Уравнения с двойными модулями за 7 класс

Решение уравнений с модулем методом интервалов

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений. Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:

Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.

Решим уравнение |x − 5| − |x| = 1 методом интервалов.

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.

Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |x − 5| и |x| .

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:

Для модуля |x − 5| точкой перехода будет 5 . Для модуля |x| точкой перехода будет 0 .

Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:

Проведем дуги от точек перехода:

С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x x значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ x .

Во втором же промежутке 0 ≤ x значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5 .

Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.

Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид x ≤ 0 , а второй промежуток принял бы вид 0 , потому что ноль уже был включен в первый промежуток.

Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.

Теперь выясним как будут вести себя модули |x − 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.

Начнем с первого промежутка x x , то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение x − 5 станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке x −(x − 5) + x = 1 , которое получилось после раскрытия модулей на промежутке x

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.

Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0 ≤ x .

Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение x − 5, станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке 0 ≤ x будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0 ≤ x будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке 0 ≤ x уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(x − 5) − x = 1

Решим это уравнение:

Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку 0 ≤ x . Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1 . Проверка также показывает это:

Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5 .

Если x больше или равно пяти, то модуль |x − 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид x − 5 − x = 1 .

Решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.

В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x

Пример 2. Решить уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7

Решение

Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |x − 3| и |x + 2|

Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули |x − 3| и |x + 2| на этих промежутках.

На промежутке x модуль |x − 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка x . Например, числа −4 или −9

Следующий модуль |x + 2| на промежутке x тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка x в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8

Значит после раскрытия модулей на промежутке x исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:

Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток x x найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 верно, значит корень −3 входит в промежуток x и соответственно является корнем исходного уравнения.

На следующем промежутке −2 ≤ x x ≥ 3 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:

Решим это уравнение:

Этот корень входит в рассматриваемый промежуток x ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Ответ: −3 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16

Решение

Найдём точки перехода для модулей |2x − 3| и |2x + 7|

Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:

Решим исходное уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16 на промежутке . Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:

Корень −5 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Модуль |2x − 3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:

Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

Корень 3 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5 и 3 .

Пример 4. Решить уравнение |x − 2| + 3x = |x − 5| − 18

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x − 2| и |x − 5|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке x . Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число −5 принадлежит промежутку x , значит является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке 2 ≤ x . Модуль |x − 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |x − 5| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 2 ≤ x , значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 5 . Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:

Число −7 не принадлежит промежутку x ≥ 5 , значит не является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5

Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x − 4|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке x . Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число не принадлежит промежутку x , значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |x − 7| и |x − 4| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 0 ≤ x , значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4 ≤ x . Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль |x − 7| — с минусом; модуль |x − 4| — с плюсом:

Число не принадлежит промежутку 4 ≤ x , значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7 . Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:

Число не принадлежит промежутку x ≥ 7 , значит не является корнем исходного уравнения.

Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.

Пример 6. Решить уравнение

Решение

Найдём точки перехода для модулей и

Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.

Если у модуля внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2x − 1 ≥ 0 (что равносильно ), то исходное уравнение примет вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x| . Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны . Отметим эту точку на координатной прямой.

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x| , то точки перехода надо найти для модулей |2x − 1 − 5| и |6 − x| .

Для модуля |2x − 1 − 5| точкой перехода будет число 3 , а для модуля |6 − x| — число 6 . Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку

Сейчас нас интересуют только те значения x , которые удовлетворяют условию , потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию

Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это . На нем модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом:

Получили тождество — равенство верное при любом значении x . В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка . Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию

Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3 ≤ x . Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:

Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию , согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 6 . На этом промежутке модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с плюсом, а модуль |6 − x| с минусом. Тогда:

Корень 0 не удовлетворяет условию x ≥ 6 , значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.

Итак, если внутренний модуль уравнения раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток , а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:

Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2x − 1 (что равносильно неравенству ). В этом случае исходное уравнение примет вид:

Отметим точку на координатной прямой.

Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от . Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.

Найдем точки перехода для модулей |−2x + 1 − 5| и |6 − x| . Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6

Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от . Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом

Решим уравнение на промежутке x . На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x исходное уравнение не имеет корней.

Решим теперь уравнение на промежутке . Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2x + 1 − 5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом.

Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток x , который мы уже рассмотрели. На промежутке x модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.

На промежутке модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:

Получится корень который не удовлетворяет условию . Несмотря на это число является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2x − 1 ≥ 0 .

Задания для самостоятельного решения

Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241305 0

Уравнение с модулем. наглядное пособие по алгебре ( 7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля.

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

|а| = — а

Короче это записывают так:

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

На доске записали решение линейного уравнения, но часть уравнения вытерли. Восстановите их.

Краткое описание документа:

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 592 943 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 17.01.2015
• 1622
• 1

• 17.01.2015
• 1249
• 1

• 17.01.2015
• 1925
• 17

• 17.01.2015
• 735
• 38

• 17.01.2015
• 800
• 2

• 17.01.2015
• 755
• 0

• 17.01.2015
• 586
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.01.2015 20238
• DOCX 38.5 кбайт
• 121 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Джелилева Зера Рефатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 32015
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.