Уравнения с многочленами как дроби

Преобразование дробных алгебраических выражений с примерами решения и образцами выполнения

Особенность дробных выражений:

Алгебраическое выражение называется дробным, если в числе указанных в нем действий есть деление на выражение, содержащее буквы. Это является причиной некоторых особенностей дробных алгебраических выражений по сравнению с выражениями целыми.

Мы знаем, что действия сложения, вычитания и умножения выполнимы всегда, каковы бы ни были числа, над которыми производятся эти действия. Поэтому и всякое целое алгебраическое выражение имеет смысл при всевозможных численных значениях входящих в него букв. Иначе обстоит дело с выражениями дробными. Из-за того, что деление на нуль невозможно, всякое дробное выражение не имеет смысла при таких значениях букв, при которых знаменатель обращается в нуль.

теряет смысл при x = 3. При всех, остальных значениях х это выражение имеет смысл, ибо 3 — х обращается в нуль только при х = 3.

Точно так же выражение

теряет смысл при х = — 2 и при х=3, а при всех остальных значениях для х имеет смысл.

теряет смысл при а = b и имеет смысл при любых неравных значениях а и b и т. д.

Рассмотрим, наконец, следующее алгебраическое выражение:

или, что то же самое,

По смыслу действия деления, есть такое число, которое, будучи умножено на дает . Очевидно, что таким числом является а, ибо

Однако, это равенство верно не при всех численных значениях а. Именно, если а = 0, то правая часть равенства есть 0, а левая превращается в выражение Это выражение, как мы уже видели, приходится рассматривать как не имеющее смысла.

оказывается верным при всех значениях а, кроме значения а = 0.

Точно так же равенство

верно при всех значениях х, кроме x = 2. Действительно,

и следовательно, по определению деления, если то

А при х=2 левая часть равенства теряет смысл.

Как было сказано раньше, тождеством называется равенство двух выражений, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв, причем под допустимыми значениями понимаются такие, при
которых оба сравниваемых выражения имеют смысл.

В силу этого определения равенства

следует рассматривать как тождества. Однако при тождественных преобразованиях с дробными выражениями необходимо помнить о том, что при Тех значениях букв, при которых одна или обе части
равенства теряют смысл, и все «тождество» превращается в равенство, лишенное смысла. Особенно важно помнить об этом в случае, когда дробное выражение получается в результате решения какой-либо задачи. В этом случае необходимо подвергнуть отдельному исследованию такие числовые значения для букв, при которых дробное выражение теряет смысл.

Пример:

При каких значениях у имеет место равенство

Решение:

Очевидно, что у находится посредством действия деления. Именно,

Форма ответа у = х + 2 такова, что при любом значении числа х у получает вполне определенное значение. Так, при x = 0 y = 2; при х=1 y= 3 и т. д. В частности, при х = 2 у = 4.

Однако последнее утверждение неточно. Действительно, при х — 2 наше равенство превращается в такое:

или 0y = 0, верное при любом значении y, а не только при у = 4. Поэтому точный ответ на поставленный вопрос будет такой:

Основное свойство дроби

При преобразованиях дробных алгебраических выражений постоянно приходится пользоваться следующим основным свойством дроби.

Значение дроби не изменяется, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

В буквенной записи это свойство выглядит так: при любом имеет место равенство

Читая это равенство справа налево, мы приходим к следующему правилу: любой общий множитель числителя и знаменателя дроби может быть сокращен.

Это свойство в обеих формулировках в применении к численным дробям хорошо известно и широко пользуется при действиях над дробями. В первой формулировке — при приведении дробей к общему знаменателю, во второй — при сокращении дробей. Например,

В первом примере мы произвели сокращение дроби на 3, во втором для приведения дробей к общему знаменателю мы умножили числитель и знаменатель первой дроби на 3, второй дроби на 2.

