Уравнения решение задач алгебраическим способом

«Составление алгоритма алгебраического способа решения задач»

Тема: Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.

Исследование алгебраического способа решения задач и составление алгоритма.
Формирование действия моделирования.
Развитие компонентов УД.

1. Карточки:
арифметический способ решения;
алгебраический способ решения;
задача.
2. Фломастеры, мелки, чистые листы, магниты, компьютеры.
3. Учебные принадлежности.

Чему учимся на уроке математики?

Что уже знаем хорошо?

Чему надо учиться?

Тему урока сформулируем позже.

Откроем тетради, оформим начало работы.

1.Вспомним некоторые умения, которые помогут в дальнейшем.

Составить по схеме уравнения и записать их.

Все остальные учащиеся выполняют любое из этих заданий:

Запиши уравнения и реши их.

1.Число 40 увеличили на произведение числа 6 и неизвестного и получили 76.

2.Составьте уравнение и решите задачи.

В классе 28 учеников. Сколько мальчиков в классе, если девочек 13?

В трех вазах 27 гвоздик. В первой вазе на 3 гвоздики меньше, чем во второй вазе, и на 6 гвоздик больше, чем в третьей. Сколько гвоздик в третьей вазе?

1.187 * (33467 : 49 – 362)

Что мы должны знать об уравнении?

Для чего нужны уравнения?

2.Построение моделей к уравнениям выполняем неплохо.

Вспомним, как они решаются.

Нам поможет компьютер.

Сели за компьютер. Задания выполняем в уме.

Подумай, а потом выполняй.

Какие инструменты нам необходимы:

в конце посмотреть результаты, сравнить с прошлым.

(Даются 11 заданий: сложные уравнения на : и х в пределах 100)

Кто закончил на черновике, составляет уравнения с числами а, 8, 32, 4.

3. Нам необходимо еще вспомнить одно умение.

(арифметический способ решения задач на листочках.)

Задача. В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько апельсинов в 8 таких же ящиках?

Работаем в паре.

Модель, решение. (Можно записать выражением, можно по действиям.)

Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.

Постановка учебной задачи.

Скажите, а можно было решить эту задачу другим способом?

Что нужно иметь для решения алгебраическим способом?

А он есть у нас?

А может ли его составить?

Да, мы с вами уже решали задачи таким способом.

Скажите, а есть ли подсказка к составлению алгоритма?

Составляем алгоритм, записываем на листочках. Работаем в группах.

Определите, кто будет записывать, кто рассказывать.

Кто закончит, прикрепляем алгоритм на доску.

Вместе будем выбирать пункты алгоритма.

Идет самостоятельная работа по составлению алгоритма.

Выделение известных и неизвестных величин.

Установление связи между условием и вопросом.

Выражение через это неизвестное других величин.

Решение задачи способом уравнения.

Вернемся к нашей задаче, решим ее уравнением.

Х кг – в 8 ящиках

(21 : 3) кг – масса одного ящика из 3

(Х : 8) кг – масса одного ящика из 8

Уравнение: 21 : 3 = Х : 8

Упрощаем: Х : 8 = 7

Ответ: 56 кг в 8 ящиках.

Какая тема урока сегодня?

(Составление алгоритма алгебраического способа решения задач).

Учительница по труду попросила, чтобы ученики составили чертеж выкройки прямоугольной повязки для дежурства. Она сказала: “Периметр повязки – 22 см, а длина на 3 см больше, чем ширина”.

Будем строить на компьютере. (не можем)

Почему не можем? (необходимо найти ширину и длину).

Чего не хватает в данном тексте? (должен быть вопрос).

Задача: Периметр прямоугольника равен 22 см, длина на 3 см больше, чем ширина. Чему равна ширина и длина прямоугольника?

Работаем в паре. Каким способом решаем?

Строим на компьютере.

Работаем в паре.

Обучение решению задач.

( из опыта работы учителя начальных классов по программе и учебникам Н.Б.Истоминой )

Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь.

Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач. Перефразируя Декарта, можно сказать: жить – значит ставить и решать задачи.

Особую большую роль играют задачи в обучении младших школьников математике. Решение задач выступает и как цель, и как средство.

В гимназии № 1 г. Нерюнгри в начальной школе в одном из классов обучение математике ведется по программе и учебникам Н.Б. Истоминой, которые реализуют задачи развивающего обучения, так как целенаправленно и непрерывно формируют приемы умственной деятельности: анализ, синтез, сравнение, классификацию, аналогию, обобщение в процессе усвоения математического содержания.

