброшенной части на оставшуюся усилиями, направленными вдоль стержней, предполагая при этом, что все разрезанные стержни (с неизвестными усилиями) растянуты;
• в) составить три уравнения равновесия; при выборе направлений осей проекций, а также центра моментов нужно исходить из того, чтобы в каждое из уравнений по возможности входило не более одной неизвестной силы.

Задача №8

Определить усилия в стержнях фермы, нагруженной, как показано на рис. 136, а, тремя силами: Размеры фермы показаны на рисунке.

Решение — методом вырезания узлов.

1. Освободим ферму от связей и заменим связи их реакциями. Действие подвижного шарнира А заменим реакцией а действие неподвижного шарнира В — двумя составляющими так как направление полной реакции этого шарнира неизвестно (рис. 136,6).

Составим три уравнения равновесия:

Подставив в эти уравнения числовые значения и решив находим (вычисления рекомендуем произвести самостоятельно):

* При разрезании фермы через четыре и большее число стержней образуется плоская система сил с четырьмя или соответственно большим числом неизвестных. Так как для произвольной плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, задачу решить нельзя.

Для проверки можно использовать уравнение проекций сил на ось у или уравнение моментов сил относительно точки С (или D, или Е, или F).

2. Вырежем узел А, заменив действие на узел отброшенной части фермы силами направленными вдоль стержней 1 и 2 от узла А (рис. 137), предполагая, что стержни растянуты. Расположим оси проекции так, чтобы ось х совпала с направлением

силы а ось у—с направлением реакции Замечая, что угол DAC=а = 45° (так как АС —DC), составим два уравнения равновесия:

Из уравнения (2)

(стержень 1 сжат).

(стержень 2 растянут).

3. Вырежем узел С, заменив действие на узел отброшенной части фермы силами : расположив оси проекций, как показано на рис. 138, составим уравнения равновесия:

(стержень 6 растянут);

(стержень 3 растянут).

4. Вырежем узел D. В этом случае узел находится в равновесии иод действием пяти сил, три из них известны:= 10 кн, а две силы нужно определить. Выберем направление осей проекций, как показано на рис. 139. Угол угол неизвестен, но легко

определить, что (так как в катет

FE=3 л, катет DЕ = 4 м и, следовательно, гипотенуза DF=5 м), a

Составим уравнение равновесия:

(стержень 5 растянут).

(стержень 4 сжат).

5. Вырежем узел Е, к которому приложены четыре силы: две из них известны (), а силы (нужно определить.

Расположив оси проекций, как показано на рис. 140, и замечая, что угол , составим уравнения равновесия:

* Хотя из рассмотрения условия равновесия узла А установлено, что усилие в стержне сжимающее, изображаем ею как -растягивающее. При подстановке числовых значений в уравнение равновесия узла D учитываем знак «минуса.

(стержень 8 сжат).

(стержень 7 сжат).

6. Вырежем узел В, к которому приложены четыре силы: реакции найденное в стержне 8 усилие и неизвестное усилие действующее вдоль стержня 9. Располагая оси проекций как показано на рис. 141 и замечая, во-первых, что во-вторых, что в данном случае нужно определить лишь одну силу (силу ), составляем одно уравнение равновесия:

(стержень 9 растянут).

Усилия, возникающие во всех стержнях под действием внешних нагрузок, определены. Теперь_ рассмотрим узел F. Вырезав этот узел и составив для сил действующих на него, два уравнения равновесия, проверим их. Если после подстановки в уравнения числовых значений левые части их приведутся к нулю, задача решена правильно.

Найденные значения усилий в стержнях целесообразно представить в виде таблицы:

Задача №9

Определить усилия в стержнях 4, 5 и 6 фермы, нагруженной тремя силами: , как показано на рис. 136, а (ферма задачи 103-17).

1. Так же как и при решении методом вырезания узлов, прежде всего определяем реакции опор; в данном случае они те же, что и в предыдущем примере:

2. Разрежем ферму через стержни 4, 5 и 6 и, отбросив правую ее часть, заменим действие правой части на левую силами (рис. 142). На левую часть теперь действуют шесть сил, три из них известны (), а три силы () нужно определить.

