Уравнения с двумя переменными 9 класс макарычев

Уравнение с двумя переменными и его график — Уравнения с двумя переменными и их системы — Уравнения и неравенства с двумя переменными

Целы ввести основные понятия и термины темы.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала

Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными). Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Уравнение с двумя переменными может иметь: бесконечное множество решений или ограниченное число решений, а также не иметь решений.

Рассмотрим следующие уравнения с двумя переменными:

а) Уравнение 3х + 7у = 10 (уравнение прямой) имеет бесконечное множество решений.

б) Уравнение |х — 1| + у2 = 0 имеет единственное решение: х = 1, y = 0.

в) Уравнение (х2 — 1)2 + (у2 — 4)2 = 0 имеет четыре решения: х = 1, у = 2; х = 1, у = -2; х = -1, у = 2; х = -1, у = -2.

г) Уравнение |х — 1| + (у — 2)2 = -5 не имеет решений.

Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

а) Уравнения |х| + (у — 1)2 = 0 и х2 + |у — 1| = 0 равносильны, т. к. имеют одно и то же решение: х = 0 и у = 1.

б) Уравнение |х| + (у — 1)2 = 0 и x2 + |y2 — 1| = 0 неравносильны, т. к. первое имеет одно решение: х = 0, у = 1, а второе — два решения: х = 0, у = 1 и х = 0, у = -1.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если одна часть уравнения представляет собой многочлен стандартного вида, а другая — число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для определения степени уравнения его заменяют равносильным, одна часть которого — многочлен стандартного вида, а другая — нуль.

Уравнение (х3 + 2у2)2 = х6 — 2х2у равносильно уравнению х6 + 4х3у2 + 4у4 = х6 — 2х2у и равносильно уравнению 2х3у2 + 2у4 + х2у = 0. Поэтому данное уравнение является уравнением пятой степени.

Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

а) Графиком уравнения ах + by = с (где а ≠ 0 или b ≠ 0) является прямая.

б) Графиком уравнения у = ах2 + bх + с (где а ≠ 0) является парабола.

в) Графиком уравнения (где с ≠ 0 и ad — bc ≠ 0) является гипербола.

Рассмотрим еще одно важнейшее и часто встречающееся уравнение — уравнение окружности с центром в точке (а; b) и радиусом R: (х — а)2 + (у — b)2 =R2.

Выведем уравнение окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке 0(а; b) и радиусом R. Выберем произвольную точку А(х; у) на окружности. Проведем отрезки ОВ и АВ параллельно оси абсцисс и оси ординат соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, в котором катеты OB = |х — а| и АВ = |у — b| и гипотенуза ОА = R. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:

ОВ2 = АВ2 = ОА2, или |х — а|2 + |у — b|2 = R2, или (х — а)2 + (y — b)2 = R2.

Это и есть уравнение окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: х2 + у2 = R2.

Построим график уравнения х2 — 2х + у2 + 4у = 0.

Так как в уравнение переменные х и у входят во второй степени (и ниже), то это уравнение окружности. Выделим в уравнении полные квадраты по переменным хну. Для этого запишем уравнение в виде (х2 — 2х + 1) + (у2 + 4y + 4) = 5 или

Видно, что это уравнение окружности с центром в точке O(1; -2) и радиусом Теперь легко построить и сам график.

Построим график уравнения

Прежде всего отметим, что у ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: у2 = 4х — х2, или у2 — х2 — 4х = 0. Выделим квадрат разности по переменной х: у2 + (х2 — 4х + 4) = 4, или (х — 2)2 + у2 = 22. Получили уравнение окружности с центром в точке O(2; 0) и радиусом R = 2.

Учитывая ограничение у ≥ 0, имеем верхнюю полуокружность. Теперь можно строить график.

Заметим, что графики уравнений с двумя переменными могут иметь самый разнообразный и даже необычный вид.

III. Контрольные вопросы

1. Определение уравнения с двумя переменными.

2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

3. Какие уравнения называют равносильными?

4. Как определить степень целого уравнения с двумя переменными?

5. Уравнение окружности с центром в точке O(а; b) и радиусом R.

IV. Задание на уроке

№ 395 (а, г); 396 (а, в); 397 (г); 399 (а, д, ж); 402 (а, г); 404 (б); 405 (а); 408; 410; 411 (а).

V. Задание на дом

№ 395 (б, в); 396 (б, г); 397 (в); 399 (б, е, з); 402 (б, в); 404 (а); 405 (в); 406; 409; 411 (б).