Активное включение приемов умственной деятельности в процессе усвоения математических знаний, умений и вычислительных навыков позволяет рассматривать:

• способы организации учебной деятельности гимназистов,
• способы познавательной деятельности школьников,
• способы включения в познавательную деятельность различных типов памяти,
• вопросы преемственности со средним звеном,

вопросы повышения качества знаний учащихся.

Выбор программы Н. Б Истоминой нами обоснован. Автор этого курса не стремится наполнить его новыми понятиями, а в основном ориентируется на объем стабильной программы и возрастные особенности младших школьников. Тем не менее, направленность курса на формирование приемов умственной деятельности потребовала усиление содержательной линии курса, которая связана с формированием у младших школьников системы понятий и общих способов действий. Это усиление нашло отражение в тематическом построении курса, что особенно связывает эту программу с программами развивающего обучения.

В отличие от стабильного курса, в которой текстовая задача рассматривается как средство формирования математических понятий и деятельность учащихся направлена на овладение умением решать определенные типы текстовых задач, в математике Н. Б. Истоминой дети приступают решению задач только после того, как у них сформированы все необходимые для этого знания и умения, усвоен смысл математических понятий, сформировано умение переводить предметные действия и их словесные описания на язык схем и математических символов. Это позволяет в теме “Задача” направить деятельность учащихся на овладение общими умениями решать задачи арифметическим способом: умения читать задачу, выделять известные и неизвестные величины, устанавливать связь между условием и вопросом, выбирать арифметическое действие для ее решения, активно используя при этом приемы умственных действий. Авторами этой программы изданы тетради для решения задач, в которых детям предлагается помощь при составлении схем, установлении зависимости между величинами, поиска способа действий. Очень важным, на наш взгляд, в учебниках этого автора, что рассуждать детям помогают их сверстники – герои учебника Миша и Маша.

В формировании навыка решения задач арифметическим путем способствуют уроки, проводимые в компьютерном классе. При проведении таких уроков нами активно используется программа “Семейный наставник” и “Презентации”.

Особой популярностью в нашем классе пользуются задания по диагностике, тренировочные упражнения в решении задач, контроль и работа над ошибками. Компьютер используется на уроке в 3 классе в течение 10 – 15 минут 1 – 2 раза в неделю на различных этапах урока. Уроки с компьютерной поддержкой позволяют решать на уроке следующие задачи: повышение интереса к предмету, осуществление дифференцированного подхода, увеличение возможности проведения тренировочных и коррекционных заданий, увеличение объема проверяемого материала, облегчение процесс контроля и оценки знаний.

Программа Н. Б. Истоминой знакомит и учит решать задачи алгебраическим способом, то есть способом составления уравнения. В компьютерной программе для начальной школы «Семейный наставник» существует подборка задач для решения их алгебраическим способом. В них пошагово отрабатываются все этапы алгоритма этого способа: введение неизвестного, выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче, составление уравнения, решение его, осмысление результата и формулировка ответа.

Эта программа нами используется постоянно, так как помогает в мониторинге качества знаний учащихся по математике. Дополнительно на каждого ученика нами заводится диагностическая карта по решению задач, в которой фиксируется успешность ученика в умении решать задачи, недочеты на каждом этапе решения, как в алгебраическом, так и в арифметическом способе решения задач.

К сожалению, ни одна компьютерная программа не предлагает заданий на графическое моделирование текстовых задач, т.к. компьютерные программы ориентированы в большей степени на традиционную программу. Моделирование (в обучении — по Истоминой) как психологическая проблема имеет два аспекта: как содержание, как способ познания и как одно из основных учебных действий, которое является составным компонентом учебной деятельности. Сегодня мы говорим о моделировании как о средстве представления текста задачи и как о средстве поиска решения задачи. На графическое моделирование текстовых задач на уроке выделяется достаточно много времени (для этого не надо жалеть времени). Третьеклассники составляют свою программу для компьютера по моделированию.

Предлагаемый урок – исследование алгебраического способа решения задач в 3 класс, составление алгоритма этого способа. Дети должны на уроке для себя открыть этот способ и составить его алгоритм Формы работы: коллективные, парные, групповые и индивидуальные. Урок проводится в компьютерном классе с использованием программы “Семейный наставник”. Дети с самого начала урока разделены на группы по привязанности друг к другу. На партах находятся необходимые учебные принадлежности, фломастеры и четвертая часть листа ватмана для записи алгоритма алгебраического способа решения, памятка с арифметическим способом решения задачи.