3. Составим три уравнения равновесия:

Из уравнения (1)

(стержень 5 растянут).

(стержень 6 растянут).

(стержень 4 сжат).

Сравнивая найденные числовые значения усилий в 4, 5 и 6 стержнях фермы с теми, которые для этих же стержней получены в задаче 103-17, видим, что они одинаковы.

Правильность решения здесь можно проверить, составив уравнение проекций сил на ось х. Для проверки это уравнение вполне надежно, так как в него входят все три искомые силы. Проверку решения этим способом рекомендуется произвести самостоятельно.

Ферма и аналитические методы расчета

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены нагрузки. Найти усилия в стержнях фермы методом Риттера или методом вырезания узлов.

Август Риттер (1826-1906)— немецкий механик.

Эта задача является усложненным вариантом задачи, где усилия в стержнях можно было легко определить только из уравнений проекций, не находя реакции опор и не привлекая понятие момента силы. Аналогично можно поступить и в этой задаче, однако порядок системы линейных уравнений, описывающей равновесие всех узлов, будет велик, поэтому, во-первых, надежно решить такую систему можно только с помощью компьютера, во-вторых, таким образом будет проделана лишняя работа, так как система уравнений содержит усилия всех стержней, в том числе и тех, которые по условию задачи не требуется определять. Поэтому для решения сложных ферм, содержащих большое число стержней, применим метод Риттера, основная идея которого — независимое определение усилий в стержнях. Эту же идею можно с успехом применять и в других задачах статики.

1. Освобождаем ферму от внешних связей. Действие опорных шарниров заменяем их реакциями. Для определения реакций опор составляем три уравнения равновесия.

2. Проверяем найденные реакции, составляя еще одно уравнение равновесия фермы.

3. В тех стержнях, где это возможно, усилия находим методом Риттера . Мысленно разделяем ферму на две части, пересекая три стержня (сечение Риттера). Действие разрезанных стержней заменяем их усилиями, направляя соответствующие векторы из узлов в сторону сечения, предполагая стержни растянутыми.

Рассматриваем равновесие одной из частей фермы (как правило, где меньше нагрузок). Для стержней, усилия в которых необходимо определить, находим точки Риттера (моментные точки). Они являются точками попарного пересечения линий действия сил в рассеченных стержнях. Искомые усилия определяем из уравнений моментов рассматриваемой части относительно точек Риттера.

Если два стержня в сечении параллельны, то точки Риттера для третьего стержня не существует, и для определения усилия в нем необходимо составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным стержням.

В уравнение метода Риттера всегда входит усилие только одного стержня. Это позволяет искать усилия независимо одно от другого,

Другие названия— метод сечений, метод моментных точек.

уменьшая тем самым возможность ошибок и избегая накопления неизбежных погрешностей округления в численных расчетах.

4. Определяем усилия методом вырезания узлов. Этот метод применяют в тех случаях, когда сечения Риттера для нужного стержня не существует. Вырезаем узел фермы, к которому подходит стержень с искомым усилием. Выбираем оси и составляем уравнения равновесия узла в проекциях. Решаем уравнения относительно искомого усилия. Если к узлу подходит более двух стержней с неизвестными усилиями, то метод вырезания узлов можно комбинировать с методом Риттера.

Задача №10

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры (рис. 22). К узлам фермы приложены две вертикальные нагрузки Р — 90 кН и две наклонные . Найти усилия в стержнях 1-5.

Решение

1. Освобождаем ферму от внешних связей. Действие опор заменяем их реакциями. Левую (неподвижную) шарнирную опору заменяем двумя составляющими реакции правую (подвижную) — одной вертикальной (рис. 23). Для определения реакций опор составляем три уравнения равновесия — уравнение проекций на горизонтальную ось х и два уравнения моментов относительно опор :

Уравнение проекций на ось у оставим для проверки реакций

Система уравнений состоит из трех независимых друг от друга уравнений, решение которых легко найти, подставив численные значения нагрузок и углов из условия

2. Проверяем найденные вертикальные реакции, составляя уравнение проекций всех сил на ось у:

Горизонтальную реакцию можно проверить, составив еще одно уравнение моментов, например относительно точки D.

