Уравнения с матрицами в маткад

Уравнения с матрицами в маткад

Название работы: Работа с матрицами в MathCAD

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Выполняя данную работу, мы научились вычислять матрицы, изучили панель операций с матрицами и векторами, научились вводить матрицы с разными размерами, вычисляли транспонированную матрицу. Так же научились вычислять определители матриц и проверили правильность решения матриц.

Дата добавления: 2013-01-06

Размер файла: 595.5 KB

Работу скачали: 119 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Поволжский государственный технологический университет»

Отчет по лабораторной работе №3

«Теория систем и системный анализ»

1-го курса ЭФ группы

ПИб-11 Уртьева И.Ю.

ЦЕЛЬ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ.

Научиться работать с матрицами в MathCAD .

3.1. Ввести заданные в столбце 1 матрицы (п.4.3.2).

3.2. Транспонировать заданные матрицы (матрицы из столбцов 1 и 2) (п.9.1.1)

3.3. Найти линейную комбинацию матриц (столбец 1) (п.9.1.2, 9.1.3)

3.4. Найти произведение каждой матрицы на транспонированную и транспонированной матрицы на саму матрицу (матрицы из столбцов 1 и 2). (п.9.1.2)

3.5. Рассчитать определитель для всех полученных матриц. (п.9.1.5)

3.6. Решить систему линейных уравнений по вашему варианту (см. лабораторную работу 7 (решение систем уравнений, первый столбец таблицы)) матричным способом, и проверить, используя матрицы, правильность решения (см. приложение к этой лабораторной работе). Рассчитать модуль вектора правых частей и скалярное произведение этого вектора на самого себя.

1)3*А-2*В, А= , В= .

2) f ( x )=2* -3* +5, A =

3)

3.1. Ввести заданные в столбце 1 матрицы.

3*А-2*В, А= , В=

Для вычисления этого примера нужно на панели инструментов вызвать калькулятор , а так же нужно вызвать Панель инструментов «Вектор и матрица» и выбрать нужные значения:

Для начала нужно присвоить значение А и В : «А :=», «В:=» , а для того, чтобы задать матрицу , нужно кликнуть мышкой по

И после этого появится окошко, в котором нужно ввести количество строк и столбцов

После нажимаем ОК и появится

в которую вбиваем значения и получим результат:

3.2. ТРАНСПОНИРОВАТЬ ЗАДАННЫЕ МАТРИЦЫ

Чтобы транспонировать матрицы, необходимо вызвать на панели инструментов «Матрица» и выбрать .

И результат получится:

3.3. НАЙТИ ЛИНЕЙНУЮ КОМБИНАЦИЮ МАТРИЦ

Чтобы найти линейную комбинацию, нужно аналогичным же образом вбивать значения , представленные выше в пунктах и в результате получим :

3.4. НАЙТИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КАЖДОЙ МАТРИЦЫ НА ТРАНСПОНИРОВАННУЮ И ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ НА САМУ МАТРИЦУ.

Чтобы найти линейную комбинацию, нужно аналогичным образом вбивать значения , представленные выше в пунктах и в результате получится :

А для того, чтобы найти значение функции f ( x )=2* -3* +5

нужно присвоить А «А:=» значения , затем присвоить х значение А «х:=А» .

А функцию f ( x )=2* -3* +5

нужно записать в виде :

И в результате получится:

3.5. РАССЧИТАТЬ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ДЛЯ ВСЕХ ПОЛУЧЕННЫХ МАТРИЦ

Чтобы найти значение определителя, нужно кликнуть мышкой по символу

и на экране выходит :

После этого нам нужно кликнуть мышкой по символу:

И в экране появится:

Также вбиваем значения и в результате получим:

3.6. РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ВАШЕМУ ВАРИАНТУ (СМ. ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ 7 (РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ, ПЕРВЫЙ СТОЛБЕЦ ТАБЛИЦЫ)) МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ, И ПРОВЕРИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ МАТРИЦЫ, ПРАВИЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ (СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЭТОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ). РАССЧИТАТЬ МОДУЛЬ ВЕКТОРА ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ И СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭТОГО ВЕКТОРА НА САМОГО СЕБЯ.

Эту систему можно решить тремя способами:

1. Матричная форма записи.
2. Методом Крамера.
3. Методом Гаусса.

Матричная форма записи

В данной системе уравнений даны три неизвестные и стоящие перед ними коэффициенты. И эти коэффициенты нужно записать в виде:

А значения этих трех неизвестных:

Для того, чтобы найти значения трех неизвестных, нужно воспользоваться формулой: x :=

Чтобы достовериться правильно ли значения подсчитали, воспользуемся формулой:

Так же чтобы удостовериться, что нашли те же значения правильно, сделаем проверку, подставляя значения в формулу:

x := Isolve ( A , B )

и программа должна вывести одно и тоже значение

Результат работы программы :

Чтобы решить систему уравнений методом Крамера, нужно вычислить их определители, заменяя столбцы:

После этого нужно найти отношение каждых этих определителей на определитель начальной матрицы. Этими действиями мы найдем значение неизвестных системы уравнений.

И в результате получим:

Для того, чтобы решить систему методом Гаусса, нужно сперва ввести матрицу системы и матрицу — столбец правых частей.

После этого нужно сформировать расширенную матрицу системы.

Для того, чтобы сформировать расширенную матрицу системы, нужно использовать функцию augment ( A , b ), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы A справа столбец правых частей b (в приведенном документе расширенной матрице системы присвоено имя Ar ). Функция rref ( Ar ) выполняет элементарные операции со строками расширенной матрицы системы Ar -приводит ее к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы гауссова исключения, Ag – имя результата (ступенчатой формы матрицы Ar ). Функция submatrix ( Ag ,0,2,3,3), выделяя последний столбец матрицы Ag , формирует столбец решения системы. Проверка (вычисление A позволяет убедиться в правильности решения. Результат работы в программе:

Выполняя данную работу, мы научились вычислять матрицы, изучили панель операций с матрицами и векторами, научились вводить матрицы с разными размерами, вычисляли транспонированную матрицу. Так же научились вычислять определители матриц и проверили правильность решения матриц.

