Уравнения с двумя переменными 9 класс тема

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

9x – 18y = 5

x + y= xy

Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

а) =>

б) =>

в) =>

г) =>

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

а)

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

б)

в)

Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

а) x + y = xy	(0;0), (2;2)
б)	(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

Число 3 можно разложить на множители:

a)

б)

в)

г)

в)	(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)	(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)	(48;0), (24;1), (24;-1)
е)	x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1	x = m: y = 2m – 1, m Z
з)	x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)	решений нет

4) Решить уравнения в целых числах

	(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5	(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3	(0;-4), (1;-2), (1;2)
	(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
	(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
	(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

5) Решить уравнения в целых числах.

а)	(-1;0)
б)	(5;0)
в)	(2;-1)
г)	(2; -1)

Конспект урока по алгебре для 9 класса на тему «Решение уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Учитель физики и математики — Давиденко Н. И.

Алгебра. 9 класс

Урок № 45/3 Дата 20.12.18 г

Тема урока Решение уравнений с двумя переменными

Обучающие : выработать умения находить решения уравнений с двумя переменными , читать графики уравнений с двумя переменными.

Развивающие : развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся;

— создать условия для проявления познавательной активности учащихся;

— развивать коммуникативную и информационную компетенцию учащихся;

развивать вычислительную технику , мыслительную активность, интерес к предмету , способствовать формированию ключевых понятий , выполнение заданий различного уровня сложности.

Воспитывающие : воспитывать внимательность, аккуратность, умение чётко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, работу в группе и парах.

Оборудование : мультимедийный проектор, презентации учителя и учащихся, карточки (лист самооценки, ответы для самопроверки, задача для домашнего задания), портрет Диофанта, эпиграфы к уроку, раздаточный материал «Создай новогоднее настроение», ребусы.

Алгебра 9 класс. Учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2016.

Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления).

1) Организационный этап.

2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.

3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .

4) Первичное закрепление

в знакомой ситуации (типовые)

в изменённой ситуации (конструктивные)

5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

7) Рефлексия (подведение итогов занятия)

— Прекрасное зимнее утро (слайд 2)

. Ещё один чудесный день начинает свой путь, начнем свой путь и мы.

— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!

— Эпиграф к уроку: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле» Аристотель . (слайд 3)

-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям, а контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе (слайд 4)

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний .

Дома вам нужно было выполнить №395, №397 и решить старинную задачу: «В клетке сидели фазаны и кролики. У них всего было 94 лапки и 35 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?»

Давайте проверим правильно ли вы его выполнили (слайд 5 ) +презентация учащихся «Старинная задача»

Оценили выполнение домашней работы в листе самооценки.

2.1.Фронтальный опрос правил и определений по теме урока. В параллели проводится индивидуальная работа с учащимися, имеющими слабую мотивацию к учебе. (Два человека у доски решают №396 (а, б) учебника стр 111)

Ну, а теперь проверим свою готовность к дальнейшей работе: «Закрыли глаза, вспомнили всё, что вы знаете об уравнениях с двумя переменными и их графиках и привели свои мысли в порядок. Открыли глаза».

Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Важен ли в этой паре порядок записи значений переменных?

Дайте определение графика уравнения с двумя переменными.

Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Что представляют собой графики уравнений второй степени с двумя переменными?

От чего зависит вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?

Как определить вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?

Устно. Найди ошибку в задании «О пределите степень уравнения»

Предлагаемые ответы : 3 1 1 4 1

Самопроверка по образцу на экране (слайд 9)

Устно. Установи соответствие в задании « Составьте уравнения с двумя переменными» (слайд 10)

1.Сумма двух натуральных чисел равна 16 1 балл

Периметр прямоугольника равен 12 см 1 балл

Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой 1 балл

Произведение двух натуральных чисел равно 28

Диагональ прямоугольника равна 5 см 1 балл

Сумма двух натуральных чисел равна 16 х + у = 16

Периметр прямоугольника равен 12 см 2*(а+в) = 12

Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой а – в = 8

Произведение двух натуральных чисел равно 28 х*у = 28

Диагональ прямоугольника равна 5 см 5 2 =А 2 +В 2

Самопроверка по образцу на доске Оценили свои знания в листе самооценки

Математический диктант (слайд 12) 5 баллов

Выясните, что является графиком уравнения

(х – 3) 2 + (у + 2) 2 = 0

Взаимопроверка по образцу на экране ( слайд 13)

Окружность с центром в точке (0; — 2) и R = 3.

Перенесли баллы за выполнение математического диктанта в лист самооценки.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .

(Слайд 14) Чтобы узнать тему нашего урока, давайте отгадаем ребус (на доске)
Правильно, « Решение у равнений с двумя переменными», а сейчас с помощью высказываний знаменитых людей определим цели урока

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (Алексей Иванович Маркушевич)

Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому, И я научусь
(Конфуций)

Ребята, запишите число и тему урока в тетради (слайд 15)

(слайд 16) А знаете ли вы, что 20 декабря — Международный день солидарности людей, который учрежден ООН с 2005 года. Солидарность — единство убеждений и действий, взаимопомощь и поддержка членов социальной группы, основывающиеся на общности интересов и необходимости достижения общих групповых целей, совместная ответственность.