3. Методом Риттера находим усилия в стержнях 1, 2, 3. Сечением I-I (рис. 23) мысленно разделяем ферму на две части, пересекая три стержня.Действие разрезанных частей заменяем их усилиями.

Рассматриваем левую часть (рис. 24), на которую действуют четыре известных силы и реакции стержней, направленные из узлов к сечению. Точки Риттера находятся в точках попарного пересечения линий действия сил Номер точки Риттера соответствует номеру рассеченного стержня, который через эту точку не проходит.

Точка находится на продолжении стержня 1. Расстояние до нее легко вычислить, зная угол между стержнем 1 и горизонталью:

Уравнения метода Риттера имеют вид

Находим решение системы:

4. Методом вырезания узлов определяем Вырезаем узел С (рис. 23) и составляем уравнение проекций на ось у (рис. 25), из которого сразу же определяем искомое усилие:

Усилие больше нуля, следовательно, стержень 4 растянут. Усилие в стержне 5 методом Риттера определить нельзя — не существует сечения, делящего ферму на две части и пересекающего при этом три стержня. В этом состоит недостаток метода. Поэтому воспользуемся методом вырезания узлов совместно с методом Риттера. Находим из условия равновесия узла D. К узлу подходят три стержня с неизвестными усилиями. Одно из них — легко найти по методу Риттера. Проводим сечение (рис. 23) и рассматриваем правую часть фермы (рис. 26). Для определения составляем уравнение моментов относительно точки Риттера

Находим Заметим, что для определения усилия по методу Риттера, необходимо составить уравнение проекций на ось у.

Вырезаем узел D и составляем уравнения равновесия (рис. 27):

Исключая находим

Результаты расчетов в кН занесем в таблицу:

Второе свойство имеет исключения. Существуют фермы, которые одним сечением можно разделить на две, рассекая N > 3 стержней. При этом для одного из стержней существует точка Риттера — точка пересечения остальных N — 1 стержней (подумайте, как выглядит такая ферма).

2. Сечение Риттера не обязательно должно изображаться непрерывной линией. В ферме на рис. 4, с. 15 для определения усилия в стержне АВ надо выполнить разрывное сечение (какое?). Экспериментируя с сечениями, не забывайте про три его основных свойства.

3. Рассматривая одну из частей рассеченной фермы, забудьте на время о существовании другой. Иначе в уравнения равновесия вы можете случайно включить внешние силы или реакции опор отброшенной части.

4. Не стоит беспокоиться, если точка Риттера находится на отрезанной части, располагается где-нибудь далеко или попадает на шарнир. Ее положение может быть где угодно.

5. В уравнения метода Риттера (моментов или проекций) должно войти только одно усилие стержня фермы. В этом основной смысл метода Риттера. Очень часто встречается следующая ошибка. Составляя уравнение, студент неправильно выбирает точку Риттера или составляет не то уравнение, например, уравнение проекций вместо уравнения моментов. При этом в уравнение кроме одного неизвестного усилия входят и другие, ранее найденные. В принципе такое уравнение может быть и верно, и ответ получится верным, но это не метод Риттера, где определение усилий производится независимо одно от другого во избежание накопления ошибок.

6. Положение точки Риттера для каждого стержня не зависит от рассматриваемой части. Однако степень сложности уравнения моментов для разных частей фермы может существенно отличаться. Для большей надежности решения уравнение Риттера (в форме уравнения моментов или уравнения проекций) для одной части может служить проверочным для другой.

7. Проверить расчет можно на компьютере.

Ферма и графический расчет

С помощью диаграммы Максвелла-Кремоны найти усилил в стержнях фермы.

