Уравнения с 5 по 7 класс

«Проблематика решений уравнений в 5-7 классах»
статья по математике (5, 6, 7 класс)

Краткий очерк о проблеммах в уравнениях с которыми сталкиваются учащиеся в 5-7 классах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ПРОБЛЕМАТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В 5-7 КЛАССАХ.

В.А. Егорова
ГБОУ СОШ №411 «Гармония» с углубленным изучением английского языка Петродворцового района Санкт-Петербурга, Санкт-Петербург
E-mail: EgorovaVika96@mail.ru

Ключевые слова: уравнение, линейное уравнение, корень, неизвестное, правила, перенос, знаки, равенство, сумма, разность, вычитаемое, уменьшаемое, делитель, делимое, множитель, произведение, частное, слагаемое.

Аннотация. В работе рассмотрены проблемы решений уравнений в пятых, шестых и седьмых классах. Описаны необходимые знания, умения, навыки. Рассказано об особенностях уравнений в каждом из классов. Описана сложность адаптации детей к уравнениям в седьмых классах. Предложен способ объяснения «переноса» через знак равенства. Решены примеры уравнений самими обучающимися. Проведен анализ системы решения уравнений по траектории пятых-седьмых классов.

Уравнения всегда занимали ведущую роль в курсе изучения математики в школе, не даром на них отводят много учебного времени. Известно всем, если ребёнка научить решать уравнения, то большинство задач для него станут по силам. Даже те задачи, которые вызывали сложности в понимании и решении, с уравнением принимают облегченное значение. Но прежде, чем переходить к задачам, необходимо сформировать навык решения линейных уравнений.

Уравнения – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Корень – число, при подстановке которого в уравнение, получаем верное равенство. Поиск корня уравнения является решением уравнения . Удивительно, но эти определения учащиеся узнают в первом классе, последующие четыре года, закрепляют полученные знания. В итоге, мы получаем, что курс математики в пятых и шестых классах вновь повторяет изученные правила для поиска корней уравнения. Единственное отличие, это сложность самих уравнений. Получается, чтобы решать уравнения необходимо и достаточно знать около шести правил для нахождения неизвестного (слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого, делителя, делимого, множителя). В помощь детям на данном этапе нам нужно предложить следующие схемы:

К сожалению, опытным путем известно, дети, которые отлично выучили правила, не могут их применять при отсутствии понимания расположения объектов в уравнении и их названиях. В целом для пятого класса достаточно знать правил и «названия» чисел в примерах.

Шестой класс добавляет сложности в решений уравнений тем, что появляются отрицательные числа. Необходимо чёткое понимание знаков перед числами. Нужно добиться запоминания, что перед числом всегда есть свой знак или Здесь сразу встает вопрос перед преподавателем, как теперь строить решение уравнений. Через уже известные правила или начинать объяснять детям перенос чисел за знак равенства. Так как появление отрицательных чисел уже само по себе является стрессом для учеников, то путь наименьшего сопротивления – вернуться к известным правилам. (Заметим, что всё зависит от способностей учеников. Нельзя предлагать другие способы решения, если дети не в силах их освоить.) Но возвращение к правилам вызовут трудности в старшем классе с пониманием «переноса числа через знак», поэтому важным является момент обсуждения другого способа решения. Возможно, уже в шестом классе ученики возьмут этот способ на вооружение!

Рассмотрим пример . Ученики пятых/шестых классов скажут:

• является неизвестным уменьшаемым;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к разности прибавить вычитаемое ;

• – неизвестный множитель ;
• Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на известный множитель ;

Ученики решают уравнения через правила, они не заметят, что у числа 25 знак при переносе через знак «равно» поменялся на противоположный. На это стоит обращать внимание уже в шестом классе, чтобы в последующем им было легче ориентироваться.

Седьмой класс несет новые усложнения материала. Самым главным является то, к примеру неизвестное ( ) уже может стоять в обеих частях уравнения и на данном этапе воспользоваться правилами у учеников нет возможности. Появляется перенос чисел через знак равенства, появляются ошибки. Чтобы ошибок было меньше необходимо работать с ними больше, если начинать говорить о переносе раньше, чем в седьмом классе, то осознание действия происходит раньше.