Выработанная нами система работы с задачей, проведение уроков с компьютерной поддержкой дают положительные результаты: стабильно высокое качество знаний по математике в 96%, “5” у 40%учащихся, минимум ошибок при решении задач, первые и призовые места в гимназических, городских и республиканских олимпиадах (3 место по математике во второй дистанционной республиканской олимпиаде для учащихся начальной школы).

Л.П. Виноградова, учитель начальных классов гимназии № г.Нерюнгри

Решение задач алгебраическим методом
методическая разработка по алгебре (5 класс)

Знакомство с алгебраическим методом решения текстовых задач

Скачать:

Предварительный просмотр:

РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Лиханова В.Е., учитель математики МБОУ «СОШ №12» г. Ноябрьск, ЯНАО

Наряду с арифметическим, практическим методами решения задач ученики 5 класса знакомятся и с алгебраическим методом. Многие ученики сначала не будут принимать новый метод, поэтому роль учителя на данном этапе должна заключаться в том, чтобы показать преимущества данного метода, но ни в коем случае не навязывать его. С этой целью необходимо предлагать задачи, которые арифметически решить трудно.

Особенностями алгебраического метода является введение переменной величины, что позволяет действовать с ней как с явной. Выполняется анализ основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, производится моделирование условия задачи в виде уравнения. Если при выборе действий опираемся на сюжетные особенности, то такой метод решения называется алгебраическим. Следует отметить, что в учебнике «Математика 5» авторского коллектива: Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова существуют определенные недостатки по обучению решению задач алгебраическим методом. Самым главным из них является недостаточность системы упражнений, готовящих детей к усвоению данного метода, а именно на составление различных выражений по сюжету задач и выяснение их сюжетного смысла.

Необходимые базовые знания для решения задач алгебраическим методом:

• усвоение понятия переменной величины;
• умение решать простые и составные уравнения;
• умение составлять по тексту задачи простые и составные выражения и определять их сюжетный смысл;
• находить выражения с одинаковым сюжетным смыслом.

Основные этапы формирования умения решать задачи алгебраическим методом:

1. Подготовительный.
2. Этап ознакомления с алгоритмом рассуждения и записью решения задачи.
3. Закрепление, выработка умения.

На первом этапе учитель должен познакомить учащихся с понятием «сюжетный смысл выражения», научить составлять всевозможные выражения по тексту задачи, определять их сюжетный смысл. Это можно сделать через следующую систему упражнений:

1. Дать текст с числами. Составить по этому тексту несколько выражений, записать их смысл.
2. Дать текст. Учитель составляет по этому тексту выражения, а ученики объясняют их смысл по тексту.
3. Предложить задание, подобное предыдущему, но среди выражений должны быть такие, которые не имеют сюжетного смысла по данному тексту.
4. По предложенному тексту с числами дети сами составляют выражения и определяют их смысл. В заключение находят выражения с одинаковым сюжетным смыслом.
5. Дать задачу, показать способ обозначения величины, которую требуется найти в вопросе задачи через х, показать способ составления выражений по задаче с использованием этой неизвестной величины как с известной. Определить сюжетный смысл выражений по тексту задачи.
6. По предложенному тексту учитель показывает сюжетный смысл одного из выражений. Детям предлагается составить выражение с тем же сюжетным смыслом.

У пруда росли липы, осины, березы и ели. Лип росло 12, осин – в 3 раза больше, чем лип, несколько елей, берез – на 5 меньше, чем елей. Составь различные выражения и объясни, что они обозначают.

Учитель предлагает обозначить число елей буквой х , работать с ней как с обыкновенным числом. Можно составить следующие выражения:

12·3 – количество осин,

х-5 – количество берез,

12+х – количество лип и елей,

12+(х-5) – количество лип и берез,

12·3+(х-5)+х –общее количество осин, берез, елей.

Основная задача второго этапа – введение понятия «основание для составления уравнения», введение алгоритма рассуждения и развернутой формы записи решения задачи алгебраическим методом. Деятельность учителя может быть организована следующим образом.