Графический метод расчета ферм является дополнением к аналитическим методам расчета, которые вы изучили в предыдущем параграфе. Диаграмма Максвелла-Кремоны состоит из отдельных силовых многоугольников. Каждый многоугольник соответствует равновесию какого-либо узла фермы.

1. Обозначаем усилия в стержнях фермы.

2. Освобождаем ферму от связей. Действие опор заменяем их реакциями. Составляем три уравнения равновесия. Находим реакции.

3. Проверяем найденные реакции, составляя еще одно уравнение равновесия.

4. Изображаем все силы, действующие на ферму (включая найденные аналитически реакции опор), в виде векторов вне фермы. Если реакция опоры отрицательная, то заменяем ее направление на противоположное. Для графического способа требуются только реальные направления реакций.

5. Обозначаем буквами или цифрами внешние поля — области чертежа, разделенные силами и стержнями фермы.

Джеймс Максвелл (1831-1879) — шотландский физик, математик, астроном. Антонио Кремона (1830-1903) — итальянский математик.

6. Обозначаем буквами или цифрами внутренние поля — области, ограниченные стержнями фермы.

7. Внешним нагрузкам и усилиям в стержнях даем новые имена — по соседним с силой (или стержнем) полям.

8. Построение диаграммы Максвелла-Кремоны начинаем с многоугольника внешних сил. Выберем направление обхода фермы (по часовой стрелке или против). Начинаем с произвольной силы. Откладывая ее в масштабе и соблюдая направление, обозначаем на диаграмме начальную и конечную точку строчными буквами, соответствующими ее новому обозначению по направлению обхода. Следующая сила пристраивается к концу первой и т.д. до замыкания многоугольника внешних сил и реакций опор.

9. Строим точки внутренних полей на диаграмме. Точку, соответствующую внутреннему полю, можно найти, если у этого поля построены точки двух соседних с ней полей.

Таким образом, начинать графический расчет можно с поля, у которого имеется два соседних с ним внешних поля, уже отмеченные на диаграмме. Искомая точка лежит на пересечении прямых, параллельных стержням, имена которых состоят из имени искомой точки и точек найденных внешних полей. Этот пункт выполняем многократно, до полного построения диаграммы. Модули усилий в стержнях равны длинам соответствующих отрезков на диаграмме.

10. Определяем знаки усилий. Рассматриваем шарнир фермы, к которому подходит какая-либо внешняя нагрузка или стержень с усилием известного знака. Равновесие шарнира изображено на диаграмме замкнутым силовым многоугольником с заданным направлением обхода. Сопоставляя направление усилия на диаграмме и его направление в вырезанном узле, определяем знак усилия. Если направление вектора на многоугольнике совпадает с направлением вектора, приложенного к узлу, то усилие больше нуля. В противном случае — усилие меньше нуля, т.е. стержень сжат.

Задача №11

С помощью диаграммы Максвелла-Кремоны найти усилия в стержнях фермы (рис. 28). Размеры даны в м.

1. Обозначаем усилия в стержнях фермы так, как это принято в строительной механике. Усилия в стержнях верхнего пояса (слева направо) — диагонали (раскосы) — усилия в нижнем поясе — (рис. 29)

2. Определяем реакции опор фермы. Реакцию направляем вдоль опорного стержня, т.е. под углом к горизонту (рис. 29). Составляем уравнения равновесия:

Решаем уравнения и получаем следующие значения:

3. Проверяем вертикальные реакции, составляя уравнение проекций на вертикальную ось:

4. Изображаем все силы, действующие на ферму. Реакцию которая оказалась в результате решения меньше нуля, направляем в противоположную сторону (рис. 30). Величина этой силы

5. Обозначаем внешние поля — области чертежа, разделенные силами и стержнями фермы, — (рис. 31). Чтобы не внести путаницу, не следует использовать буквы имеющиеся в задаче для обозначения опор и сил.

6. Обозначаем внутренние поля (рис. 31).

7. Внешним нагрузкам и усилиям в стержнях даем новые имена — по соседним с силой (или стержнем) полям. Приведем таблицу соответствия имен.

