Уравнения с дробными выражениями 6 класс

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Урок 20 Бесплатно Дробные выражения

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Дробные выражения

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

Пример:

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: «Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?», то можно смело ответить: «Да, является!»

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

Примеры:

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

Примеры:

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

В данном случае \(\mathbf<3+10\cdot2>\) будет являться числителем, а \(\mathbf<2+\frac<1><2>>\)- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Вычисление дробных выражений

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

• может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
• может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
• в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом

Пример 1

Вычислим значение выражения \(\mathbf<\frac<1+2\cdot4><5-2>>\)

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

Пример 2

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

Пример:

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приемы для работы с дробными выражениями

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Пример:

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

Это и будет значением этого выражения.

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя — это гарантированно дает результат.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

И парочка примеров на этот случай:

И в завершение еще дам такой пример:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5— единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Конспект урока по математике «Решение целых уравнений дробного вида» 6 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ СОШ №7 г. Шарья Костромская область

учитель математики Соколова Н.Ю.

Решение целых уравнений дробного вида.

Цели урока: получить алгоритм решения уравнений дробного вида, формировать умение решения целых уравнений дробного вида.

сформулировать алгоритм решения уравнений дробного вида;

вырабатывать у учащихся навыки применения алгоритма при решении уравнений.

развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению проблемы» и пути ее решения;

развитие навыков самоорганизации и самоконтроля, самостоятельности, внимательности

воспитание интереса к математике, активности, творчества.

практическое применение алгоритма решения уравнений дробного вида.

Интерактивная доска, сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре 9 класс, учебник «Математика 6 класс» И.И. Зубарева, раздаточный дидактический материал, презентация, лист самоанализа.

Тип урока: введение нового знания.

Технология: проблемное обучение.

Перед вами лист для самоанализа. Напомню, как с ним работать

запись числа и классная работа

— понял, но не все

Работа в группе. Решение уравнений

Самостоятельное решение уравнений.

— Каждый человек способен на большее, чем он думает о себе и своих возможностей. Но достижению этих возможностей чаще всего нам мешает страх. (Страх перед поставленной задачей).

И одна из задач сегодняшнего урока научиться преодолевать этот страх .

— Представьте себя мастером или инженером на крупном судостроительном или авиастроительном заводе. Перед вами поставлена задача, решение которой зависит от правильного включения ваших умственных возможностей.

Задача находится на стр. 31 сборника Алгебра, работа 20 вариант1, №3

— Я вижу, вы удивлены?

Чем это уравнение отличается от тех, простых, которые мы умеем решать?

— Какой вопрос встает перед вами?

Как здорово! Как еще можно сказать?

— Так. Что вы использовали при решении простых уравнений?

— Уточните тему урока.

Правильно. Алгоритм, который вы сегодня сформулируйте будет

применяться и при решении дробно- рациональных уравнений в 8 классе.

Уравнения, которые мы разберем, решают ученики на экзамене в 9 классах.