Уравнения решаемые с помощью формул

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Тема урока: «Решение линейных уравнений, содержащих формулы сокращенного умножения»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Обработка рациональных приёмов решения уравнений.
• Выработка умения решения задач.
• Развитие элементов творческой деятельности учащихся и умения контролировать свои действия.
• Повторение решения уравнений.

Оборудование: печатные бланки, таблица.

Тип урока: урок- семинар комплексного применения знаний, умений и навыков.

1.Организационный момент. Сообщается план семинара.
2.Сообщение по теме « Уравнение»
3. Решение линейных уравнений.
4.Сообщение о формулах сокращённого умножения.

(Работа у доски и по карточкам.)

а) Решение уравнений, содержащих квадрат суммы.
б) Решение уравнений, содержащих квадрат разности.
в) Решение квадратных уравнений, содержащих разность квадрата.
г) Решение уравнений, содержащих несколько формул.

5. Решение задачи.
6. Творческая работа учащихся.
7. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1.Вступительное слово учителя.

Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга слон. Чтобы решить уравнение, тоже нужно совершить ряд превращений (алгебраических преобразований) и делать их нужно очень осмотрительно. Сегодня мы ещё раз увидим, какая удивительная сила заключена в формулах сокращённого умножения и как ловко они работают при решении уравнений.
Прежде всего, нужно чётко понимать, чем вы занимаетесь, когда решаете уравнение. Что, значит, решить уравнение и нужно знать, что главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшему.
И сегодня нам будут помогать формулы Сокращённого умножения.

2. Сообщение по теме «Уравнение»

3. Решение линейных уравнений у доски (учащиеся класса записывают решения в тетрадях)

Решение уравнений по карточкам.
в) 4(2-3x)+7(6x+1)-9(9x+4)=30
г) 3-5(x+1)=6-4x.
Сообщение №2.
Слово о формулах.

4. Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

а) x+(5x+2)2 =25(1+x2).
б) (x-6)2-x(x+8)=2.
Решение уравнений по карточкам.
в) (2-x)2-x(x+1,5)=4
г) x(x-1)-(x-5)2=2.

5. Решение уравнений, в которых содержится формула разности квадратов.

Работа у доски.
8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-16×2+9=2x,
8x-2x=-9,
6x=-9,
x=-1,5
Ответ: -1,5

Решение задачи.
Сторона первого квадрата на 2см. больше стороны второго, а площадь первого на 12 см больше площади второго. Найдите периметры этих квадратов.

Пусть x см сторона второго квадрата. Тогда(x+2) см сторона первого квадрата. Площадь первого (x+2) 2 см 2 ,а площадь второго x 2 .
Составляем уравнение:
(x+2) 2 -x 2 =12
x 2 +4x+4-x 2 =12,
4x=12-8,
4x=8,
x=2.
Если x=2,то 4x=4*2=8
Если x=2, то 4(x+2)=4(2+2)=16.
Ответ:16см,8см.

6. Решение разных уравнений, содержащих формулы сокращённого умножения.

7.Творческая работа учащихся. Заполнение таблицы.

Узнайте фамилию величайшего математика XVII века. Для этого зачеркните
буквы, не связанные с найденными ответами.
(Декарт)

Приложение к уроку.
Решение линейных уравнений.

Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

Работа по карточкам.

Решение разных уравнений содержащих несколько формул сокращённого умножения.

8. Подведение итогов урока.

Способы решения тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.

На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;

· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;

· развитие творческих способностей;

· повышение интереса к предмету;

· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;

· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Особенность методической разработки.

Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8

7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13

10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

2. Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.

Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;

Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим

Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим

Уравнения для самостоятельного решения:

V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

при решении тригонометрических уравнений.

Уравнения для самостоятельного решения:

VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Пример. Решить уравнение

Уравнения для самостоятельного решения:

VII. Уравнения вида

Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .

Пример.

Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда

Уравнения для самостоятельного решения:

VIII. Уравнения смешанного типа

1. Решите уравнения:

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

y

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

2. Решите уравнения.

y

Не удовлетворяет условию

Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

3. Решите уравнение.

Данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

не удовлетворяет условию

Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .

Ответ:

4. Решите уравнения.

Число корней на .

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.

Число решений на равно 5.

а)

Найти число решений на .

б) .

Найти число решений на

в)

Найти число решений на .

г) .

Найти число решений на .

5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.

Аналогичная ситуация с формулами

Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.

Примерами таких формул являются:

Ответ:

а) . Ответ: .

в) .

Ответ: .

б) . Ответ: .

г) .

Ответ: .

IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).

Уравнения, приводимые к алгебраическим.

Уравнения, решаемые способом разложения на множители.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения вида .

Уравнения смешанного типа.

1.

2.Найти наименьший корень уравнения на интервале

3.

Тест. Решение тригонометрических уравнений.

1. Найдите корни уравнения на интервале .

а) ; б) ; в) .

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

а) ; б) ; в) .

3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу

а) ; б) ; в) .

4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .

а) ; б) ; в) .

Задания для итогового контроля результатов обучения.

1. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите сумму корней управления

на промежутке .

3. Укажите количество корней уравнения

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;

б) .

X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.

Решите уравнение . (С2,2007г.)

ОДЗ уравнения:

Используя способ разложения на множители, получим

или .

не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.

.

Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:

С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:

1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.

2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.

3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.

4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.

5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.

6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.

7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.

8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.