8. Строим многоугольник внешних сил. Выберем направление обхода фермы по часовой стрелке. Начинаем с произвольной силы, например, F = 20 кН. Откладывая в масштабе эту силу и соблюдая ее направление, обозначаем начальную и конечную точку строчными буквами г и с, соответствующими направлению обхода — из поля I в поле С. Следующая по часовой стрелке нагрузка — вертикальная реакция опоры = 24.24 кН. Строим ее в точке с вслед за силой F. Конечную точку помечаем буквой . Обход фермы продолжаем, пока многоугольник не замкнется. Последней будет сила Р = 30 кН, обозначенная как HI. Конец ее попадает на исходную точку (рис. 32).

9. Строим точки внутренних полей на диаграмме. Точку, соответствующую внутреннему полю, можно найти, если у этого поля построены два соседних с ним поля. Таким образом, начинать графический расчет можно с поля у которого соседние поля Н и G определены на диаграмме, или К с известными соседними полями Е и С (рис. 31). Рассматриваем поле К. По направлению стержней ЕК и КС проводим линии через точки ей с диаграммы. Точка их пересечения — (рис. 33). Длины равны абсолютным значениям усилий в соответствующих стержнях.На рис. 34-37 показано последовательное получение точек и При получении последней точки автоматически выполняется проверка. Так, если точка строилась на пересечении линий то проверкой является прямая . Если она параллельна соответствующему стержню , т.е. горизонтальна, то диаграмма построена верно. Заметим, что для форм с большим числом узлов построение диаграммы — трудоемкий процесс. Это связано с недостатком метода вырезания узлов, графической интерпретацией которого является диаграмма Максвелла-Кремоны. Недостаток вызван неизбежным накоплением ошибок округления в процессе последовательного расчета узлов.

10. Определяем знаки усилий. Рассмотрим, например, усилие Ох. Вырезаем узел А, к которому приложено усилиеК этому же узлу приложены два известных вектора реакций опор и еще одно усилие с неизвестным знаком. Как обычно, усилия стержней рисуют выходящими из узла (рис. 38). Затем на диаграмме Максвелла-Кремоны выделяется замкнутый многоугольник сил, изображающий равновесие узла (рис. 39). Направление обхода многоугольника (начало одного вектора совпадает с концом предыдущего) задается по известной силе или по усилию в стержне с ранее определенным знаком.

Здесь обход cdek против часовой стрелки задает реакция опоры 24.24 кН (cd), или = 8.32 кН (de).

Если направление вектора на многоугольнике совпадает с направлением вектора, приложенного к узлу, то усилие больше нуля — стержень растянут. В противном случае — усилие меньше нуля, что соответствует сжатию стержня. Такие усилия на диаграмме изображаются утолщенными линиями. Кроме того, получаем Аналогично определяются знаки и других усилий. Заметим, что особенно эффективно рассматривать узлы, к которым подходит много стержней и приложена хотя бы одна внешняя нагрузка.

Окончательные результаты в кН заносим в таблицу:

• Замечание 1. Точность, с которой можно получить усилия графическим способом, обычно невысока. Результаты с тремя знаками после запятой, данные в таблицах, получены, конечно, не графически, а из решения задачи аналитическим методом вырезания узлов.
• Замечание 2. Графический способ расчета ферм в реальной инженерной практике безнадежно устарел, для расчета пространственных ферм он вообще не годится. Однако в учебных целях, для проверки аналитического решения и как пример изящного и быстрого определения усилий с помощью карандаша и линейки, диаграмма Максвелла-Кремоны сохраняет свое значение.
• Замечание 3. В качестве необычной задачи программирования, предлагаем попробовать найти алгоритм автоматического построения диаграммы Максвелла-Кремоны в системе Maple V, Maple 7, Mathematics 4 или в любом другом пакете, позволяющем работать с графикой. Основное требование к программе — не составлять уравнения равновесия узлов фермы в проекциях. Допустимо найти аналитическим методом реакции опор.

