Уравнения с координатами 7 класс

Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.

1. Организационный момент

Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».

2. Актуализация знаний и умений учащихся

Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)

1. у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
2. График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
3. График квадратичной функции – парабола? Как построить?
4. Точка (0,0) – для параболы – вершина.
5. Вторая координата точки – ордината.
6. В записи у = кх + вх – аргумент.
7. х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
8. Первая координата точки – абсцисса.
9. Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.

Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.

Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».

3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)

а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2

б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1

в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03

г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2?

Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)

Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.

Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)

1. Уравнение разбиваем на две функции.
2. Строим графики в одной системе координат.
3. Находим точки пересечения.
4. Ответ – только х.

x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х

Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.

4. Закрепление материала. Самостоятельное решение

Ответ: Нет корней

х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3

– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?

Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.

Прямоугольная система координат

Содержание

Иногда в жизни, чтобы найти на плоскости какой-то объект, его описывают двумя значениями. Так каждое место в зале кинотеатра имеет два параметра: ряд и место. Каждая клетка на шахматной доске или при игре в «морской бой» описывается номером строки и буквой, обозначающей столбец.

В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).

Ось координат

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Эти оси имеют общепринятые наименования. А именно, горизонтальную ось именуют осью абсцисс и на письме обозначают $Ох$

Вертикальную ось называют осью ординат и на письме обозначают $Оу$

Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.

Место пересечения осей координат является началом отсчета. Обычно эту точку обозначают буквой $О$ и называют началом координат. Ее называют еще иногда нулевой точкой.

На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Положительное и отрицательное направление

У осей стрелкой задается положительное направление:

• так обычно у оси $Ох$ положительным считается направление вправо;
• у оси $Оу$ положительным считается направление снизу вверх.

В таком случае часть прямой $Ох$ левее точки $О$ будет принимать отрицательные значения. Аналогично часть прямой $Оу$ ниже точки отсчета $О$ будет также принимать отрицательные значения.

Таким образом, все вместе:

• начало координат $О$
• пересекающиеся под прямым углом оси $Ох$ и $Оу$ с заданными направлениями
• заданный единичный отрезок

образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.

Или другими словами:

На письме система координат обозначается $Оху$

Четверти

Осями координат плоскость делится на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация четвертей принята против часовой стрелки в том порядке, в котором указано на рисунке ниже.

Четверти координатной плоскости

В квадранте I значения $х$ и $у$ будут больше 0 (или положительными). Отсюда следует, что если координаты объекта $х$ и $у$ – числа положительные, то он находится в I квадранте.

В квадранте II значения $у$ будут также положительными, а координаты $х$ будут иметь знак минус.

В квадранте III обе координаты $х$ и $у$ будут иметь отрицательные значения.

В последнем IV квадранте значение $х$ будет положительным, а $у$ отрицательным.

Немного из истории

В латинском языке слово «координаты» получилось из двух других: co – «совместно» и ordinatus – «определенный», «упорядоченный».

Впервые необходимость нахождения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовали широту и долготу, определяющие расположение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но упорядочил и систематизировал все знания в 17 веке французский математик по имени Рене Декарт. Поэтому прямоугольную систему координат также называют еще и «декартовой».

Конспект урока «Составление уравнения прямой» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Составление уравнения прямой 7 класс.doc

Дать всестороннее представление об уравнении прямой.

Научить составлять уравнение прямой с помощью составления и решения системы уравнений.

Формировать навыки мыслительной деятельности, внимательность, культуру чтения, культуру математической речи, развивать активность учащихся.

Я хочу начать наш урок со слов А.С.Пушкина (слайд)

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг!

Потому что сегодня на уроке мы с вами изучим много нового и интересного, будем делать открытия путем проб и, возможно, ошибок. Итак, начнем.

? Какой вид имеет линейная функция (у=ах+в) ;

? Привести пример линейной функции (пример) ;

? Что является графиком линейной функции (прямая) ;

? Как построить график линейной функции; Что для этого необходимо сделать (найти две точки, удовлетворяющие условию функции, построить их в системе координат, провести через них прямую) ;

Вот какая схема построения графика линейной функции у нас получилась:

А теперь давайте попробуем выполнить те же действия, но в обратном порядке.

Попробуем выполнить эти действия на конкретном примере. Пример. Даны точки А (2;4) и В(-1;-6).

Но линейной функции при этом мы не имеем. Давайте подставим имеющиеся у нас значения в общий вид линейной функции.

? Что можно сказать об этих двух уравнениях (т.к. точки принадлежат одной прямой, то а и в имеют одно и тоже значение, а значит будут иметь общее решение, поэтому их можно объединить в систему).

Решим полученную систему:

Учащиеся решают у доски (способом сложения или вычитания одного уравнения из другого).

Результат: а=1 /2 , в = 2.

Значит уравнение прямой, проходящей через точки А (2;4) и В(-1;-6), будет иметь следующий вид у=1/2х+2 .

Так как звучит тема нашего урока?

Составление уравнения прямой.

Записываем в тетрадях число, классная работа. И тему нашего урока.

Так как записать уравнение прямой, проходящей через эти точки?

Психологическая разгрузка: (Звучит фонограмма “шум моря”).

А теперь давайте немного расслабимся и отдохнем. Положите руки на стол, расправьте плечи, выпрямите спины, закройте глаза. Расслабьтесь. Представьте себе море, волны, чайки над волнами, а кому трудно представить, посмотрите на картинки.

На фоне “шума волн” звучит фрагмент из произведения М.Горького “Песня о Соколе”:

“… Море огромное, лениво вздыхающее у берега, — уснуло и неподвижно в дали, облитой голубым сиянием луны. Мягкое и серебристое, оно слилось там с синим, нежным небом и крепко спит, отражая в себе прозрачную ткань перистых облаков, неподвижных и не скрывающих собою золотых узоров звезд. Кажется, что небо все ниже наклоняется над морем, желая понять то, о чем шепчут неугомонные волны, сонно скользя на берег…”.

Немного отдохнули, а теперь продолжим работу над составлением уравнения прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки

№ 1106 на стр. 140 ваших задачников.

Д/з № 1107 (а-г), стр.140.

? Что изучено сегодня на уроке;

? Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки.

Какое у вас настроение после этого урока?

И еще одно задание: Прочтите слово, зашифрованное координатами в координатной плоскости.

Прочтите слово, зашифрованное координатами на прямой в координатной плоскости.