Уравнения равновесия в сферической системе координат

Лекция 2. Простейшие осесимметричные задачи

2.1 Уравнения в цилиндрических координатах

Представим тело вращения, к которому приложены силы, расположенные симметрично относительно оси этого тела (рис.18). Примерами могут быть круглый цилиндр, усеченный конус, деформирующийся под действием равномерного вну­треннего или наружного давления или сил, равномерно приложенных по торцевым сечениям.

За ось вращения примем ось z , ось же перпендикулярную к ней, обозначим через r . Двух координат z и r вполне достаточно, так как все точки с одинаковыми такими коор­динатами находятся в одинаковых условиях.

Так как каждая меридиональная плоскость z 0 r представляет плос­кость симметрии как в отношении формы, так и в отношении нагрузки тела, то в меридиональных плоско­стях касательных напряжений быть не может. Поэтому для каждой точ­ки тела, расположенной на меридиональной плоскости, площадка, содержащая эту точку, является главной площадкой рассматриваемого напряженного состояния. Глав­ное напряжение, действующее по этой площадке, обозначим через .

Кроме меридионального сечения через точку с коорди­натами z , r проведем еще второе сечение, перпендикулярное к оси z , и третье сечение, перпендикулярное к двум первым. Следы этих двух секущих плоскостей на меридиональ­ной плоскости будут параллельны соответственно осям r и z .

Вследствие симметрии в обеих секущих плоскостях, в точке z , r могут действо­вать лишь такие касательные напряжения, которые парал­лельны меридиональной плос­кости (рис. 19). Нормаль­ные напряжения, действующие в секущих плоскостях, обоз­начим через и , касатель­ные — через и . Эти на­пряжения надо считать функциями от z и r .

Указанные выше условия задачи характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия можно представить в такой же про­стой форме, как и в случае плоской задачи, и потому мо­жем ограничиться рассмотре­нием соотношений, имеющих место для точек одной и той же плоскости.

z

Проектируя все усилия, принадлежащие элементарному объему на оси z и r , имеем уравнения равновесия в виде:

После сокращения на общий множитель статические уравнения запишутся:

(2.1)

Обозначая упругие перемещения точки в направлении оси z через w , в направлении радиуса через и ( в тангенциальном направлении перемещение отсутствует), геометрические уравнения для данного случая можем представить в виде

. (2.2)

Наконец, физические уравнения, согласно (1.24)

. (2.3)

При решении задачи в перемещениях объемное расширение

может быть переписано в виде

, (2.4)

где под надо понимать обозначение следующей операции:

.

Подставляя (2.4) в физические уравнения (2.3), и, далее, в уравнения равновесия (2.1), придаем последним вид

(2.5)

. (2.6)

Таким образом, задача определения напряжений в теле вращения, загруженном симметрично относительно оси, сво­дится к нахождению двух функций w и и , которые должны удовлетворять в каждой точке уравнениям (2.5) и (2.6) и одновременно граничным условиям на поверхности тела.

Если, кроме того, ввести оператор , положив

,

то из уравнений (2.5) и (2.6), исключая из них w , диф­ференцируя (2.5) по z и r и подставляя из (2.6), по­лучим:

. (2.7)

Аналогично можно составить дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять пере­мещение w , если к уравнению (2.6) сначала применить операцию , а затем вставить из уравнения (2.5):

. (2.8)

Установленные уравнения теории упругости в напряжениях (уравнения неразрыв­ности деформаций, выраженные через напряжения), написан­ные в декартовых координатах, можно преобразовать к ци­линдрическим координатам,

Для этой цели надлежит выразить напряжения и через и по известным формулам перехода

;

заменив запись суммы другой:

,

но учесть, что и не зависят от угла , тогда как и являются функциями .

Запишем окончательные резуль­таты для уравнений совместности, которых ввиду осесимметричного характера деформаций останется четыре:

, (2.9)

где введен символ

. (2.10)

Заметим, что одновременно с уравнениями неразрывности должны быть удовлетворены уравнения равновесия (2.1) и условия на контуре.

Подобно тому, как в плоской задаче теории упругости удалось все компоненты напряжений выразить через одну функцию напряжений, так и в разбираемом осесимметричном пространственном случае имеется такая же возможность.

