Уравнения с корнем четной кратности

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Метод интервалов — это универсальный способ решения практически любых неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры. Он основан на следующих свойствах функций:

1. Непрерывная функция g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):

Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x) меняет знак.

2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя — простейший пример хорошо известная функция :

Мы видим, что функция меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.

2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя. Например, функция y=x 2 не меняет знак в точке х=0:

Т.к. уравнение x 2 =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.

Функция меняет знак в нуле числителя, , но не меняет знак в нуле знаменателя: , так как корень — корень второй кратности, то есть четной кратности:

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет.

Обратите внимание! Любое нелинейное неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный алгоритм решения неравенств методом интервалов , следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств.

1. Для начала необходимо привести неравенство к виду

Р(х)V0,

где V- знак неравенства: ,≤ или ≥. Для этого необходимо:

а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,

б) найти корни получившегося выражения,

в) разложить левую часть неравенства на множители

г) одинаковые множители записать в виде степени.

Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней — если в результате получится множитель в четной степени, значит, соответствующий корень имеет четную кратность.

2. Нанести найденные корни на числовую ось.

3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем «пустыми», если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.

4. Выделяем корни четной кратности — в них Р(х) знак не меняет.

5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х₀, которое больше большего корня и подставляем в Р(х).

Если P(x₀)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак «+».

Если P(x₀)

(где V- знак неравенства: )

Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству

НЕстрогое неравенство вида

равносильно системе:

На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:

Находим корни числителя и знаменателя.
Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
Далее следуем общему алгоритму:
Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
Выясняем знак на самом правом промежутке.
Расставляем знаки.
В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
Записываем ответ.

Чтобы лучше понять алгоритм решения неравенств методом интервалов, посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов.

Метод интервалов решения неравенств

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) x = 2

Получили два корня.

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000).

f(3)=(3 — 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x — 2)(x + 7) 2 — 6x + 1)(x — 2) ≥ 0

Решение:

Для начала необходимо найти корни уравнения

(9x 2 — 6x + 1)(x — 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x — 1) 2 (x — 2) = 0

x — 2 = 0; (3x — 1) 2 = 0

Решив эти уравнения получим:

x₁ = 2; x₂ = ; x₃= ;

Нанесем точки на числовую прямую:

Т.к. x₂ и x₃ – кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

Возьмем любое число меньшее самой левой точки и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

(9*(-1) 2 — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства ≤.

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ: < > U [2;+∞)

Пример 3:

Решить неравенство:

(9x 2 — 6x + 1)(x — 2) > 0

Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

Найдем корни уравнения (9x 2 — 6x + 1)(x — 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

x₁= 2; x_2,3 = ;

Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

Обратите внимание, что корни x₂ и x₃ совпадают, корень “ ” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

Возьмем число -1.

(9*(-1) 2 — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства

Метод интервалов для целых рациональных неравенств. Часть 1

Чтобы оценить все могущество метода интервалов, давайте сначала решим несложное неравенство так, как если бы мы его решали, не зная метода интервалов . + показать

Решим неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>.

Как мы будем рассуждать?

Произведение двух множителей дает знак «+», когда

1) оба множителя положительны;

2) оба множителя отрицательны.

Поэтому предстоит решить совокупность двух систем неравенств:

0,& &x-5>0; \end& &\begin x+6

Решение первой системы:

Решение второй системы:

Итак, нам осталось объединить решения первой и второй систем:

Ответ:

А теперь представьте, если бы у нас было не два множителя, как выше, а три-четыре, а если бы при этом множители представляли из себя многочлены второй степени, например.

Представляете, сколько было бы перебора различных ситуаций?

Метод интервалов для рациональных неравенств

Метод интервалов выручит! Избавит нас от рутины! + показать

Мы ведь понимаем, что любое число – либо отрицательное (-), либо положительное (+), либо ноль. Где «переход» из одной зоны (+или – ) в другую (- или +)? В нуле!

На рисунке 1 функция обращается в нуль в точках -2; 1; 5 и 7. Именно при переходе через них она и меняет свой знак с одного на другой.

Функция может также коснуться оси (ох), и «не перескочить» в другую зону (как на рисунке 2). В данном случае точка – корень четной кратности (мы еще поговорим об этом).

В любом случае, если функция попала из одной «зоны» («+,-») в другую («-,+»), – значит она в какой-то точке должна была обратиться в ноль.

Поэтому-то нули функции и помогут нам!

Итак, давайте выработаем алгоритм, которого будем придерживаться при решении рациональных неравенств.

Алгоритм решения рациональных неравенств

Пусть нам дано неравенство вида , где – один из знаков ,\geq» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»17″ width=»86″ style=»vertical-align: -4px;»/>.

1. Раскладываем на множители (если это возможно * ).

2. Находим нули .

3. Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень – четной кратности, например, в неравенстве – корень четной кратности, корень – обычный).

4. Расставляем знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Советую брать «миллиончик» – не промахнетесь (шучу). Нам не важно само значение функции в выбранной точке, но только ЗНАК в ней, поэтому не утруждайте себя подсчетами – только грубая прикидка.

5. Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ. Например, если неравенство со знаком «>», то берем интервалы со знаком «+», если неравенство со знаком «

Практика

Пример 1.

Решить неравенство:

1) Разложим вторую скобку неравенства на множители по формуле «разность квадратов»:

2) Нули:

4) Взяв «миллиончик» и «подставив» в , конечно же будем иметь знак «-». Далее знаки чередуются.

5) Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ:

Ответ: .

Пример 2.

Решить неравенство: 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»137″ style=»vertical-align: -2px;»/>

1) Попадаем в ситуацию ( * ) – на множители-то не раскладывается, так как .

2) –

3) А отмечать-то нечего на оси 🙁

4) Так значит, меняться знаку негде! Он – либо «+» либо «-» всюду! Берем любое число, например, 0 и смотрим, какой знак в нем принимает выражение . Очевидно, это «+». Поэтому

5) Ответ: .

Пример 3.

Решить неравенство:

1) Раскладываем первую скобку на множители по формуле разность кубов:

. Заметим, дальше на множители не раскладывается, так как для этого квадратного трехчлена. А значит, эта скобка несет в себе только один знак (не трудно понять, что «+»). То есть, вообще говоря, мы можем поделить обе части исходного неравенства на . Полученное тогда неравенство равносильно исходному.

Будем дальше решать именно это неравенство:

2) Нули: .

3)-4) Обратите внимание: корень – четной кратности, при переходе через него не будет происходить смена знаков! Ну действительно, знак неравенства определяется только выражением , ведь принимает только «+» (то есть не влияет на знак произведения) или обращается в ноль.

Обратите внимание – в ответ пойдет и точка <-5>! Так как знак неравенства нестрогий, мы должны взять и все точки, лежащие на оси.

5) Ответ: <>.

Пример 4.

Решить неравенство:

1) Первая скобка:

Вторая скобка: , так как , . Мы воспользовались этим (п. 7) правилом при разложении на множители квадратного трехчлена.

Третья скобка: способ разложения аналогичен способу разложению второй скобки.

Итак, имеем: .

2) Нули: , при этом – корни четной кратности.

Ответ: <>.

Пример 5.

Решить неравенство:

Надеюсь, у вас не возникает желания разложить на множители каждую из скобок? Ни в коем случае! Должен быть «0» справа!

Поэтому, первое, что нужно сделать, – перенести «-5» в левую сторону. Но раскрывать скобки и выходить на 4-ю степень не хотелось бы.

Замечаем, что есть одинаковые компоненты () в скобках, поэтому, можно сделать замену переменной. Обозначим за . Тогда получаем следующее неравенство: .