Уравнения с корень из 13 степени

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> sqrt(x) — квадратный корень x
x^(1/n) — корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство

Немного теории.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
\( \sqrt[\Large6\normalsize] = \sqrt[\Large6\normalsize] <2x-6>\)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
\( x^2-5x = 2x-6 \Rightarrow \)
\( x^2-7x +6= 0 \Rightarrow \)
\( x_1=1, \; x_2=6 \)
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize] <-4>= \sqrt[\Large6\normalsize] <-4>\), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize] <6>= \sqrt[\Large6\normalsize] <6>\) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную \( u=x^2-x\), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
\( \sqrt+\sqrt = \sqrt <2u+21>\).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt+\sqrt)^2 = (\sqrt<2u+21>)^2 \Rightarrow \)
\( u+2 +2\sqrt\sqrt +u+7 = 2u+21 \Rightarrow \)
\( \sqrt <(u+2)(u+7)>= 6 \Rightarrow \)
\( u^2+9u+14=36 \Rightarrow \)
\( u^2+9u-22=0 \Rightarrow \)
\( u_1=2, \; u_2=-11 \)
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение \( \sqrt+\sqrt = \sqrt <2u+21>\) показывает, что \( u_1=2 \) — корень уравнения, а \( u_2=-11 \) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение \( x^2-x=2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \), решив которое находим два корня: \( x_1=2, \; x_2=-1 \)
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
\( 2x^2 +6 -2\sqrt <2x^2-3x+2>= 3x+12 \Rightarrow \)
\( 2x^2 -3x +2 -2\sqrt <2x^2-3x+2>-8 = 0 \Rightarrow \)

Введя новую переменную \( y=\sqrt <2x^2-3x+2>\), получим: \( y^2-2y-8=0 \), откуда \( y_1=4, \; y_2=-2 \). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
\( \left[\begin \sqrt <2x^2-3x+2>=4 \\ \sqrt <2x^2-3x+2>= -2 \end\right. \)

Из первого уравнения этой совокупности находим: \( x_1=3<,>5; \; x_2=-2 \). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение \( \sqrt <2x^2-3x+2>=4\). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

Областью определения уравнения является луч \( [5; \; +\infty) \). В этой области выражение \( \sqrt \) можно представить следующим образом: \( \sqrt = \sqrt\sqrt \). Теперь уравнение можно переписать так:
\( x+x -5 +2\sqrt\sqrt +2\sqrt +2\sqrt -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt)^2 +2\sqrt\sqrt +(\sqrt)^2 +2(\sqrt+\sqrt) -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt +\sqrt)^2 +2(\sqrt+\sqrt) -48 = 0 \)

Введя новую переменную \( y= \sqrt +\sqrt \), получим квадратное уравнение \( y^2+2y-48=0 \), из которого находим: \( y_1=6, \; y_2=-8 \). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
\( \left[\begin \sqrt +\sqrt =6 \\ \sqrt +\sqrt = -8 \end\right. \)
Из первого уравнения совокупности находим \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \) — является корнем уравнения \( \sqrt +\sqrt =6 \). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \)

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
\( \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>+ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=2 \)

Введём новые переменные: \( \left\<\begin u=\sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>\\ v=\sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>\end\right. \)

Тогда уравнение примет вид \(u+v=2\). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
\( \left\<\begin u^4=1-x \\ v^4= 15+x \end\right. \)

Сложим уравнения последней системы: \(u^4 +v^4 =16\). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
\( \left\<\begin u+v=2 \\ u^4 +v^4 =16 \end\right. \)
Решив её, находим: \( \left\<\begin u_1=0 \\ v_1 =2; \end\right. \) \( \left\<\begin u_2=2 \\ v_2 =0 \end\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: \( \left\<\begin \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>=0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=2; \end\right. \) \( \left\<\begin \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>=2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=0 \end\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>= \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>\)

Возведём обе части уравнения в куб:
\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize] <(2x+1)^2>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>+ 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <(6x+1)^2>+6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \) \( 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\cdot (3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму \( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>\):
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>= -6x-3 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize] < (2x+1)(6x+1)(2x-1) >= -2x-1 \)
Возведём обе части в куб:
\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)
\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)
\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)
\( x_1= -0<,>5; \; x_2=0 \)

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида \( \sqrt 0 \). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt 0 \\ f(x) 0 \\ x^2-x-12 0 \\ x > -12 \end\right. \)

Получаем: \( x \geqslant 4\)

Ответ: \( x \geqslant 4\)

Рассмотрим теперь неравенство вида \( \sqrt > g(x) \).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geqslant 0 \).
Во-вторых, замечаем, что при \( g(x) g(x) \) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если \( g(x) \geqslant 0 \), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt > g(x) \) равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\<\begin f(x) \geqslant 0 \\ g(x) (g(x))^2 \end\right. \)

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\<\begin x^2-x-12 \geqslant 0 \\ x 0 \)

Преобразуем неравенство к виду \( x^2+3x-10 +3\sqrt >0 \) и введём новую переменную \( y= \sqrt \). Тогда последнее неравенство примет вид \( y^2+3y-10 >0 \), откуда находим, что либо \(y 2\).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
\( \left[\begin \sqrt 2 \end\right. \)

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
\( x^2+3x >4 \Rightarrow \)
\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)
\( x 1 \)
Ответ: \( x 1 \).

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.