Уравнения с двумя модулями и двумя переменными

Уравнения с двумя модулями и двумя переменными

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ \left\<\begin\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end\right.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$\left|x-y\right|=\left\<\beginx-y,\;\mathrm<или>\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm<или>\;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида |f(x)|=g(x)

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

Рассмотрим отдельно каждый случай:

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это 3=−7

? При каких значениях x? «Какой ещё нафиг x? Ты обкурился? Там вообще нет x» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной x

, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: x=1

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

Первое уравнение имеет корни x=3

. Второе вообще является точным квадратом:

Поэтому у него единственный корень: x=1

. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

(т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких x

сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: x=1

Модули в системах уравнений и неравенств с двумя переменными

Подробней о раскрытии модуля в уравнении, см. §40 справочника для 7 класса, а также пример 2 §14 данного справочника.
Подробней о раскрытии модуля в неравенстве, см. §10 данного справочника.

п.1. Примеры

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x-1)^2+y^2=1>& \end\right. \)
Проанализируем первый график:
Исходная прямая y = x – 1 превращается в ломаную y = |x – 1|, «отражается» в точке (1; 0) в положительную полуплоскость y > 0.
Далее, ломаная y = |x – 1| опускается на 1 вниз y = |x – 1| – 1.
Наконец, области y = |x – 1| – 1 с отрицательными Y снова отражаются в положительную полуплоскость y > 0.
Второй график – окружность с центром (1; 0), радиусом 1.

Решение – точка A(1; 3) и треугольник BCD, заданный системой трех неравенств:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Пример 3. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y = x 2 – 5|x| + 4 – парабола y = x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), x > 0, отраженная в отрицательную полуплоскость x 0 является прямая \( \mathrm<2>=\frac<1+4><2>=2,5> \)
Вершина лежит на оси. Ордината вершины: y₀ = 2,5 2 – 5 · 2,5 + 4 = –2,25.
В полуплоскости x –2,25 решений бесконечное множество (отрезки кривой).
Ответ: a = –2,25.