В самом деле, если задаться

, (2.11)

где — произвольная функция, и подставить (2.11) в первое уравнение равновесия (2.1), то оно обратится в тождество. Второе уравнение равновесия и все уравнения неразрывности будут удовлетворены, если принять согласно уравнению

. (2.12)

Можно подобрать много решений уравнения (2.12). Вот некоторые из них:

(2.13)

. (2.14)

Так как эти выражения удовлетворяют уравнению (2.12) при любых значениях коэффициентов С , следовательно, любой член их также удовлетворяет уравнению (2.12). Например, может быть

. (2.15)

Если в числе прочих причиной, вызывающих напряженное и дефор­мированное состояния тела, является возникновение темпера­турного поля, в общем случае неравномерного вдоль коор­динаты z и вдоль радиуса r , т. е.

то надлежит внести дополнения в физи­ческие уравнения (2.3), а именно, они должны быть запи­саны [(по аналогии с (1.47), но в цилиндрических координа­тах] следующим образом:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

где, введе­но обозначение:

.

В качестве примера рассмотрим длинную толстостенную трубу (рис. 20) с радиальным перепадом температур, т. е. считается заданным закон Т = Т ( r ).

Пренебрегая влиянием торцов, можно считать, что все сечения трубы, перпендикулярные к ее оси, остаются плоскими и все работают в одинаковых условиях. Таким образом, радиальное перемещение u зависит только от r , перемещение v в направлении отсутствует, относительное удлинение по направлению оси z следует считать постоянным, т. е.

(2.19)

Для относительных удлинений в радиальном и тангенциальном направлениях возможно использовать соотношения (1.35,а), (1.35,б) т. е.

. (2.20)

Очевидно в рассматриваемой задаче сохраняется уравнение равновесия из (1.32,б) т.е.

. (2.21)

Использование (2.19) (2.20) в (2.16) и (2.18) с последующей подстановкой в (2.21) приводит к разрешающему уравнению следующего вида:

. (2.22)

Решением (2.22) является выражение

. (2.23)

где — переменная интегрирования.

Далее, очевидно, подлежит подставить (2.23) в (2.17), (2.18), а для определения постоянных А , В и использовать граничные уравнения. Так, если внутренняя и наружная поверхности трубы свободны, то, следовательно:

Если труба не имеет осевой нагрузки, то

Приведем окончательные выражения для напряжений на внутренней и наружной поверх­ности трубы для случая, когда на этих поверхностях поддер­живаются постоянные температуры Т _а и Т _b и, следовательно, для такого установившегося потока распределение температур по толщине стенки выражается формулой:

. (2.24)

Тогда на внутренней и наружной поверхностях:

(2.25)

. (2.26)

2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда

При решении некоторых задач, когда многие компоненты напряжений и деформаций отсутствуют, можно не прибегать к общим уравнениям теории упругости (в пе­ремещениях или в напряжениях), которые должны значительно упроститься, а все три необходимые стороны исследования (геометрическую, физическую и статическую) выполнить непосредственно применительно к рассматривае­мому частному случаю.

Представим себе шаровой сосуд, подвергающийся дей­ствию внутреннего и внешнего равномерных давлений. Пусть а и b обозначают соответственно внутренний и наружный радиусы шара (рис. 21), а р _a и р _b — внутреннее и наруж­ное давления газов.

Начнем со статического обследования. Выре­жем для исследования бесконечно малый элемент двумя па­рами взаимно перпендикулярных меридиональных сечений и двумя концентрическими сферическими поверхностями. Дей­ствие отброшенных частей сосуда заменим тангенциальными ( , ) и радиальными ( ) напряжениями. Так как в рассма­триваемом случае напряжения зависят только от радиуса r , то напряжения по двум бесконечно близким друг к другу концентрическим поверхностям будут отличаться на величину и не будут зависеть от угла — другого параметра, определяющего местоположение рассматриваемого элемента. Проектируя все силы на нор­маль к элементу, имеем уравнение равновесия в виде:

.