В арифметике это свойство используется в применении к дробям, числитель и знаменатель которых — целые числа, и к множителям, также являющимися целыми числами. В алгебре под буквами понимаются любые числа: целые и дробные, положительные и отрицательные. Поэтому в алгебраической дроби числитель и знаменатель, даже если они имеют вид целых алгебраических выражений, могут принимать не только целые, но и дробные значения. Соответственно и множитель тоже может принимать дробные значения.

Поэтому, желая распространить основное свойство дроби на дроби алгебраические, следует его предварительно доказать при самых общих предположениях.

Доказательство основного свойства. Нам нужно доказать, что если ,то

Дробь есть частное от деления числа а на число b, т. е. такое число, которое при умножении на делитель b дает делимое а. Обозначив через х, мы будем иметь равенство bх = а. Умножив обе части этого равенства на любое число m, мы получим снова верное равенство

По условию, . Тогда и ибо

(иначе частное не
имело бы смысла), а произведение двух не равных нулю чисел не равно нулю. Таким образом, х есть такое число, которое при умножении на не равное нулю число mb дает число mа. Следовательно, по определению действия деления, Но буквой х была обозначена дробь -. Следовательно, что и требовалось доказать.

Деление целых алгебраических выражений

Если требуется разделить одно целое алгебраическое выражение на другое, результат всегда может быть записан в виде дроби, в числителе и знаменателе которой находятся эти выражения. Такие дроби
называются алгебраическими дробями. Однако часто бывает, что частное от деления двух целых алгебраических выражений в свою очередь оказывается целым алгебраическим выражением. В этом случае говорят, что первое выражение делится на второе.

т. е. многочлен делится на многочлен х — 2. Точно так же одночлен делится на так как и т. д. Но одночлен а не делится на одночлен b, так как их частное не может быть записано в виде целого алгебраического выражения.

Понятие делимости в применении к целым алгебраическим выражениям сходно с понятием делимости целых чисел: мы говорим, что одно целое число делится на другое целое число, если их частное есть целое число (например, 6 делится на 2, но 6 не делится на 4 и т. д.). Однако не следует их путать одно с другим. Так, например, одночлен 2х делится в алгебраическом смысле на одночлен З х, так как их частное равно одночлену ,т, е. целому алгебраическому выражению. Однако при целых значениях для буквы х число 2х никогда не делится в арифметическом смысле на число Зx, так как частное от их деления есть дробное число .

Цель ближайших параграфов состоит в установлении некоторых приемов деления целых алгебраических выражений и в установлении некоторых признаков, по которым можно узнать, делится или не делится одно данное выражение на другое.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пример:

Решение:

Без всяких вычислений ясно, что частное равно 1. Такой же результат будет при делении одинаковых степеней с любым показателем.

Пример:

Решение:

Очевидно, что результат равен , ибо

Результат получен посредством вычитания показателей степени в делимом и делителе на основании того, что при проверке деления умножением показатели складываются.

Правило. При делении степеней с одинаковыми основаниями в предположении, что показатель степени в делимом больше показателя степени в делителе, частное равно степени с тем же основанием и с показателем, равным разности показателей в делимом
и делителе.

Короче: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Действительно, если m > n, то

Пример:

Решение:

Запишем то же самое в виде дроби и произведем сокращение на , учитывая, чтo Получим

Результат имеет такой же вид при любых показателях степени, если только показатель в делимом меньше показателя в делителе.

Если m

При делении степеней с одинаковыми основаниями мы рассмотрели все три случая, которые могут представиться.

Случай 1. Показатели степени равны.

Случай 1. Показатели степени равны.
Случай 2. Показатель степени в делимом больше показателя степени в делителе.
Случай 3. Показатель степени в делимом меньше показателя степени в делителе.