Пространственная ферма

Постановка Задачи. Определить усилия е стержнях пространственной фермы, нагруженной в одном узле силами.

Задача является естественным обобщением задачи § 1.1, с. 14, в которой методом вырезания узлов определялись усилия в простейшей плоской ферме. Этот же метод применим и здесь, единственное отличие — вместо двух уравнений равновесия узла в проекциях на оси в пространственной задаче будет три уравнения.

1. Узлы фермы находятся в равновесии. Вырезаем узлы, заменяя действие стержней их реакциями. Реакцию незагруженного стержня направляем вдоль его оси. Используя правило знаков, согласно которому усилие растянутого стержня считается положительным, реакцию каждого стержня направляем из шарнира по направлению внешней нормали сечения стержня. Расчет начинаем с узла, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями.

2. Для каждого из шарниров составляем по три уравнения равновесия в проекциях. Решаем полученную систему.

Задача №12

Найти усилия в стержнях 1-6 пространственной фермы, нагруженной в одном узле вертикальной силой G = 100 кН и горизонтальной F = 40 кН. Даны размеры а = 12 м, b = 16 м, с = 10 м, d = 5 м (рис. 60).

1. Узлы А и В находятся в равновесии. Вырезаем эти узлы, заменяя действие стержней их реакциями, направленными из узла к стержню(рис 61.)

Стержень 1 является общим для обоих узлов, поэтому на рисунке есть два противоположно направленных вектора с усилием Один вектор приложен к узлу А, другой — к узлу В.

2. Расчет начинаем с узла А, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями. Составляем уравнения равновесия узла в проекциях на три оси координат:

Система уравнений (1) содержит три неизвестных усилия

Вычисляем тригонометрические функции, входящие в уравнения.

Решение системы (1):

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 1 и 2 растянуты, а стержень 3 сжат. Составляем уравнения равновесия узла В:

Уравнения (2) содержат три неизвестных усилия усилие , найдено ранее из условия равновесия узла А. Вычисляем необходимые тригонометрические функции:

Решение системы (2):

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 5 и 6 сжаты, а стержень 4 растянут.

Результаты расчета (в кН) заносим в таблицу:

• Пространственная система сходящихся сил
• Момент силы относительно точки и относительно оси
• Теория пар, не лежащих в одной плоскости
• Произвольная пространственная система сил
• Параллельные силы
• Произвольная плоская система сил
• Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
• Графостатика в теоретической механике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

ГЛАВА 3. ФЕРМЫ. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ С УЧЁТОМ ТРЕНИЯ

В главе рассмотрены методы расчёта ферм, равновесие тел с учётом трения скольжения и трения качения и приведены примеры решения задач с учётом трения.

Фермы

Фермой называется неизменяемая конструкция, состоящая из стержней (рис. 51).

Основу фермы составляют геометрически неизменяемая фигура – треугольник.

Задача расчёта фермы включает определение опорных реакций и усилий в стержнях фермы.

При расчёте фермы вводятся следующие допущения:

1. Стержни в узлах фермы соединены идеальными шарнирами.

2. Весом стержней либо пренебрегают, либо разносят по узлам фермы.

3. Действующие на ферму силы приложены в узлах фермы.

При выполнении этих условий стержни фермы будут испытывать только сжимающие или растягивающие нагрузки. Причём если реакция стержня на узел направлена к узлу, то стержень сжат, если от узла – растянут (здесь аналогия с реакциями невесомого стержня на рис. 11).

Стержни, усилия в которых при заданных внешних силах равны нулю, называются нулевыми. Можно указать три признака наличия нулевых стержней в плоской ферме (леммы о нулевых стержнях).

1. Если в узле сходятся три стержня, на узел не действуют внешние силы и два стержня находятся на одной прямой, то третий стержень нулевой. По этой лемме усилия в стержнях 3 и 11 фермы на рис. 51 равно нулю.

2. Если в узле сходятся два стержня и узел не загружен внешними силами, то оба стержня нулевые (например, стержни 2 и 3 на рис. 52).