Конспект урока по алгебре для 9-го класса на тему «Уравнение с двумя переменными и его график»

Конспект урока разработан в полном соответствии с требованиями ФГОС

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре для 9-го класса на тему «Уравнение с двумя переменными и его график»»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Дагнинская основная общеобразовательная школа»

с. Дагни Табасаранского района Республики Дагестан

Урок математики в 9-ом классе по теме:

«Уравнение с двумя переменными и его график».

высшей квалификационной категории

Шахбанов Эскер Алифович

2020-2021 учебный год

Тема урока: Уравнение с двумя переменными и его график.

Цели урока: — обобщить и углубить сведения по теме урока;

— сформировать навыки построения графика уравнений и составление уравнений, графиками которых являются пара прямых;

— развивать логическое мышление;

— воспитание культуры графического построения уравнений.

Цели для учащихся:

— определить, является ли пара чисел решением уравнения;

— устанавливать соответствия между графиком уравнения и его уравнением;

— совершенствовать навыки построения графика уравнения (гипербола, окружность).

Оборудование: раздаточный материал, презентация.

Устная работа. Актуализация знаний:

Ребята, вспомним, что вы уже знаете по этой теме:

Что называется графиком уравнения? (Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство)

Какая фигура является графиком уравнения?

а) 2х = 5 + 3у; б) 6х 2 – 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = – х 2 – у;

г) (х – 1,5)(у – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9 ?

ответ: а) прямая; б) парабола ветви которой направлены вверх; в) парабола ветви которой направлены вниз; г) две прямые х=1,5 и у=4; д) гипербола, в 1 и 3 координатных четвертях; е) окружность, с центром в начале координат, радиусом равным 3.

Определите степень уравнения:

а) 2х 2 – 3х 3 +4х = 2; б) 5у 4 – 3у 3 х 2 + 2х 3 = 0;

в) (3х 2 +х)(4х – у 2 ) = х; г) (2у – х 2 ) 2 = х(х 2 + 4ху + 1)

ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

Скажите пожалуйста, как вы определяли степень уравнения? (Степень уравнения с двумя переменными определяется так же, как степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая – число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена).

Что называется решение уравнения? (Решение уравнения с двумя переменными называется пара значений уравнений, обращающая это уравнение в верное равенство).

Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4), (3;-3) являются решениями уравнения:

а) х 2 – у 2 = 0; б) х 3 – 1 = х 2 у +6у.

Закрепление изучаемой темы:

Работа по учебнику: №402(а,г) – построить график уравнения; №403 – какая фигура является графиком уравнения? с.107-108.

Выполним задания из материалов подготовки к ОГЭ МАТЕМАТИКА – типовые экзаменационные варианты авт. И.В.Ященко, (задания находятся под №5 Варинаты№№11,18,21,22) – раздаточный материал для работы в парах.

4. Самостоятельная работа – контроль знаний по теме:

проверим, чему мы научились.

1. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х + у -5х = 0; б) х — у – 1 = 0.

2. Установите соответствие между функциями и их графиками:

у у у у

1

0 х 0 х 0 х 0 3 х

-1

А ) у = -х; Б) у = –1; В) у = 1; Г) х = 3.

3. Постройте график уравнения: х – 2 – у = 0.

1. Является ли пара чисел (-3;1) решением уравнения:

а) х — у — 8 = 0; б) х + у – 4 = – 1.

2. Установите соответствие между функциями и их графиками:

у у у у

0 х –2 0 х 0 х 0 х

А ) у = х; Б) у = –3; В) у = 1; Г) х = –2.

Технологическая карта урока «Уравнение с двумя переменными и его график» (9 кл)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта урока по математике 10 класс.

Уравнение с двумя переменными и его график

Изучения нового материала

Дать понятия уравнения с двумя переменными.

Оборудование и материалы:

Ученикам: учебник, тетрадь, структурно-рефлексивная таблица.

Учителю: распечатанные структурно-рефлексивные таблицы для каждого и уравнения для групп, презентация, ссылка https://resh.edu.ru/subject/lesson/2740/start/ , координатная плоскость на крыле. На другом крыле:

Сегодня на уроке я научилась (научился) …

Наиболее трудным мне показалось …

Выполнение этой работы мне понравилось (не понравилось) потому, что …

Дать понятия уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными, степени уравнения с двумя переменными.

Формировать регулятивные УУД:

— умения осуществлять целеполагание, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности;

-умение самостоятельно формулировать для себя задачи в соответствии целью учебной деятельности;

-умение определять средства и способы решения учебных и познавательных задач;

-умения вносить изменения в действия с целью устранения выявленных проблем;

-умения определять причины затруднений, анализировать допущенные ошибки;

-умение самостоятельно осуществлять контроль в процессе своей деятельности.