Мы убедились в том, что в первых двух случаях в частном получается целое-алгебраическое выражение. Таким образом, делится на , если m равно n или m больше n. В третьем случае (m Деление одночленов

Пример:

Решение:

Требуется найти такое выражение, которое, будучи умножено на 3аbс, даст Легко найти одночлен, удовлетворяющий этому требованию. Мы знаем, что при умножении одночленов коэффициенты перемножаются, а показатели степени при каждой букве складываются. Поэтому в искомом одночлене коэффициент равен 6 : 3 = 2, буква а должна входить с показателем 3 — 1 = 2, а буква b с показателем 2 —1 = 1, а буква с совсем не должна входить. Таким образом,

Такое же рассуждение можно привести в любом другом случае деления одночлена на одночлен: необходимо только, чтобы все буквы, входящие в делитель, входили и в делимое с не меньшими показателями степени.

Только что отмеченное условие есть условие делимости
одночленов, т. е. условие, при выполнении которого частное от деления одночленов есть целое алгебраическое выражение, именно одночлен.

Мы приходим к следующему правилу.

Чтобы поделить одночлен на одночлен, в случае, если все буквы, входящие в делитель, входят и в делимое с не меньшими показателями, нужно:

1. Поделить коэффициенты и частное принять за коэффициент результата.
2. Буквы, входящие в делимое с большими показателями, чем в делитель, вписать в результат с показателями, равными разностям соответствующих показателей в делимом и делителе.
3. Буквы, входящие в делимое, но не входящие в делитель, вписать в результат с неизменными показателями.
4. Буквы, входящие в делимое и в делитель с одинаковыми показателями, опустить.

Менее подробно: при делении одночленов коэффициенты нужно поделить, а показатели при одинаковых буквах вычесть.

Можно, однако, этим правилом не пользоваться, а сразу записать дробь и произвести возможные сокращения. Рассмотрим тот же пример:

Здесь условие делимости выполнено. Посмотрим теперь, какой вид имеет результат, если условие делимости не выполнено.

Пример:

Решение:

Здесь условие делимости не выполнено, так как буква b входит в делитель в большей степени, чем в делимое. Однако мы можем записать дробь и произвести сокращение. Получим :

Очевидно, что полученное выражение не может равняться целому алгебраическому выражению, т. е. многочлену или одночлену, так как произведение одночлена b на любой многочлен (или одночлен) равно
многочлену (или одночлену), содержащему букву b, а буквы b не содержит.

Таким образом, всегда, если только условие делимости не выполнено, частное от деления двух одночленов не является целым алгебраическим выражением. Это частное можно записать только в виде алгебраической дроби.

Деление многочлена на одночлен

Правило умножения многочлена на одночлен было выведено на основании распределительного закона умножения суммы на число. Точно так же правило деления многочлена на одночлен основывается на распределительном законе, видоизмененном применительно к делению. Это в идоизменение выглядит так:

Частное от деления суммы нескольких слагаемых на число равно сумме частных, получающихся при делении каждого слагаемого на то же число.

Запишем это правило в виде формулы:

или при обозначении частного в виде дроби

Докажем эту формулу. Мы знаем, что поделить какое-либо число на число m— это все равно, что умножить его на обратное число Следовательно,

Для умножения суммы на число, в каком бы виде это число ни было выражено, справедлив распределительный закон. Поэтому

А теперь воспользуемся тем, что умножить какое-либо число на все равно, что разделить его на m, т. е.

Соединяя выкладки в одну цепочку равенств, получим

что и требовалось доказать.

Мы сформулировали и доказали правило деления суммы на число для суммы четырех слагаемых. Очевидно, однако, что те же рассуждения можно применить к сумме любого числа слагаемых.

Применим теперь доказанное правило к делению многочлена на одночлен.

Пример:

(Заметим, что мы для обозначения действия деления прибегаем к черте. Здесь это удобнее знака : , так как избавляет от необходимости ставить скобки.)

Решение:

По правилу деления суммы на число имеем

Можно решить этот пример и другим способом, посредством вынесения за скобку:

Вынесение за скобку здесь оказывается полезным потому, что само действие вынесения за скобку есть действие деления, но не указанное явно. Действительно, что значит вынести за скобку одночлен ab из многочлена ? Какой многочлен останется в скобке при выполнении этого действия? Очевидно, такой, многочлен, который при умножении на аb дает , т. е:, по определению деления, частное от деления многочлена на одночлен ab.