3. Если в узле сходятся два стержня и действующая на узел сила направлена по одному из них, то второй стержень нулевой (стержень 8 на рис. 52).

Справедливость указанных признаков можно доказать, например, используя для определения усилий в стержнях фермы метод вырезания узлов.

Для определения усилий в стержнях фермы обычно применяют метод вырезания узлов и метод Риттера. Рассмотрим эти два метода на примере фермы, изображенной на рис. 51.

Расчёт фермы любым методом начинается с определения опорных реакций.

1. Объект равновесия – ферма (рис. 53).

2. Внешние силы:

Пусть 10 кН, 20 кН.

Реакции связей: .

3. На ферму действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

Метод вырезания узлов

Вырезаем узел, в котором сходятся два стержня (либо узел I, либо – VIII), например, узел I (рис. 54). Усилия и в разрезанных стержнях 1, 2 направляем вначале от узлов, т.е. считаем, что стержни растянуты. К узлу прикладываем действующие на него усилия и .

Составляем два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

Так как усилие получилось со знаком «минус», то стержень I сжат.

Далее выделяем узел, где имеется два новых стержня – узел II (рис. 55). К узлу II прикладываем усилия (согласно аксиоме действия-противодействия), и . Составляем два уравнения равновесия:

Далее последовательно вырезаем узлы III, IV, V, VI, VII, VIII. Следует oтмeтить, чтo при выделении пocлeднero узла VIII усилия в стержнях 12 и 13 будут уже определены при рассмотрении узлов VI, VII, поэтому два уравнения равновесия для этого узла можно считать проверочными. При правильном определении усилий в стержнях фермы уравнения равновесия для узла VIII должны дать тождество 0=0.

Метод Риттера

Этот метод позволяет определить усилие в любом стержне фермы без определения усилий в других стержнях. В этом преимущество этого метода перед методом вырезания узлов. Усилия в стержнях фермы по методу Риттера определяются после определения опорных реакций. Используя метод Риттера, определим, например, усилия в стержнях 4, 5, 6 фермы на рис. 53.

Для этого разрезаем ферму на две части сечением b-b (рис. 53) так, чтобы были разрезаны стержни, усилия в которых надо определить. Общее число разрезанных стержней не должно превышать трёх (в соответствии с тремя уравнениями равновесия для плоской произвольной системы сил). Для дальнейшего рассмотрения можно взять любую часть фермы, например левую (рис. 56). К выделенной части фермы прикладываем действующие на неё силы .

Усилия в разрезанных стержнях направляем вначале от узлов, т.е. считаем, что стержни растянуты. Составляем три уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил, действующих на выделенную часть. Уравнения равновесия в методе Риттера составляем так, чтобы в каждое входило усилие только в одном разрезанном стержне. Это достигается путём выбора в качестве моментных точек Риттера – точек, где пересекаются усилия в двух разрезанных стержнях (точки и ), и соответствующего выбора осей, на которые проектируются силы

Трение скольжения

Тело A (рис. 57) весом находится на шероховатой (реальной) поверхности. К телу с помощью нити, перекинутой через идеальный блок, подвешена чашка с разновесками, суммарный вес которых Q. Если Q мал, то тело А будет покоиться. Объясняется это тем, что на тело, кроме силы натяжения нити Q, веса , нормальной реакции поверхности , в месте его контакта с поверхностью действует сила трения . Составим два уравнения равновесия для тела A:

Очевидно, если Q = 0, то и сила трения = 0, поэтому сила трения скольжения . Изучение равновесия тел при наличии трения скольжения базируется на законах Кулона — Амантона.

I. Сила трения направлена по общей касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную направлению возможного смещения тела.

II. Сила трения не зависит от площади поверхности контакта тел и не превышает некоторое предельное значение , поэтому

.

III. Предельное значение силы трения пропорционально нормальной реакции поверхности N:

,

где – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения скольжения.

IV. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей (шероховатости, влажности, температуры, смазки и т.д.).