Рассмотрим уравнение: Как можно заметить, тут несколько неизвестных и применить правило пятого/шестого класса достаточно проблематично. Здесь, как две аксиомы даются советы учителей:

1. Неизвестные в одну сторону уравнения, известные в другую.
2. При переносе числа через знак равенства его знак меняется на противоположный.

Представим ход решения глазами учеников:

• Переношу неизвестные влево, известные вправо. необходимо перенести влево, вправо.

• неизвестный множитель , чтобы его найти надо произведение разделить на известный множитель .

Видим, что на последнем этапе ученики седьмых классов всё же используют правила, которые изучали до этого. Если они не доведены до автоматизма, то необходимо вновь их выучить.

Есть интересный способ объяснения переноса через знак равенства через «уравнивание» частей. Важным здесь является то, что надо объяснить главный смысл уравнения. Уравнение — значит равенство левой и правой части, а если мы прибавляем к левой части какое-то число, то обязаны прибавить его же и к правой! Рассмотрим уравнение, но постараемся подвести мысль к «уравниванию» частей.

У детей сформировано понятие уравнения вида: , где число. То есть, они привыкли что слева (с одной стороны) должно оставаться неизвестное. Что сейчас мешает нам? Конечно, . А что необходимо сделать, чтобы этого числа не было в левой части? Прибавить ему противоположное, а если мы прибавляем к левой части, то обязаны прибавить и к правой части уравнение тоже самое число.

Этот ход для учеников более понятен и математически обоснован. Его можно сравнить с чашами весов. Где мы добавляем гирю на одну сторону и, чтобы привести весы в равновесие, нам необходимо столько же прибавить и на вторую сторону. И когда этот механизм уже осознан, можно говорить о сокращении записи и подметить тот факт, что справа число 25 отличается тем, что имеет перед собой знак . А значит перенос через знак равенства меняет знак перед числом на противоположный.

Как мы с вами могли заметить, уравнения идут красной нитью по всем классам. С каждым годом усложняя какую-то часть. Необходимо знать о сложностях в изучении данной темы, чтобы знать обходы и способы избегания ошибок. Самое главное в любом классе — это объяснение материала, основанное уже на изученном материале или общеизвестных фактах, подкрепленных экспериментами. Всегда необходимо давать немного больше для размышления ученикам, немного больше, чем предусмотрено программой. Тогда в будущем будет легче самим детям, не говоря уже о преподавателях.

1. Петерсон Л.Г. Учебник «Математика. 1 класс» Издательство «С-инфо».
2. Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра 7 – 9 классы. Составитель Бурмистрова Т.А. – М: Просвещение, 2008.
3. Алгебра 7 класс. 12 сентября. Решение линейных уравнений #2. Развивающее обучение на уроках математики и во внеклассной работе. Андреев Андрей Андреевич. Режим доступа: https://www.youtube.com/watch?v=a0Yd0tejekg
4. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебников «Сферы». 5–6 классы : пособие для учителей общеобразоват. организаций / [Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.]. — 3-е изд. — М. : Просвещение, 2014.
5. Федеральный компонент государственного стандарта основного общего образования по математике

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентапция к уроку математики по теме «Решение уравнений»в 5, 6 классах

Презентация составлена к уроку математики в 5,6 классах (класс — комплект) малокомплектной школы по проблеме разновозрастного убучения в сельской малокомплектной школе.

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Презентация по теме «Решение уравнений. Раскрытие скобок», 6 класс

Презентация по теме «Решение уравнений. Раскрытие скобок», 6 класс.

Урок-защита проектов «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе «Решение уравнений высших степеней», на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, .

Элективный курс «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» 11 класс

Настоящая программа составлена для выпускников 11 класса и рассчитана на 35 часов в год (1 час в неделю). Программа состо.

Контрольная работа по теме «Решение уравнений второй степени» (9 класс)

В контрольну работу включены системы уравнений второй степени, для решения которых используются различные методы. Контольная работа составлена для базового уровня сложности. Представлены 2 варианта ра.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Уравнения с 5 по 7 класс

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения и
Корни уравнения		-любое число	корней нет

Одночлены и многочлены

Одночлены

• Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.

• Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.

• Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

• Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

• Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

• Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.

• Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

• Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Многочлен называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

• Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
• Графиком линейной функции является прямая.
• Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

• все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
• координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

• построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
• найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
• полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
• если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

• выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
• подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
• решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
• подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

• подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
• сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
• решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
• подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.