Ответ,.

Многочлен делится на одночлен, очевидно, в том и только в том случае, если каждый его член делцтся на этот одночлен.

Если это условие не выполнено, то чаще всего следует
ограничиться записью результата в виде дроби и, если это возможно, произвести сокращение посредством вынесения подходящих множителей в числителе за скобку.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

В этом примере нельзя произвести сокращение. Поэтому никаких упрощающих преобразований произвести нельзя.

Ответ. Упростить нельзя.

Иногда бывает целесообразно произвести почленное деление многочлена на одночлен и в случае, если отдельные члены многочлена на этот одночлен не делятся. При этом в результате получается сумма нескольких слагаемых, часть которых (или все) имеют вид дробей.

Рассмотрим преобразование такого типа для двух последних примеров

Повторяем, что такого рода преобразования применяются сравнительно редко. Еще реже применяется вынесение за скобку одночлена так, что при этом в скобке получается сумма дробей. Но все же
иногда такое преобразование бывает нужно.

Пример:

Мы вынесли abcd за скобку. При этом в скобке остается частное от деления данного многочлена на abcd. После выполнения возможных сокращений в скобке получилась сумма очень простых дробей, так что все алгебраическое выражение стало проще на вид. Однако мы его несколько «испортили». В первоначальной записи оно было целым и имело смысл при всех значениях букв а, b, с, d. В новой записи появились дроби, и теперь выражение не имеет смысла, если
хотя бы одна буква принимает значение, равное нулю.

Применение формул сокращенного умножения к делению многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения могут быть применены и к делению многочлена на многочлен. Действительно, действие деления заключается в том, что находится один из множителей, если задан
второй и их произведение. Частное есть такое число или алгебраическое выражение, которое, будучи умножено на делитель, дает делимое. Если делимое имеет вид результата какой-либо из формул сокращенного умножения, а делитель имеет вид одного из множителей в той же формуле, то частное равно другому множителю. Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решение:

Здесь делимое есть разность квадратов двух чисел х и 2, а делитель есть разность первых степеней тех же чисел. Следовательно, частное равно их сумме

Пример:

Решение:

Здесь делимое есть сумма кубов чисел а и 2b,
делитель равен сумме этих чисел. Поэтому частное есть неполный квадрат их разности

Пример:

Решение:

Здесь делимое есть разность кубов а и 3b, делитель — неполный квадрат суммы тех же чисел. Следовательно,

Пример:

Решение:

Делимое есть квадрат суммы чисел х и 2у, т. е.
произведение двух множителей, каждый из которых равен сумме чисел х и 2у. Делитель равен просто сумме этих чисел. Следовательно,

Пример:

Общие замечания о делении многочлена на многочлен

Частное от деления многочлена на многочлен иногда оказывается равным многочлену, но чаще оказывается дробным алгебраическим выражением, которое не может быть преобразовано в целое — в многочлен или одночлен. В первом случае говорят, что многочлен,
являющийся делимым, делится на многочлен, являющийся делителем. Во втором — что не делится.

Укажем некоторые признаки, по которым можно узнать, что делимость не имеет места.

Первый признак. Если степень делимого относительно какой-нибудь буквы меньше степени делителя относительно той же буквы, то частное не может быть целым алгебраическим выражением.

Например, не могут быть
представлены в виде целых алгебраических выражений — одночленов или многочленов.

Докажем это для первого примера. Допустим, что частное является многочленом или одночленом. Тогда этот многочлен (или одночлен), будучи умножен на должен равняться x + 2, и следовательно, его старший член, умноженный на должен равняться х. Но это невозможно, так как произведение на любой одночлен содержит х в степени, показатель которой не меньше 2.

Такое же рассуждение можно привести для любых рациональных дробей, зависящих от одной буквы, если степень числителя меньше степени знаменателя. Доказательство Для дробей, зависящих более чем от одной буквы, несколько сложнее из-за того, что членов,
содержащих наивысшую степень выбранной буквы, может быть несколько.