Тело A (рис. 58) находится на шероховатой поверхности. На тело действуют силы, указанные на рис. 57. Так как и являются реакциями поверхности, то есть полная реакция опорной поверхности, наклонённая к вертикали под углом . Если сила трения приобретает свое предельное значение (что наблюдается при движении тела относительно опорной поверхности), т.е. , то реакция поверхности приобретает своё максимальное значение , равное .

Угол наклона максимальной реакции поверхности к вертикали называется углом трения. Из рис. 58 следует, что

.

Если описать максимальной реакцией поверхности вокруг вертикали конус, то этот конус будет называться конусом трения (рис. 59). Рассмотрим случаи, когда на тело A действует сдвигающая сила , приложенная внутри конуса трения (угол ее наклона к вертикали ).

Чтобы тело оставалось в покое, необходимо

.

Значит, . Откуда , но , поэтому , т.е. (условие покоя тела при действии силы ). При выполнении условия происходит самоторможение тела: сила, приложенная внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места при любой её величине.

Задачи на равновесие тел с учётом трения скольжения решаются аналогично задачам, в которых на тела действует плоская произвольная система сил. Необходимо только ко всем действующим на тело силам прибавлять силу трения.

Пример

Тело весом Р (рис. 60) поднимается вверх по наклонной плоскости под действием силы . Зная углы , и угол трения , определить, при каком угле наклона сила будет минимальной, и найти ее минимальную величину .

Решение

1. Объект равновесия – тело.

2. Активные силы: . Реакции связей: .

3. На тело действует плоская произвольная система сил:

(3.1)

. (3.2)

Подставляем уравнение (3.2) в выражение (3.1)

(3.3)

(3.4)

Подставляем уравнение (3.4) в формулу (3.3)

(3.5)

Очевидно, при Значит , .

Следовательно, при

Из выражения (3.5)

.

Трение качения

На каток радиусом R и весом P действует горизонтальная сила (рис. 61). В точке контакта катка с поверхностью возникают сила трения скольжения и нормальная реакция , которая в результате деформаций поверхностей контакта смещается на плечо k от линии действия силы тяжести P. Силы и на плече k образуют пару сил ( , ), момент которой называют моментом трения качения

,

где k – коэффициент трения качения, измеряется в единицах длины.

На рис. 61 силы образуют пару, которая катит каток.

Чтобы каток катился, момент движущей пары должен быть больше (либо равен) пары момента трения качения:

, откуда .

Чтобы каток катился без скольжения, сила Q не должна превышать предельного значения силы трения скольжения, значит, . Очевидно, справедливо неравенство

.

Следовательно, существенно меньше f.

Полученное соотношение подтверждает, что каток легче катить, чем перемещать без качения. Так, переход в железнодорожном транспорте от подшипников скольжения на подшипники качения позволяет уменьшить движущую силу, которую должен развивать локомотив, чтобы двигать состав вагонов.

Пример

Какую силу Q (рис. 62) надо приложить к катку радиуса R и весом P, чтобы равномерно катить его по наклонной плоскости, если угол наклона плоскости к горизонтали – a, угол наклона силы к плоскости – , коэффициент трения качения равен k.

Решение

1. Объект равновесия – каток.

2. Активные силы: .

Реакции связей: сила трения скольжения , нормальная реакция поверхности .

3. Для определения силы Q составим уравнение равновесия

.

Отсюда .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какая конструкция называется фермой?

2. Какие допущения вводятся при расчёте ферм?

3. В чём выражаются методы вырезания узлов и Риттера для определения усилий в стержнях фермы?

4. Что такое нулевые стержни и каковы признаки их наличия в ферме?

5. На каких законах базируется изучение трения скольжения и как читаются эти законы?

6. Что такое коэффициент трения скольжения?

7. Что называется конусом трения?

8. В чём выражается условие самоторможения тела?

9. Какова сущность трения качения? Что такое коэффициент трения качения?

10. Почему круглое тело легче катить, чем перемещать без качения?