“Люди вместе могут совершить то, чего не в силах сделать в одиночку: единение умов и рук, сосредоточение сил может стать почти всемогущим” (Д. Уэбстер)

Давайте же объединим наши умы и двинемся дальше

4. Решение уравнений с двумя переменными. (слайд 17) Работать будем в парах и группах, постараемся действовать под девизом «Создай новогоднее настроение»

Работа в парах ( 4 балла) с комментариями по решению,

1)Упражнение «Елочка» (Приложение 1)

Выразите одну переменную через другую :

Самопроверка по образцу на экране (слайд 18)

Пары размещают отчеты –«елочки» на доске, выстраивая общую «Елку»

(Слайд 19) Гимнастика для глаз фокусируем взгляд на нашей елочке :

1) вертикальные движения глаз вверх-вниз;
2) горизонтальные вправо-влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди шары на елке- цветов радуги (Каждый охотник желает знать, где сидит фазан»).

Минута волшебства (ученый маг Волосовская Аня)

Мы с вами поработали, а теперь немного отдохнем и посмотрим некоторые математические фокусы.

Есть много математических фокусов. Но самым элегантным математическим фокусом является возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5 (ребята задают примеры, а маг отвечает, например, 65 2 = 4225)

(слайд 20) Работа в группах ( 5 баллов)

1) Укрась новогодний шар правильными ответами (Приложение 2)

(слайд 21) Чтобы проверить это задание учащимся предлагается взять лист самопроверки (с ответами) у соседней (по часовой стрелке) группе, предварительно, поздравив их с Новым годом.

(слайд 22) Оценивание. Шары вешаются на доску. Комментарии.

(слайд 23) Физкультминутка

2) (слайд 24) № 400 стр 111 «В поисках истины» ( 5 баллов)

Проанализируйте графики (рисунки а, б, в) и составьте уравнения. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому графику его уравнение и узнать имя одного из древнегреческих математиков из нашей «Картинной галереи». Так кто же это такой? Каждая группа должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут.

(слайд 25) Ответ: а) (х-1)(у-1)=0 →Д

— Итак, вы получили имя ДИОФАНТ . (слайд 26) Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала?

Группа, выполнившая задание первыми может открыть конверт №1 и прочитать его содержимое→ Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.

открыть конверт №2 В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Старинный сюжет задачи из книги Диофанта и ее решения мы сегодня уже рассмотрели. О чем эта задача?

открыть конверт №3 Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте.

5 Самостоятельная работа 5 баллов (слайд 20)

Самопроверка по образцу на экране (слайд 21)

6. Подведение итогов урока. (слайд 22)

Теперь, ребята подсчитайте то количество баллов, которое вы набрали за работу и добавьте количество баллов, которое каждый из вас поставил себе за активность на уроке. Активность оценивается по пятибалльной шкале. По набранному количеству баллов вы должны поставить себе оценку за урок. Я надеюсь, что плохих оценок сегодня нет и у всех у вас хорошее настроение.

Итоги урока. Наши цели были какие в начале урока? Мы достигли их?

Сегодня на уроке мы:

• Выработали критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать.

Рефлексия. (слайд 23)

Я доволен уроком, мне очень понравилось, я всё понял(а).

Мне понравился урок, но в моих знаниях есть пробелы.

Я не доволен уроком, ничего не понял(а) и как решать, я не знаю.

7. Запишите д омашнее задание. (слайд 24)

Выучить п. 17. Выполнить №396, 399, 404 .

Найти интересные формы графиков уравнений с двумя переменными.

Сколько лет прожил Диофант? (задача для тех, кто получил оценку «4» или «5»)

(слайд 25) Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил

“ Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.”

Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности .

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Что такое система уравнений с двумя переменными

Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.

Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.

Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Графический метод решения

Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.

Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:

1. Запишем систему.
2. Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
3. Построим на координатной прямой графики функций.
4. Найдем точки пересечения графиков.

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7

Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:

Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.

Метод подстановки

Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:

• выражение одной переменной через другие;
• подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
• повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.

Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7

Выразим у из второго уравнения:

Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12

2 x + 9 x — 21 = 12

Зная х, выполним подстановку и найдем у:

y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .

Запишем в ответ значения двух переменных.

Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).

Метод сложения

При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:

a = b c = d ⇒ a + c = b + d

В обратную сторону записанное свойство не работает:

a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d

Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c

Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .

В качестве примера попробуем решить систему уравнений:

2 x + y = 12 3 x — y = 3

Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:

2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .

Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:

2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3

В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:

2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23

Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):

2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23

Приступим к сложению:

— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔

Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:

2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3

Задания для самостоятельного решения

Нужно решить систему уравнений:

13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6

Выразим х с помощью второго уравнения:

Найти значения переменных:

2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57

Из первого равенства выразим х:

2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y

Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1

В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:

2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5

После сложения уравнений остается лишь определить х:

19 x = 25 ⇔ x = 25 19

При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.

Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .

Требуется найти переменные:

3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56

Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.

Нужно решить систему уравнений:

7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15

Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.

Решить систему уравнений:

6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8

В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :

6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5

Далее выполним сложение:

6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3

Путем подстановки определим y:

6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3

Найти корни следующих систем уравнений:

2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9

3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17

x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4

y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0

y — x = 5 x + 3 y = 3

Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).