Уравнения с многочленами 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №11. Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) обобщенное понятие многочлена;

2) основные действия над многочленами;

3) определение алгебраического уравнения;

Глоссарий по теме

Многочлен P_n (x) = a _n x n + a _{n – 1} x n – 1 + a _{n – 2} x n – 2 + . + a ₁ x + a ₀ , где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3. aₖ,k=0,1,2,3. n — числа, x — переменная, называется многочленом n -ной степени .
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, a₀ — свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x n + a ₁ x n – 1 + . + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса.

Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где a≠0, a, b — числа, x — переменная, называется многочленом первой степени.
Многочлен ax²+bx+c, где a≠0, a, b, c — числа, x — переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).
Многочлен ax³+bx²+cx+d, где a≠0, a, b, c, d — числа, x — переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен P_n (x) = a _n x n + a _{n – 1} x n – 1 + a _{n – 2} x n – 2 + . + a ₁ x + a ₀, где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3. aₖ,k=0,1,2,3. n — числа, x — переменная, называется многочленом n -ной степени.
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, а a₀ — свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением четвертой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над множеством вещественных чисел.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x — а).

Получим Р(х)= (x — а)·Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x — a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x — а)·Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a — а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x n + a ₁ x n – 1 + . + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

Этьенн Безу — французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный «Курс математики», написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Примеры алгебраических уравнений

1. алгебраическое уравнение с одним неизвестным -уравнение вида , где n- натуральное число.
2. Линейное уравнение от одной переменной ax+b=0, a
3. Квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0, a.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Разложим на множители многочлен:

Решение: )

Ответ: ))

Решить уравнение: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0.

Решение: Целые корни многочлена Р(х) = х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀x n + a₁x n-1 + . + a_x-1x+ a_n = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена a_n, а q – делителем старшего коэффициента a₀. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.

Программа элективного курса 10 класс «Теория многочленов и уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Теория многочленов и уравнения высших степеней»

для 10 А, Б классов

2019-2020 уч. год

Программа элективного курса предназначена для учащихся 10 классов, изучающих математику. Рассчитана на реализацию в течении одного учебного года.

Основой для разработки программы послужило содержание учебной программы «Математики» в 10 классе. Теме «Многочлены» в программе основной школы уделяется большое внимание. Учащиеся овладевают навыками сложения и вычитания, умножения многочленов от одной и нескольких переменных. Значительное место отводится заданиям, связанным с разложением многочленов на множители, решению алгебраических уравнений. При изучении математики в курсе основной школы упор делается на изучение квадратного трехчлена, а в старшей школе тема «Многочлены» не изучается. И часто учащиеся, встретив в задании многочлены третьей, четвертой степеней от одной переменной, затрудняются выполнять какие-либо операции с ними. Сказывается отсутствие необходимых навыков.

Актуальность определяется важностью повторения, изученной в основной школе темы «Многочлены», углубления знаний по ней, и изучения алгебраических уравнений высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемов решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов (методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен).

сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений (третьей и четвертой степеней) на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов.

создавать положительную мотивацию обучения;

активизировать познавательную деятельность школьников;

углубить теоретические знания учащихся по теории многочленов:

делить многочлен на многочлен, выделять полный квадрат и доказывать несложные утверждения, опираясь на его свойства.

сформировать навык распознавания возвратных (симметрических), однородных уравнений;

формировать умение преобразовывать многочлены высших степеней;

сформировать навыки решения несложных алгебраических уравнений высших степеней, нахождение корней которых связано с отысканием корней многочленов;

продолжить развитие исследовательских умений и навыков учащихся;

подготовить учащихся к решению заданий ЕГЭ повышенной сложности.

Функциями элективного курса в соответствии с целями и задачами обучения являются:

-дополнение и углубление базового предметного образования;

-компенсация недостатков обучения по предмету;

-подготовка к ЕГЭ по предмету.

проблемное изучение материала

самостоятельная поисковая творческая работа учащихся

актуализация ранее изученного материала

Программа рассчитана на 1 час в неделю, всего 35 часов.

Углубление темы «Многочлены» позволит учащимся распознавать виды многочленов и алгебраических уравнений, уверенно выполнять их преобразования, выбирая наиболее рациональные приемы.

Кругозор учащихся, интересующихся математикой, пополнится знанием теоремы Безу, теоремы о корнях многочлена, следствиями из этих теорем, знанием метода неопределенных коэффициентов.

Данный элективный курс предназначенный учащимся десятых классов, поможет создать более целостное представление о многочленах от одной переменной, вызовет интерес к способу их преобразований, тем самым обеспечивается мотивация к выбору обучения, связанного с математикой. Готовясь к творческому отчету или выполняя итоговую работу, учащиеся столкнутся с необходимостью выделять главное, обобщать, систематизировать материал и делать выводы. При выполнении проектной работы, учащимся придется не только изучить теоретический материал по выбранной теме, систематизировать его, да еще и показать применение к заданиям ЕГЭ, приходящимся на раздел повышенной сложности.

Овладевая довольно сложными математическими преобразованиями многочленов высших степеней, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные варианты решений, отыскивать наиболее рациональные способы, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательными и точными,

Проводя цепочку логических рассуждений, учащиеся видят немыслимо сложное выражение, но в процессе преобразования приобретающее простые формы.

Курс позволит учащимся лучше подготовиться к ЕГЭ.