Имея в виду равенство и производя сокращения, получаем уравнение равновесия:

. (2.27)

Переходим к геометрическому обследованию. Из рассмотрения перемещений и формоизменения элемента заключаем, что относительное тангенциальное удлинение:

, (2.28)

а относительное радиальное удлинение:

. (2.29)

Выполним физическое обследование. Зави­симость напряжений от деформаций в данном случае имеет вид:

Напряжения через деформации выражаются (принимая во внимание равенство и ) так:

. (2.30)

Данные геометрического обследования используем для преобразования полученных физических зависимостей, т. е. подставляем (2.28) и (2.29) в (2.30). Имеем выражения для напряжений:

(2.31)

(2.32)

Выражения (2.31) и (3.32) подставляем в уравнение статики (12.27). Тогда после сокращений получаем выражение

, (2.33)

которое представляет собой уравнение, объединяющее в себе все три стороны исследования (геометрическую, физиче­скую и статическую).

Общий интеграл дифференциального уравнения (2.33) имеет вид

. (2.34)

Дифференцируя (2.34), находим

. (2.35)

Подставляя (2.34) и (2.35) в (2.31) и (2.32), получаем вместо диф­ференциальной формы выражения для напряжений в алгебраи­ческой форме:

(2.36)

. (2.37)

Постоянные интегрирования А и В определим из поверх­ностных условий:

.

Тогда, в силу (2.37), имеем:

(2.38)

Подставляя (2.38) в (2.36) и (2.37), окончательно получим:

Для случая одного внутреннего давления р _a наибольшее растягивающее тангенциальное напряжение будет на внут­ренней поверхности сосуда (при r = a ):

а минимальное на наружной поверхности (при r = b ):

.

Приведенное здесь решение задачи теории упругости получено применением метода переме­щений.

2.3. Сосредоточенная сила, действующая на плоскость

Пусть плоскость z = 0 является гранью полубесконечного сплошного тела пусть на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р по оси z (рис. 22). В литературе эта задача име­нуется задачей Буссинеска .

Для радиального напряжения можно принять в качестве первой попытки

.

Переходя к цилиндрическим координатам, по формулам перехода должны получить

.

Заменяя , имеем:

(2.39)

. (2.40)

Для определения коэф­фициента k составим уравнение равновесия по какому-либо горизонтальному сечению z = a . Для элементарной площадки в виде бесконечно тонкого кольца шириной dr и радиуса r имеем элементарную внут­реннюю силу

.

Со всех таких элементарных площадок, т. е. со всего сечения z = a , имеем сумму внутренних усилий

. (2.41)

Так как , то, дифференцируя, имеем 2 ldl = 2 rdr . Таким образом, (2.41) перепишется:

.

Уравнение равновесия по сечению z = а (сумма проекций на ось z ) приводит к выражению

,

откуда .

То, что выражения (2.39) и (2.40) дают точное решение задачи, можно доказать путем использования функции на­пряжений. Выполнение этой операции позволит определить нам также и другие компоненты напряжений ( , ).

На основании (2.13, 2.14, 2.15)

.

Окончательно формулы для напряжений примут вид:

. (2.42)

Для определения перемещений используем уравнения (2.2). Компо­нента смещения вдоль радиуса r

. (2.43)

После подстановки в (2.43) выражений (2.42) и преобразо­ваний получаем

.

При , как и следует ожидать, и == 0. На основании этого

,

. (2.44)

После подстановки в (2.44) выражений (2.42) и интегриро­вания, принимая также, что , получаем:

.

Для вертикальных перемещений точек на граничной плоскости z = 0 для так называемой “дневной поверхности” получим выражение:

. (2.45)

У начала координат, как это было и в плоской задаче, перемещения и напряжения становятся бесконечно боль­шими, и потому, необхо­димо представить, что у начала координат в области пла­стических деформаций материал вырезан полусферической поверхностью малого радиуса, а сосредоточенная сила Р заменена статически эквивалентными усилиями, распределен­ными по этой поверхности.

Полное напряжение в любой точке горизонтальной площадки (т.е. равнодействующая напряжений и на рис. 23)

.

Если, далее, очертить произволь­ным диаметром d сферу, касающуюся граничной плоскости в той же точ­ке O, то по всем горизонтальным площадкам, размещенным на поверх­ности этой сферы, полные напря­жения

.

2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства

а) Равномерная загрузка по площади круга. Имея реше­ние для сосредоточенной силы, действующей на плоскую грань упругого полупростран­ства, найдем перемещения и напряжения, возникающие под действием распределенной нагрузки, если применим прин­цип сложения действия сил. Пусть нагрузка общим ве­сом Р равномерно распреде­лена на «дневной» поверхности полубесконечного тела по площади круга радиуса а . Ин­тенсивность нагрузки

.

