Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Перечень рассматриваемых вопросов:
• Решение линейных уравнений.
• Линейное уравнение с двумя неизвестными.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.
Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.
Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.
Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.
x 2 + z 2 = 7x 2 + z 2 = 7
Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.
Попробуем дать определение таких уравнений.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.
Решим уравнение: 2x – y = 3
Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.
Подставив эти значения, получим верное равенство:
Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.
Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4
Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.
Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.
Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.
Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.
В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.
Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Возьмём уравнение: 2x – y = 4
Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:
y = ax + b, графиком является прямая линия.
Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.
Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.
далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,
Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?
Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,
разделим обе части уравнения на 2:
подставим вместо переменной x её значения:
при x = 3 получаем:
при x = 4 получаем:
при x = –4 получаем:
Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:
Решите уравнение: x – 2y = 5
Выразим переменную x через переменную y:
подставим вместо переменной y её значения:
при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7
при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11
при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15
Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
Изобразить множество точек, удовлетворяющих
На координатной плоскости. Вы смогли бы выполнить задание? В чем у вас возникли затруднения?
Цель и задачи
- расширение знаний об уравнениях, неравенствах, системах уравнений и неравенств.
- научиться изображать множество решений на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством;
- развивать внимательность и наблюдательность при выполнении тренировочных заданий;
- контролировать свои успехи на уроке.
Узнаем, научимся, сможем
- как изображать на координатной плоскости множество решений, задаваемое линейным уравнением, линейным неравенством, системой линейных неравенств;
- строить графики линейных уравнений, линейных неравенств, систем линейных неравенств;
- находить площади получившихся фигур на координатной плоскости.
Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
Выберите уравнения, которые являются линейными:
Алгебра. 7 класс
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Математические термины
Стандартный вид
Стандартный вид
Определение
Значение переменной
Необходимо запомнить
Уравнение вида $ax + by =c$, где $x$ и $y$ – неизвестные и свободный член c – любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.
$ax + by =c$ – нормальный вид такого уравнения.
Каждая пара значений x и y, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.
Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.
Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при y равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например:
Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений, является прямая, параллельная оси ординат.
Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a = 0$ и $b = 0$, то возможны два случая:
1) $0x + 0y =17$ или $0 = 17$ – уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;
2) $0x + 0y = 0$ или $0 = 0$ – уравнение имеет бесчисленное множество решений (причём значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.
Задача на составление неопределенного уравнения
Трёхногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось $15$. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Необходимо ввести две переменные: $x$ – число инопланетян, $y$ – число питомцев, тогда получим уравнение $3x + 2y = 15$.
Давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.
$3x + 2y = 15$. Выразим y через $x$: $y=\frac<15-3x><2>$, далее воспользуемся методом перебора: при $x = 1$, $y = 6$, при $x = 2$, $y\: \notin \: N$ , при $x = 3$, $y = 3$.
Ответ: $1$ инопланетянин и $6$ питомцев; $3$ инопланетянина и $3$ питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/6122/start/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7273/main/