Уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил частный случай

iSopromat.ru

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил частный случай

41) Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна силе, равной главному вектору R, и паре сил с моментом, равным главному моменту L0 относительно какого-либо центра О. Чтобы такая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно равенство нулю и главного вектора R, и главного момента L0. Поэтому условия равновесия пространственной системы сил могут быть представлены в векторной форме
Два векторных условия эквивалентны следующим шести аналитическим условиям равновесия:

Условия равновесия можно сформулировать так: для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси декартовой системы координат равнялись нулю и суммы моментов всех сил относительно этих осей также равнялись нулю.

Частные случаи.

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Если силы, действующие на твердое тело, параллельны между собой, то можно выбрать такую систему координат, когда одна из ее осей, например Oz, параллельна направлению действия сил (рис.). Тогда из шести аналитических условий равновесия три выполняются тождественно, и система параллельных сил будет иметь только три условия равновесия:

Условия равновесия плоской системы сил.

Для плоской системы сил условия равновесия будут частным
случаем уравнений , определяющих условия равновесия пространственной системы сил. Например, если силы расположены в плоскости Оху, то аналитические условия равновесия можно записать в виде:
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма алгебраических моментов этих сил относительно любого центра О были равны нулю. Алгебраическим моментом силы относительно точки называют момент силы относительно оси, проходящей через данную точку перпендикулярно плоскости, в которой расположена сила и
точка.
Вместо иногда удобно применить условия равновесия в виде уравнений трех моментов: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю: .

Необходимость утверждения следует из того, что третье условие справедливо для любой точки. Достаточность докажем методом от противного, используя теорему о приведении произвольной системы сил к центру. Допустим, что плоская система сил не находится в равновесии. Тогда, приводя ее поочередно к точкам А, В, С, будем иметь в этих точках равнодействующую R . Для выполнения равенств равнодействующая должна пройти одновременно через все три точки, а это невозможно, так как точки не лежат на одной прямой. Следовательно, равнодействующая равна нулю и система сил, удовлетворяющая
равенствам , находится в равновесии.

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Как уже было установлено, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения.

Этим условиям можно придать и более удобную для практических целей аналитическую форму. Из формул (8) и (37) для модулей главного вектора и главного момента пространственной системы сил следует, что они обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и суммы моментов всех сил относительно каждой из трех координатных осей.

Заметим, что при составлении уравнений моментов нет необходимости в том, чтобы оси, относительно которых берутся моменты сил, совпадали с осями проекций. Для простоты решения уравнений рекомендуется оси проекций располагать перпендикулярно к линии действия одной из неизвестных сил, вследствие чего проекции этой силы исключаются из соответствующего уравнения проекций. Ось моментов рекомендуется выбирать в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю.

Одним словом, оси всегда нужно выбирать так, чтобы в каждое из шести уравнений равновесия вошло возможно меньшее число неизвестных.

Рассмотрим теперь частный случай — условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Пусть мы имеем систему параллельных сил

Так как выбор координатных осей произволен, то возьмем ось параллельной данным силам и составим шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил. Так как оси и перпендикулярны к данным параллельным силам, то проекции на эти оси каждой из сил системы будут равны .нулю. Следовательно, при таком выборе координатных осей уравнения

удовлетворяются независимо от того, находится ли система в равновесии или нет, а потому перестают быть условиями равновесия. Так как все данные силы параллельны оси г, то проекции их на эту ось равны модулям этих сил, взятым со знаком плюс или минус, в зависимости от того, в какую сторону они направлены. Следовательно, уравнение

можно заменить уравнением

Отпадает также и условие

так как моменты всех сил относительно параллельной им оси будут всегда порознь равны нулю, при любом значении сил и любом их расстоянии от оси .

Таким образом, для системы параллельных сил остаются только три уравнения равновесия

Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно каждой из двух осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к данным параллельным силам.

Нужно сказать, что все выведенные ранее уравнения равновесия для частных случаев расположения сил можно было бы получить из шести уравнений (38) равновесия произвольной пространственной системы сил, подобно тому как это было сделано выше для пространственной системы параллельных сил.

Для каждого случая расположения сил достаточным является вполне определенное число условий равновесия, и потому для каждого из них можно написать только определенное число независимых уравнений равновесия. Это важно помнить, так как при числе неизвестных, превышающем то число независимых уравнений, которое возможно составить для данного случая расположения сил, задача становится статически неопределенной.

Пример задачи:

На платформе трехколесной тележки в точке лежит груз . Найти давление каждого колеса тележки на пол, пренебрегая ее собственным весом, если . Точка лежит в середине отрезка (рис. 84).

Решение:

Тележка находится в равновесии под действием пространственной системы параллельных сил: веса груза и реакции и пола. Имеем три неизвестных и возможно составить три независимых уравнения равновесия.

Возьмем в плоскости, перпендикулярной к линиям действия данных сил, оси и так, как показано на рис. 84, и найдем моменты всех данных сил относительно этих осей:

Уравнение равновесия имеют вид

Решая систему уравнений и подставляя числовые данные, получим:

Искомые давления колес па пол, очевидно, равны по модулю найденным реакциям.

Пример задачи:

На валу трансмиссии насажены два шкива ременной передачи (рис. 85, а). Диаметры шкивов от подшипника эти шкивы находятся на расстоянии ; расстояние между подшипниками и равно . Ветви ремня, надетого на первый шкив, образуют с вертикалью угол ; ветви ремня, надетого на второй шкив, горизонтальны. Даны натяжения и ветвей первого ремня и натяжение верхней ветви второго ремня. Найти, при каком натяжении нижней ветви второго ремня вал, находясь под действием приложенных к нему сил, будет в равновесии, а также определить реакции подшипников, вызываемые натяжением ремней.

Решение:

Так как все силы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, то реакции подшипников не будут иметь составляющих, направленных вдоль оси вала (т. е. по оси ). Составляюще

реакций подшипников и по осям и обозначим соответственно через и . Для их определения спроектируем

все силы приложенные к валу на оси и и найдем моменты их относительно осей , и (см. таблицу):

Составляя соответствующие уравнения равновесия, получим:

Решая эту систему уравнений и подставляя числовые данные, находим:

Пример задачи:

Прямоугольная дверь, вращающаяся около вертикально оси открыта на угол Она

удерживается в этом положении грузом , подвешенным на веревке , перекинутой через блок и концом прикрепленной к двери, и некоторой силой , приложенной в точке двери и направленной перпендикулярно к ее плоскости. Вес двери , ее ширина , высота . Определить модуль силы , а также реакции шарнира в точке и подпятника в точке , если .

Решение:

Дверь находится в равновесии под действием активных сил и реакций подшипника и подпятника . Проведем координатные оси, как показано на рис. 86, а, и разложим реакции связей на составляющие по этим осям. Так как цилиндрический шарнир допускает скольжение двери в вертикальном направлении, то его реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разлагается лишь на две составляющие и . Реакция же подпятника дает составляющие и , направленные по трем координатным осям. Расположение сил показано на рис. 86, а. Для удобства определения проекций и моментов сил и , проекции их на плоскость показаны на рис. 86,6.

Составляем таблицу проекций всех сил на выбранные оси и моментов сил относительно этих осей.

Уравнения равновесия принимают вид:

Из рис. 86,б находим:

Подставляя в уравнения все данные и решая их, получим:

Отрицательные значения, полученные для и , означают, что направления этих сил, указанные па рис. 86, надо изменить на противоположные.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института