1. Дать текст задачи. Решить ее арифметическим методом.
2. Предложить обозначить через х неизвестную величину, значение которой требуется найти.
3. Составить ряд выражений по тексту и определить их сюжетный смысл.
4. Найти выражения с одинаковым сюжетным смыслом. Сообщить детям, что если выражения имеют одинаковый смысл, то они равны.
5. Составить равенство из двух выражений, в одно из которых входит переменная.
6. Вместе с детьми определить, что данная запись является уравнением.
7. Решить его и установить, что значение х и есть ответ.
8. Сообщить учащимся, что сюжетный смысл выражений, которые мы использовали для составления уравнения, будем называть основанием для составления уравнения, а метод решения задачи – алгебраическим.
9. Решить еще одну задачу таким же методом. Запомнить алгоритм рассуждений и полную форму записи решения задачи.
10. Решив другую задачу, учитель предлагает проверить правильность решения задачи. Для этого необходимо вспомнить все известные способы проверки правильности решения, которые использовали ранее.
11. Сообщить детям новый способ проверки. Для этого надо составить уравнение по другому основанию. Сделать вывод.
12. Сопоставляя решения первой и второй задачи, учитель в процессе фронтальной беседы составляет алгоритм решения задачи алгебраическим методом.

Алгоритм решения задачи алгебраическим методом.

1. Обозначить буквой неизвестную величину.
2. Составить выражения.
3. Выбрать основание.
4. Составить уравнение.
5. Решить уравнение.

6. Проверить правильность решения.

Знакомство с новым методом решения задачи можно начать:

• с простой задачи;
• сразу с составной.

В первом случае работа будет выполняться достаточно быстро, но учащиеся не увидят преимущества данного метода (ведь задача и так решена !).

Рассмотрим задачу. Ученики изготовили 135 елочных украшений, из них фонариков на 5 больше, чем хлопушек, а снежинок в 3 раза больше, чем снежинок. Сколько хлопушек изготовили дети?

Необходимо показать, что задача решается с помощью уравнения. Для этого надо ввести переменную величину. Обозначить буквой можно как число хлопушек, так и число фонариков, так и число снежинок (проще — число хлопушек). Составляем выражения с переменной.

Хлопушки- ? штук

Фонарики-?, на 5 штук больше 135 штук

Снежинки-?, в 3 раза больше

Пусть х штук хлопушек сделали дети, тогда они изготовили (х+5) штук фонариков, 3х штук снежинок. Всего было сделано (х+(х+5)+3х) штук украшений , а это – 135 штук украшений. Выражения ( х+(х+5)+3х ) и 135 имеют один и тот же сюжетный смысл, значит, их можно приравнять. Требуется подчеркнуть, чту уравнивать можно только выражения, имеющие одинаковый сюжетный смысл. Получится уравнение:

х+(х+5)+3х=135. Обратить внимание, что в уравнении наименования не пишутся. Решим уравнение

Итак, 26 хлопушек сделали дети.

Предложить решить задачу арифметическим методом . Без вспомогательной модели это сделать трудно. Составим схематический чертеж.

Хл.

Ф. 5 ш. 135 ш.

Сн. .

Все украшения можно разделить на 5 равных частей, если бы не было5 штук фонариков. Уберем их, при этом общее количество уменьшится на 5.

1) 135-5=130 (шт.) — украшений всего.

1. 130:5=26 (шт.) – в одной части , т.е. столько хлопушек сделали дети.

В задачах с пропорциональными величинами желательно использовать таблицу не только для краткой записи содержания, но и для проведения рассуждений при составлении уравнения. Сначала в таблице записывается содержание задачи, а затем (желательно другим цветом) заполняются все пустые графы выражениями с переменной величиной.

Из двух городов, расстояние между которыми 1620 км вышли одновременно навстречу друг другу два поезда, скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого и через 18 часов они встретились. Какова скорость каждого поезда?

Скорость

Расстояние

(х+10)км/ч На 10 км/ч больше

Статья на тему «Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения

Решение текстовых задач младшими шк ольниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.

Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.

Умение решать задачи — основа математической подготовки учителя к обучению младших школьников решению текстовых задач.

Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем , что из курса математики средней школы

практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.

Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.

Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.

Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.

Предварительно сделаем несколько замечаний:

1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.

2. Вид линейного уравнения не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. Решение системы линейных уравнений, на наш взгляд, практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим способом.

Пример 1. Задача сводится к уравнению

Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?

Алгебраический метод приводит к уравнению: (60 + 70) х + 60 • 3 = 440 или 130х+18= 440, где х часов — время движения второго поезда до встречи. Тогда: 130 х = 440- 180= 130

Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130 (км/ч), время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11-8=3 (ч), расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа (60 • 3 = 180 (км), расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 — 180 = = 260 (км), время движения второго поезда до встречи (260 : 130 -2 (ч)).

В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).

Пусть х часов — время движения второго поезда до встречи. По условию задачи получаем уравнение:

(60+70)-х+60*3=440 или 130х+180=440

Найдем сумму скоростей поездов: 60+70=130(км/ч).

Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)

Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).

Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).

Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.