Составим выражения для перемещения точки С , нахо­дящейся на «дневной» поверх­ности, но в пределах загру­женного круга (рис. 24).

Проведем через точку С секущую МС, а в бесконечной близости другую – М₁С и рассмотрим влияние на «прогиб» точки С нагрузки, расположенной на элементарной площадке, заштрихованной на рис. 24. Эта площадка равна dF = sd ds , а нагрузка, на нее приходящаяся,

dP = qdF = qsd ds . (2.46)

От такой нагрузки точка С должна опуститься согласно (2.45) на

и тогда получим

.

Полное перемещение точки С от всей нагрузки

.

Из рис . 24 ясно, что взятый по всей длине секущей интеграл

. (2.47)

.

Для “прогиба” в центре круга, т. е. при r = 0, имеем:

.

Таким образом, зная а , избавимся от бесконечности, полу­чаемой по формуле (2.45).

Для “прогиба” точек, лежащих на контуре загруженного круга, т. е. при r = а, получим:

.

Отношение перемещений двух характерных точек

Перемещение точек, лежащих внутри загруженного круга, но не в центре его, могут быть вычислены на основании (2.48) с помощью таблиц аллиптических интегралов.

б) Загрузка на площади круга по “ полушару ”. Рас­смотрим случай, когда на площади круга радиуса а расположена нагрузка в ви­де шапки (рис. 25) таким образом, что в любой точ­ке загруженной территории интенсивность нагрузки

пропорциональна ординате полусферы, имеющей ра­диус а и основанием кото­рой служит упомянутая площадь круга. Иначе говоря, интенсив­ность нагрузки в любой точке согласно обозначе­ниям рис. 24 записывает­ся так:

;

здесь У_{кр .} — ордината круга, имеющего радиус a , k — коэффициент нагрузки, т. е.

,

a q ₀ — наибольшая интенсивность нагрузки (т. е. в центре загруженной территории), причем q₀ может быть выражена через об­щий вес:

.

Для вычисления перемещения точки С , поступая анало­гично предыдущему примеру, имеем:

.

Выясним геометрический смысл последнего интеграла. Из рассмотрения рис. 25 следует, что

,

где Q — площадь эпюры нагрузки на длине . Но так как, рассекая сферу любой плоскостью, мы всегда в разрезе бу­дем получать круг, то и в данном случае, рассекая нагрузку, в общем изображаемую “ полушаром ”, мы всегда в разрезе должны получить “полукруг” (этой фи­гурой в разрезе будет полуэллипс ). Таким образом, можем записать

,

где k — коэффициент, позволяющий перейти от геометриче­ского полукруга к “полукругу” в кавычках. Итак,

или, на основании (2.47),

.

Теперь для полного перемещения точки С имеем:

.

После интегрирования получаем:

, (2.49)

Если радиус изогнутой поверхности граничной плоскости будет велик по сравнению с радиусом загруженного круга, то выражение (2.49) можно практически считать уравнением некоторой сферической по­верхности.

в) Обратная задача. Очевидно, можно решать и обратные задачи, когда задано уравнение изогнутой «дневной» поверх­ности и требуется найти уравнение нагрузки, вызвавшей такую деформацию.

Возьмем, например, абсолютно жесткий штамп в виде круглого цилиндра, вдавливаемого в плоскую грань упругого полупространства. В этом случае перемещение w для всех точек будет по­стоянным по круглой подошве штампа; распределение дав­лений не будет постоянным и должно определяться в ре­зультате решения интегрального уравнения

Решение такого уравнения приводит к результату:

,

где Р — полная нагрузка на штамп, а — радиус штампа и r — радиус круга, на который действует давление q . Это рас­пределение неравномерно и наименьшее его значение в центре ( r = 0), где

,

т.е. наименьшее давление равно половине среднего давле­ния по круговой площади подошвы штампа. На контуре этой площади ( r = a ) давление становится бесконечно большим.

Перемещение штампа выразится формулой

.