Кроме того, мы научились решать разными методами системы линейных алгебраических уравнений. Мы решили их с помощью матричной формы записи, методом Крамера и Гаусса, которые проверили на правильность решения.

Уравнения с матрицами в маткад

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным способом в Mathcad

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad в векторно-матричной форме A*x =b, где А – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных, причем определитель матрицы должен быть отличным от нуля; х- вектор неизвестных; b — вектор свободных членов. Решение данной сводится к следующему. Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А обратима. Тогда, умножив левую и правую часть и сходного уравнения на обратную матрицу (А-1), получаем решение в виде x=A-1*b. Реализовать полученное решение средствами Mathcad не представляет сложностей. Для случая бесконечного множества решений получаем сингулярную матрицу, Mathcad выдает сообщение “Matrix is singular. Cannot compute its inversу – Матрица сингулярная. Нельзя вычислить эту инверсию” и прерывает вычисления. На листинге представлен пример решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера в Mathcad

В Mathcad метод Крамера также предназначен для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными вида A*x =b на основе предварительного вычисления определителей системы, при условии, что определитель матрицы А отличен от нуля. Метод основан на формулах Крамера, вида , где – определитель матрицы, полученной из матрицы А системы заменой i –го столбца, т.е. столбца коэффициентов при неизвестном Xi вектором свободных членов, т.е. b. На листинге в Mathcad приведен пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Матрицы и векторы в Mathcad

Операции, выполняемые над векторами и матрицами в Mathcad, можно разбить на две большие группы. К первой группе относятся операции, которые применяются к отдельным векторам и матрицами. Например, транспонирование матрицы или вычисление обратной матрицы в Mathcad. Ко второй группе относятся операции, которые выполняются над группой векторов и матриц. Как правило, они выполняются над двумя матрицами или матрицей и вектором. Например, сложение, вычитание матриц, перемножение матриц или умножение матрицы и вектора. К векторам и матрицам в Mathcad, при выполнении операций над ними, могут предъявляться определенные требования в соответствии с требованиями классической математики. Например, при перемножении матрицы и вектора, количество столбцов матрицы должно быть равно количеству срок вектора. Поэтому при работе с векторами и матрицами пользователь должен иметь необходимую математическую подготовку. В таблице приведены основные операции, выполняемые над векторами и матрицами, используемые в Mathcad. В таблице приняты следующие обозначение: А – массив, под которым понимается вектор или матрица, М – матрица, z — скаляр, v – вектор.

Наиболее удобно выполнять матричные вычисления с использованием кнопок панели инструментов “Матрица”. По умолчанию индексация строк и столбцов элементов матрицы начинается с 0. Для того чтобы индексация начиналась с 1, необходимо системной переменной ORIGIN присвоить значение 1. На листинге приведен пример матричных вычислений в Mathсad.

Матричные функции в Mathcad

Mathсad имеет более 50 функций, предназначенных для работы с векторами и матрицами. Все функции можно разбить на группы по их функциональному назначению. Например, функции, предназначенные для создания матриц общего и специального вида, редактирования и преобразования матриц, функции, определяющие параметры матриц и т. д. Рассмотрим часть этих функций, которые имеют наибольшее прикладное значение.

Среди функций, предназначенных для создания матриц, следует выделить функцию matrix(L,N,f), где L – число строк матрицы, N – число столбцов матрицы, f – функция f(l,n) при . Другая функция из этой группы identity(n). Функция предназначена для создания единичной матрицы размерности n. Следующая функция geninv(M) позволяет осуществить обращение матрицы M, аналогично операции M -1 .

Для определения размерности матрицы в Mathcad предназначены функция rows(M), определяющая число строк матрицы M, и функция cols(M), определяющая число колонок матрицы M.

Сортировку элементов матрицы осуществляют две функции csort(M,i), rsort(M,j). Функция csort(M,i) обеспечивает сортировку по возрастанию элементов i – го столбца путем перестановки строк, а функция rsort(M,j) – сортировку по возрастанию элементов j –ой строки путем перестановки столбцов.

Для определения минимального и максимального элемента матрицы используются функции min(M) и max(M).

Выделить произвольную подматрицу из матрицы М в Mathcad можно посредством функции submatrix (M, r1, r2, c1, c2), где М – исходная матрица, r1 и r2 –нижний и верхний номер строки матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу, а с1 и с2 – нижней и верхний номер столбца матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу. Слияние матриц можно осуществить, используя функции augment(A,B,…) и stack(A,B,…). Функция augment(A,B,…) предназначена для слияния матриц А, В и т.д. слева направо. Причем количество строк в матрицах должно быть одинаково. Вторая функция stack(A,B,…) выполняет слияние матриц сверху вниз. Количество столбцов в матрицах должно быть также одинаково. Данные функции могут быть применены и к векторам. На листинге приведен пример использования рассмотренных матричных функций.

Матричные вычисления в Mathcad

Создание векторов и матриц реализовано в Mathсad различными способами. В данном разделе рассматриваются только функции и операции с векторами и матрицами, а так же прикладное использование векторов и матриц для решения некоторых задач.

Матричные функции

В Mathсad очень много функций, предназначенных для работы с матрицами и векторами.

Основные операции с матрицами и векторами

Операции, выполняемые над векторами и матрицами, можно разбить на разные большие группы.

Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным способом

В Mathcad можно решать системы линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Также предназначен метод Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.