Второй признак. Если существуют такие численные значения для букв, при которых делитель обращается в нуль, а делимое не обращается в нуль, то частное не может быть целым алгебраическим выражением.

Дробь нельзя представить в виде целого выражения, так как, например, при а = 1 и b = 1 a — b = 0, но

Совершенно строгое доказательство второго признака не очень просто и требует довольно глубокого исследования свойств алгебраических тождеств.

Деление многочленов, зависящих от одной буквы

Возьмем два многочлена и умножим их, пользуясь первым правилом умножения многочлена на многочлен. Получим

Запишем результат в следующей форме:

Теперь представим себе, что перед нами поставлена обратная задача. Даны многочлены и .Требуется определить их частное.

В рассматриваемом примере эта задача уже решена, частное равно Выясним теперь некоторые свойства членов частного, при помощи которых мы смогли бы определить их последовательно один за другим, если бы частное нам не было известно.

Прежде всего старший член частного при умножении на старший член делителя дает старший член делимого. Далее, составим разность

Эта разность, очевидно, равна

Отсюда мы можем заключить, что произведение второго члена частного на старший член делителя равно старшему члену составленной разности.

Составим следующую разность:

Из этого равенства мы заключаем, что третий член частного при умножении на старший член делителя дает старший член составленной разности.

Наконец составим еще одну разность

Из этого равенства мы заключаем, что четвертый член частного при умножении на старший член делителя дает старший член последней составленной разности.

Если мы составим тем же способом следующую разность:

то она окажется равной нулю.

Составление разностей и последовательное вычисление членов частного удобно производить по следующей схеме, напоминающей схему деления многозначных чисел:

Мы делим старший член делимого на старший член делителя, и результат записываем в частное. Затем умножаем делитель на члены получившегося произведения подписываем под подобными членами делимого и вычитаем из делимого. Старший член полученной разности делим на старший член делителя, и полученное частное добавляем к ранее вычисленному члену . Умножаем делитель на
полученное произведение подписываем под первой разностью и вычитаем из нее. Старший член второй разности делим на старший член делителя, и полученное частное — х принимаем за третий член частного. Делитель умножаем на — х и вычитаем из предшествующей разности. Старший член полученной разности делим на старший член делителя, частное —3 принимаем за четвертый член частного. При следующем вычитании получается разность, равная нулю.

По такой же схеме можно производить деление многочленов всегда, если только деление выполнимо. Заметим только, что при вычислении разностей нет необходимости выписывать все члены делимого, их следует, записывать по мере появления подобных членов в вычитаемых многочленах.

Рассмотрим еще один пример

Действуем по описанной схеме

Однако может случиться, что делимое не делится на делитель. Рассмотрим пример этого рода:

Мы продолжали деление до тех пор, пока это было возможно, именно, пока степень разности не оказалась меньше степени делителя. Эта последняя разность называется остатком от деления данных
многочленов. Степень остатка меньше степени делителя. Многочлен, записанный на месте частного, называется неполным частным от деления данных многочленов.

Очевидно, что для получения полного частного нужно к неполному частному добавить частное от деления остатка на делитель. Таким образом,

или в другой записи

При записи, частного от деления двух многочленов в виде дроби неполное частное называется также целой частью дроби.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком может быть выражена и по-другому. Именно, по смыслу вычислений, остаток равен разности при вычитании из делимого произведения
делителя на неполное частное.

Следовательно, делимое равно произведению делителя на неполное частное плюс остаток.

Указанная схема дает возможность выяснить, делится данный многочлен на другой данный многочлен или нет. Делимость имеет место в том и только в том случае, если остаток равен нулю.

Схема деления применима и к делению многочленов, зависящих от нескольких букв. Для того чтобы пользоваться ею в этом случае, нужно расположить делимое и делитель по степеням какой-либо буквы, выбранной в качестве главной.