= 3 (ч)- был в пути первый поезд до начала движения второго;

3 = 180 (км) — прошел первый поезд за 3 часа;

3) 440 — 180 = 260 (км) — расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

70 = 130 (км/ч) — скорость сближения поездов;

130 = 2 (ч) — время движения второго поезда;

6)11 + 2 = 13 (ч) — в такое время поезда встретятся.

Ответ: в 13 часов.

Пример 2. Задача сводится к уравнению вида: а ₁ х +в ₁ =а х+в

Задача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х — стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7 х — 4 х =40-16 —> Зх=24 —> х= 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше книг купили: 7-4=3 (кн.); на сколько меньше денег останется, т.е. на сколько больше денег израсходовали: 40 — 16 = 24 (р); сколько стоит одна книга: 24 : 3 = 8 (р). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 2.

Этапы решения задачи

Этапы решения задачи арифметическим методом

Пусть х — стоимость одной книги. По условию задачи

получаем уравнение: 4х+40=7х+16.

7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24

Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.

Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).

Найдем стоимость одной книги: 24:3=8(р.).

Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:

1) 7-4=3 (кн.) — на столько книг купили бы больше;

— 16 = 24 (р.) — на столько рублей заплатили бы больше;

3)24 : 3 = 8 (р.) — стоит одна книга.

Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + b x + сх = d

Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?

Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:

1 • 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

2) 2 • 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;

3) 1+2+8=11(ч) — приходится на весь путь

Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.

По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).

200: 11= 200 (км) — расстояние, которое преодолел турист на автомобиле;

2 = 400 (км) — расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

6)200 -8=1 600 (км) — расстояние, которое преодолел турист на поезде.

Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.

Пример 4. Задача сводится к уравнению вида (х + а) в = сх + d .

Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.

Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.

В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.

Найдем количество мест в одном вагоне:

Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:

1)5•18 = 90 (чел.) — на столько человек больше, чем мест было в 18 вагонах;

90 + 6 = 96 (м.) — в трех вагонах;

96 : 3 = 32 (м.) — в одном вагоне;

32 + 5 = 37 (чел.) — было в каждом из 18 вагонов;

37 • 18 = 666 (чел.) — уехало на трамваях;

666 + 174 = 840 (чел.) — было в театре.

Ответ: 840 зрителей.

Пример 5. Задача сводится к системе уравнений вида: х+ у = а, х –у = b .

Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.

Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?

Алгебраический метод приводит к системе уравнений:

х-у=6 где х: рублей — цена пояса, у рублей — цена пряжки.

Данную систему можно решить методом подстановки: выразив одно неизвестное через другое. Из первого уравнения, подставив его значение во второе уравнение, решить полученное уравнение с одним неизвестным, найти второе неизвестное. Однако в этом случае мы не сможем «нащупать» арифметический путь решения задачи.

Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.
Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).

Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).
Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)

Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:

Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.

Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.

Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).

Найдем цену пояса:

Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:

12+6= 18 (р.) — стоили бы два пояса, если бы пряжка стоила столько же, сколько и пояс;

2) 18:2=9 (р.) — стоит один пояс;

3) 12-9=3 (р.) — стоит одна пряжка.

О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.

Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:

ах + Ьу = с 1 х+у=с2

Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось ?

Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:

Умножаем обе части первого уравнения на 4.

Вычитаем ( почленно ) полученное уравнение из второго. Имеем:

(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.

Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.

Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.

Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).

Найдем количество шестиместных лодок: 6 : 2 = 3 (шт.).

Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:

1)4- 10 = 40 (чел.) — разместилось бы, если бы все лодки были четырехместными;

2) 6 — 4 = 2 (чел.) — на столько человек шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;

3)46 — 40 — 6 (чел.) — стольким школьникам не хватит места, если

все лодки четырехместные;

4) 6 : 2 = 3 (шт.) — было шестиместных лодок;

5) 10 — 3 = 7 (шт.) — было четырехместных лодок.

Ответ: 3 шестиместные лодки, 7 четырехместных лодок .

Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2

Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?

Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:

21 х + 28 у = 182,

21 х + 18 у = 132.

Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.

(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.

3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.

Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:

26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).

Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:

Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:

Найдем, сколько стоит Блокнот:

Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:

1) 26 • 7 = 182 (р.) — стоят 21ручка и 28 блокнотов;

2) 44 • 3 = 132 (р.) — стоят 21ручка и 18 блокнотов;

3) 28 — 18 = 10 (шт.) — на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;

4) 182 — 132 = 50 (р.) — стоят 10 блокнотов;

5) 50 : 10=5 (р.) — стоит блокнот.

Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.