Если предположить, что края штам­па имеют некоторое закругление, как это показано на рис.26, то распределение напряжений у краев штампов может существенно измениться. Такая сложная контактная задача была поставлена И. Я. Штаерманом и при­вела к ответу, представленному графиком на рис. 26.

В частности, это решение свободно от бесконечно больших напряжений, не имеющих реального значения. На указанном графике .

2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство

Представим, что на упругом полуространстве по­коится жесткий шар радиуса R (рис. 27). Если нет давле­ния на этот шар и исключить влияние собственного веса, то касание шара с граничной плоскостью полупространства бу­дет в точке. На расстоянии от точки касания, малом по сравнению с R , зазор между шаром и граничной плоскостью может быть, как известно, с достаточным приближением определен формулой:

.

Если к шару будет приложена нагрузка, нормальная к первоначальной граничной плоскости и проходящая через дентр шара, то вследствие упругости полупространства гра­ничная плоскость изогнется и шар опустится, как это пока­зано на рис. 26 (справа).

Ввиду симметрии деформации относительно оси, совпа­дающей с направлением силы, площадка контакта шара с де­формированной граничной поверхностью упругого полупро­странства будет представлять в плане круг неко­торого радиуса а; закон распределения давления под шаром не известен, (подлежит определению). Очевидно, эпюра этого давления должна представлять фигуру, симметричную относительно оси, совпадающей с силой.

Проведя через точку С в плане бесконечно близкие секущие, вычислим нагрузку, приходящуюся на бес­конечно малую площадку dp , отстоящую на расстоянии s от точки С. Если напряжение смятия у этой площадки обозна­чим через q , то элементарная сила на площадке dF соответствует (2.45). Влияние этой силы на опускание точки Е определится, согласно (2.45), таким образом:

или, после подстановки (2.46),

.

Влияние на прогиб рассматриваемой точки С всех элемен­тарных давлений со всей площади контакта шара и упругого полупространства оценится интегралом:

, (2.50)

В выражении (2.50) неизвестными являются w и функция рас­пределения давления q . С другой стороны, из чисто геоме­трических соображений, поскольку шар не деформируется, следует (рис. 27) что

, (2.51)

где w ₀ — опускание шара (и одновременно “прогиб” полу­пространства) в центре касания, a w ₁ — первоначальный зазор между шаром и граничной плоскостью. Тогда исследуемый прогиб

, (2.52)

где введено обозначение:

.

Уравнение (2.51) выражает условие, что «упругая» поверх­ность полупространства представляет под шаром часть по­верхности этого шара. Объединяя (2.50) и (2.52), имеем:

. (2.53)

В выражении (2.53) неизвестная функция q входит под знак интеграла и, следовательно, (2.53) является интеграль­ным уравнением. Но именно такое же уравнение имелось и выше, где, наоборот, была известна нагруз­ка (он а была задана по “ полушару ”), а определялся характер изгиба граничной плоскости.

На основании сходства правых частей (2.53) и (2.49) заключаем, что эпюра распределения давления по площади контакта представляет “ полушар ”. Таким образом, если дав­ление в центре контакта обозначим через q ₀, то на расстоя­нии r от этого центра давление

,

а при r = а (на контуре круга касания) обращается в нуль.

Все выражения предыдущего раздела целиком относятся и к данной задаче, т. е.

(2.54)

. (2.55)

2.6. Задача об упругом смятии шаров

Представим, что абсолютно жесткий шар радиуса R ₁ по­коится на упругом теле сферической формы, имеющей очень большой радиус R ₂, и в дальнейшем подвергается действию силы Р (рис. 28). При вычислении глубины вдавливания радиуса площадки контакта и наибольшего напряжения смя­тия под указанным шаром мож­но использовать формулы (2.55), введя вместо прежнего новое значение , определяемое выражением:

.

Последнее выте­кает из зависимости, состав­ляемой для выбираемого перво­начального зазора w ₁ в случае касания двух сферических тел (рис. 28), и в данном случае имеем:

.

Таким образом, при вдавливании жесткого шара в “почти бесконечную” сферу, получаем

; (2.56)

; (2.57)

. (2.58)

Полученные формулы могут употребляться лишь в случае, если радиус площадки смя­тия а будет весьма малым по сравнению с радиусом сферы R ₂, вследствие чего последнюю можно при небольших раз­мерах вдавливаемого шара считать “ полубесконечным ” те­лом, закон деформации которого был положен в основание вывода формул (2.55).