Пример:

Решение:

Сокращение алгебраических дробей

Частное от деления двух целых алгебраических выражений называется алгебраической дробью. Часто бывает возможно упростить алгебраическую дробь посредством, сокращения общих множителей числителя и знаменателя. Мы уже это делали в § 5, 6 при упрощении частного от деления одночлена на одночлен и. многочлена на одночлен. В случае, если числитель и знаменатель дроби являются многочленами, для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то можно их сократить. Если общих множителей нет, то упрощение дроби посредством сокращения невозможно.

Пример:

Пример:

Здесь нам удалось сократить только численный множитель.

Упрощение алгебраической дроби с дробными коэффициентами

Если числитель и знаменатель рациональной дроби являются многочленами с дробными коэффициентами, то для упрощения целесообразно умножить числитель и знаменатель на общий знаменатель всех коэффициентов. Это можно сделать в силу основного свойства дроби.

Пример:

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Для того чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель без изменения. Например,

Это следует из распределительного закона, примененного к частному от деления алгебраической суммы на число

прочитанного справа налево.

Если же знаменатели различны, дроби нужно предварительно привести к одному знаменателю. В качестве общего знаменателя можно взять любое общее кратное знаменателей данных дробей, т. е. любой многочлен, делящийся на каждый из этих знаменателей. В частности, за общий знаменатель можно принять произведение знаменателей данных дробей. Выгодно выбирать общий знаменатель, возможно более низкой степени. Для того чтобы показать, как следует находить общий знаменатель, рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Сложить дроби

Решение:

Сперва нужно привести эти дроби к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя здесь можно взять так как делится на , на аb и на .

Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим, числитель и знаменатель первой дроби на , второй — на ab, третьей— на . Получим

Можно принять за общий знаменатель и произведение
знаменателей данных дробей: При таком выборе общего знаменателя мы получим

Здесь возможно сокращение дробей. Действительно,

Таким образом, неэкономный выбор общего знаменателя приводит к появлению общих, множителей в числителе и знаменателе дроби,
получающейся в результате. Хотя их в конце концов можно сократить, но это удлиняет и усложняет выкладки.

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь за общий знаменатель следует принять 12 аbс. Числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4а, второй дроби — на Зb и третьей дроби — на 2с. Получим

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь мы можем заметить, что = (x—у)(х + у). Поэтому за общий знаменатель мы можем принять (х—у)(х + у) Приняв это во внимание, проводим выкладки

Ответ.

Таким образом, если знаменателями слагаемых дробей
являются многочлены, то для целесообразного выбора общего знаменателя нужно предварительно разложить эти многочлены на множители, если, это возможно. За общий знаменатель нужно взять произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.

Для каждой дроби нужно найти дополнительный множитель, на который нужно умножить числитель и знаменатель данной дроби, чтобы получить дробь со знаменателем, равным выбранному общему знаменателю.

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь за общий знаменатель следует принять

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь требуется сложить дробь c многочленом Для приведения к общему знаменателю умножим и раз делим многочлен на a—1. Получим

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей применяется то же правило, что и при умножений численных дробей. Именно, произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей перемножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей, т. е.

Здесь А, В, С, D обозначают любые алгебраические выражения.

В применении к обыкновенным численным дробям, т. е. в случае, если A, B, С, D — целые положительные числа, это правило известно из арифметики. В общем виде справедливость этого правила нуждается в доказательстве, так как значениями выражений A, В, С, D могут быть не только целые числа, но и дробные, не только положительные, но и отрицательные.

Проведем доказательство правила. Обозначим буквой х и составим произведение

По определению действия деления есть число, которое при умножении на В дает A. Следовательно, Таким же образом Итак, BDx = А С. Отсюда заключаем, в силу определения действия деления, что что и требовалось доказать.

Пример:

Деление алгебраических дробей

Правило. Частное от деления двух дробей равно дроби,
числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель равен произведению знаменателя делимого на числитель делителя, т. е.

Это правило иначе формулируется так: частное от деления двух дробей равно произведению делимого на дробь, числитель которой равен знаменателю делителя, а знаменатель равен числителю делителя.