Формировать познавательные УУД:

— умение определять понятие;

-умение создавать модели для решения познавательных задач;

-умение структурировать тексты; выделять главное, основную идею текста;

Формировать коммуникативные УУД:

-умение распределять функции и роли в совместной деятельности, осуществлять взаимный

Формировать устойчивые мотивации к обучению и познанию, способность к самореализации и самообучению в учебной деятельности.

Формировать чувство толерантности, доброжелательности.

Готовность вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения.

1. Что такое уравнение?

2. Что такое корень уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4. Как определить степень уравнения?

5. Как определить, является ли число корнем уравнения?

1. Уравнение – это равенство, содержащее неизвестную, значение которой надо найти.

2. Корень уравнения – это значение неизвестного, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

3. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

4. Самая высокая степень переменной.

5. Подставить его в уравнение и поверить, является ли полученное равенство верным.

III. Постановка учебной задачи

Предлагаю учащимся устную повторительную работу. Решите уравнения:

1) х 3 = 27 2) 1 – 8х = 5 3) (х – 2) 2 = 25

4) 2у + 4х = 20 5) ху – 6 = 0 6) х 2 = 25 – у 2

Решают предложенные уравнения. Записывают только ответы.

1) х = 3 2) х = — 0,5 3) х ₁ = — 3, х ₂ = 7

4-6) Замечают затруднение.

Какое уравнение вызвало затруднение? Почему?

Поставьте задачи нашего урока.

Отвечают на вопросы учителя. Уточняют ответ.

1. Не можем записать ответ в задании 4 — 6.

2. Не можем назвать точный ответ в задании 4 – 6

Записывают тему урока: Уравнение с двумя переменными и его график

1.Определить новое понятие « Уравнение с двумя переменными» .

2. Определить, что является его решением.

3. Научиться определять степень уравнения.

IV. Открытие нового знания

Предлагаю учащимся рассмотреть таблицу « Уравнение с двумя переменными и их системы ». Решаем сообща, какие пункты мы сегодня можем выполнить.

Ребята называют п 1 – 4.

Задания для групп:

1 группа (Рулько, Палкин, Кирюхин)

2 группа (Бондарев, Никитин, Сурова)

3 группа (Емельянов, Диланов, Королев)

Найти по 3 решения для каждого уравнения:

Отчитываются об их выполнении.

Мы нашли по 3 решения для каждого уравнения. Но есть ли еще решения? Как найти их все? Постройте графики этих уравнений.

Ребята замечают внешнее сходство между уравнением с двумя переменными и формулой, задающей функцию. И делают вывод, что количество решений может быть бесконечно. Приходят к выводу, что решить его можно только графически. Строят графики уравнений.

V. Первичное закрепление

Выполняют задания у доски и в тетрадях.

Демонстрирую презентацию с необычными графиками.

Расширяют свое представление о графиках уравнений.

VI. Итог урока. Рефлексия

Итак, что мы сегодня выяснили на уроке?

1.Определили новое понятие « Уравнение с двумя переменными» .

2. Определили, что является его решением.

3. Научились определять степень уравнения.
И даже начали учиться строить графики уравнений.

Дают ответ на вопросы учителя.

Заполняют таблицу. Проводят рефлексию.

VI. Систематизация способов действий

Учащиеся с помощью таблицы определяют уровень своей деятельности по каждому пункту.

Дают качественную оценку своей деятельности на уроке.

Сегодня на уроке я научилась (научился) …

Наиболее трудным мне показалось …

Выполнение этой работы мне понравилось (не понравилось) потому, что …

VII. Домашнее задание

Учащиеся с помощью таблицы определяют домашнее задание.

П.17 читать, № 396, 399 (доделать)

Дополнительно: (задача-шутка) можно дать на дом.

Задача про лапы

В клетке сидят кролики и куры. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кроликов, а сколько — кур?

Решение: Пусть у нас будет х кроликов и у кур.

Составим уравнение: 2у+4х=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, у=10-2х, где x и y — это целые положительные числа.

Ответ: Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Краткое описание документа:

Подробная технологическая карта урока.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 580 501 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

17. Уравнение с двумя переменными и его график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 20.12.2020
• 75
• 0

• 20.12.2020
• 228
• 7

• 20.12.2020
• 99
• 1

• 20.12.2020
• 124
• 4

• 20.12.2020
• 81
• 0

• 20.12.2020
• 87
• 19

• 19.12.2020
• 161
• 2

• 19.12.2020
• 199
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.12.2020 924
• DOCX 180.1 кбайт
• 176 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Чистякова Елена Аркадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1873
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.