Если теперь представить случай двух упругих “почти бес­конечных” сфер, взаимно вдавливаемых силами Р (рис. 29), т. е. верхнюю сферу считать не абсолютно жесткой, а спо­собной деформироваться, то в этом случае можно

восполь­зоваться выводами предыдущей задачи, если ввести изменение в коэффициент, завися­щий от упругих свойств материалов, т. е. вместо k ₁ подставить

,

Е ₁ и — упругие характеристики матери­ала верхней сферы; E ₂ и то же для ниж­ней сферы.

Возможность такого простого перехо­да от формул (2.56), (2.57), (2.58) вытекает из тех соображений, что в данной задаче ввиду деформаций обеих сфер исходное уравнение деформации (2.53) должно быть записано в виде:

.

Последнее после введения обозначения (2.59), приводится к виду (2.53) с заменой k ₁ и k ₂.

Так как при сжатии упругих шаров радиус площадки смя­тия оказывается очень малым по сравнению с радиусами са­мих шаров, то рассмотренная сейчас задача о сжатии двух “почти бесконечных” сфер может быть практически исполь­зована и в задаче об упругом сжатии шаров (задача Герца). Итак, при сжатии шаров имеем:

; (2.60)

; (2.61)

. (2.62)

Зная закон распределения давления по поверхности контак­та, можно перейти к вычислению напряжений внутри шаров, используя для этой цели (2.42) и применяя принцип наложения.

Большой практический интерес представляет нахождение внутри сжимаемых шаров точек, имеющих большие касатель­ные напряжения. Исследование этого вопроса приводит к выводу, что точка, где касательное напряжение является наибольшим, лежит на оси z на глубине, равной примерно половине ра­диуса поверхности касания. Такую точку и следует рассматривать как самую опасную (в свете третьей теории прочности) для таких пластичных материалов, как сталь. Наибольшее касательное напряжение в этой точке (при = 0,3) составляет примерно 0,31 q ₀.

Из (2.60), (2.61), (2.62) следует, что радиус площадки смятия, взаимное вдавливание и напряжения смятия не находятся в линейной зависимости от силы Р. При увеличении силы Р напряжения и деформации шаров возрастают медленнее, чем возрастает сила.

Таким образом, в контактной задаче принятие в основу исследования линейной связи между компонентами напряже­ний и компонентами деформации в каждой точке упругого тела (обобщенный закон Гука) повлекло за собой нели­нейную зависимость между силой и перемещениями.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ОБЪЕМНОГО

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Величина напряжений в теле, нагруженном силами и находя­щемся в равновесии, в общем случае непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. напряжения являются непрерывными функ­циями координат. Выделим в напряженном теле элементарный параллелепипед (рис. 3.10) с гранями, параллельными коорди­натным плоскостям, и выясним, какие существуют условия, обеспечивающие его равновесие.

Пусть одна из напряженных точек а с координатами х, у, z отображается гранями параллелепипеда abcd, adb’c’ и ac’d’b. Вторая точка отстоит от на бесконечно малое расстояние, и соответственно этому координаты ее будут х + dx, у + dy и z + dz. Эта точка отображается гранями параллелепипеда a’b’c’d’, a’d’bc и a’cdb’. Понятно, что размеры ребер параллеле­пипеда равны dx, dy и dz.

Рис.3.10. Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Пусть напряженное состояние точки определяется тензором напряжений

Напряжения в точке ‘ отличаются от напряжений в точке на бесконечно малые величины. Пренебрегая членами высших порядков, можно принять, что приращение каждого напряжения выражается частным дифференциалом по той координате, по которой переместилась площадка действия данного напряжения, т. е. по координате, указываемой индексом адреса напряжения. Тогда тензор напряжений для точки ‘

Усилия, действующие по граням параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площади соответствующих гра­ней, указываемых индексами адреса напряжения.

Составляем условия равновесия, взяв суммы проекций всех сил на оси координат и приравнивая эти суммы нулю.

Раскрывая скобки и сокращая на dxdydz, получим

Суммы проекций на оси и можем написать по аналогии.

В результате получим

(3.38)

Таким образом, мы получили условия равновесия для объем­ного напряженного состояния в виде дифференциальных урав­нений в частных производных.

Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела.

Напряжения меняются по объему тела, и в элементах, выхо­дящих на поверхность, их величина должна быть такой, чтобы уравновешивать внешнюю нагрузку, действующую на поверх­ностную грань [5], т.е. удовлетворять поверхностным усло­виям или условиям на контуре.

Связать напряжение в бесконечно малом элементе тела, вы­ходящем на его поверхность, с внешней нагрузкой можно, исполь­зуя уравнения (3.3). Действительно, в общем случае элементар­ный участок поверхности тела можно рассматривать как наклон­ную грань элементарного тетраэдра.

Три дифференциальных уравнения равновесия (3.38) содер­жат шесть неизвестных (учитывая, что касательные напряжения попарно равны между собой), и, следовательно, для их решения требуются дополнительные уравнения. Таким образом, объем­ная задача в общем случае является статически неопределимой.

3.11. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Одним из частных случаев объемного напряженного состоя­ния, весьма часто встречающимся при обработке металлов давле­нием, является осесимметричное напряженное состояние.

Под этим видом напряженного состояния подразумевается напряженное состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, рас­положенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 3.11а). Примерами могут служить осадка цилиндрической заготовки, ее прошивка, выдав­ливание (прессование), волочение и др.

При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния весьма удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором , полярным углом , отсчитываемым от оси (х)и аппликатой , как представлено на рис. 3.11б, где а — проекция точки А на плоскость, перпендикулярную к оси , проходящую через точку О. Обозначения напряжений в цилиндри­ческих координатах и форма элемента показаны на рис. 3.13.

Тензор напряжений в цилиндрических координатах запишется так:

Рис.3.11. Осесимметричное напряженное состояние

Напряжение называют радиальным, — тангенциаль­ным, а — осевым.

При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты , и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравне­ниях равновесия обратятся в нуль. Кроме того, в меридиональ­ных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось , т. е. пло­скостях ) не могут возникнуть касательные напряжения вслед­ствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки.

Рис. 3.12. Форма элемента и напряжения в цилиндрической

Системе координат

Поэтому с учетом закона пар­ности касательных напряжений

Следо­вательно, напряжение всегда будет главным, т. е. , a ось может иметь любое направ­ление в плоскости (т. е. в пло­скости, нормальной к оси ).

Таким образом, компоненты напряжений при осесимметричном напряженном состоянии можно записать так:

Рис. 3.13. Напряжения, действующие на элемент при осесимметричном

Напряженном состоянии

Всего будет три нормальных и два равных между собой каса­тельных напряжения.

Применяя тот же метод, который был использован при рас­смотрении объемного напряженного состояния в декартовых коор­динатах (стр. 100), выведем дифференциальные уравнения рав­новесия в цилиндрических координатах для осесимметричного напряженного состояния.

Действующие напряжения показаны на рис. 3.14. Ось , как сказано ранее, можно провести в любом направлении на плоскости z. Для удобства вычисления на рис. 3.14 эта ось про­ведена так, что плоскость является плоскостью симметрии выделенного элементарного объема.

Площади элементарных площадок

= пл. abcd = dz;

= пл. a’b’c’d’ =

= пл. a’d’bc = ;

= пл. a’cdb’ — пл. ac’d’b = .

Запишем условия равновесия, проецируя все действующие на элемент силы на оси

и , принимая

(a)

Рис.3.14. Сферическая система координат

(б)

После алгебраических преобразований и сокращений, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим

(3.39)

При решении некоторых осесимметричных задач в дальнейшем придется встретиться кроме цилиндрических координат со сфе­рическими. В этой системе (рис. 3.15) положение точки опреде­ляется радиус-вектором и двумя углами и , определяю­щими его положение в пространстве. Угол отсчитывается от оси (аналогичен географической широте), а угол отсчитывается от некоторой оси в плоскости, нормальной к оси и проходящей через центр О системы (аналогичен географической долготе). Обозначения напряжений в сферических координатах получим, заменив индекс в обозначениях, данных для цилиндрической системы, индексом .

При осесимметричном напряженном состоянии напряжения не зависят от координаты , а касательные напряжения, содер­жащие в индексе эту координату, т. е. и , равны нулю.

Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния в сферических координатах при­ведем без вывода:

‘