Доказательство правила проводится посредством проверки деления умножением. Имеем:

что и требовалось доказать.

Пример:

Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей

Пример:

Решение:

Здесь можно выполнить сложение дробей в числителе и знаменателе и затем поделить полученные результаты:

Однако проще непосредственно воспользоваться основным свойством дроби, именно умножить числитель и знаменатель на ab:

Для упрощения дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей, следует умножить числитель и знаменатель на общее кратное знаменателей всех дробей, находящихся в числителе и знаменателе.

Пример:

Решение:

Умножаем числитель и знаменатель на Получим

Общие выводы

В § 12—14 мы убедились в том, что сумму, разность,
произведение и частное двух алгебраических дробей можно снова представить в виде алгебраической дроби или, в отдельных частных случаях, в виде многочлена. Отсюда следует, что любое дробное алгебраическое выражение может быть преобразовано к виду алгебраической дроби (или многочлена). Действительно, всякое дробное алгебраическое выражение есть запись результата действий сложения, вычитания, умножения и деления над числами и буквами. В результате первых по порядку действий сложения, вычитания и умножения мы придем к многочленам. В результате первого деления мы получим алгебраическую дробь. Результаты дальнейших действий над алгебраическими дробями будут представлять собой алгебраические дрцби, и окончательный результат также будет алгебраической дробью. При этом возможно, что многочлен, находящийся в числителе дроби, поделится на многочлен, находящийся в знаменателе, и тогда окончательный результат преобразуется к виду многочлена.

Пример:

Как уже говорилось в гл. III, цепочка тождественных преобразований алгебраического выражения называется алгебраической выкладкой.

В результате изложенного в гд. III, IV, V мы видим, что
алгебраическая выкладка может вестись в различных направлениях. При преобразовании целых алгебраических выражений можно раскрывать скобки, можно, наоборот, производить вынесение за скобку, при выполнении сложения многочлена и дроби можно сумму представить в виде одной дроби, а иногда бывает полезно выделение из данной дроби целой части, что приводит к разложению данной дроби на сумму многочлена и дроби и т, д.

Само собой разумеется, что алгебраическая выкладка должна? проводиться верно. Но этого недостаточно для полного овладения искусством алгебраической выкладки. Приведем один очень грубый пример:

Выкладка проведена верно, но бессмысленность ее бросается в глаза, Зачем было производить какие-то преобразования, чтобы вернуться к исходному выражению?

Алгебраическая выкладка всегда должна быть направлена к определенной цели. В упражнениях цель бывает обычно указана в условии, например «разложить на множители», «сложить дроби» и т, д.
Часто целью является упрощение данного алгебраического выражения. Но в применениях алгебры к решению практических задач нужно уметь найти цель в проведении выкладки.

Пример:

При решении некоторой задачи в общем виде ответ получен в виде формулы Требуется вычислить х с тoчностью до 0,1 при а=51, 52, 53, 54, 55 и при b = 3, 4, 5,

Решение:

Здесь целесообразно сделать следующее
преобразование:

По внешнему виду мы даже несколько усложнили ответ, но считать после преобразования становится много легче, так как мы избавились от необходимости возводить большое число а в квадрат, а затем делить большое число на a — b. Например, при a = 51, b = 3 по исходной формуле

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Многочлены

Определения и примеры

Многочлен — это сумма одночленов.

Например, выражение 2x + 4xy 2 + x + 2xy 2 является многочленом. Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс».

В некоторых многочленах одночлены могут соединяться знаком «минус». Например, 3x − 5y − 2x . Следует иметь ввиду, что это по-прежнему сумма одночленов. Многочлен 3x − 5y − 2x это сумма одночленов 3x , −5y и − 2x , то есть 3x + (−5y) + (−2x) . После раскрытия скобок образуется многочлен 3x − 5y − 2x .

Соответственно, рассматривая по отдельности каждый одночлен многочлена, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается. Так, в многочлене 3x − 5y − 2x минус перед одночленом 5y относится к коэффициенту 5 , а минус перед одночленом 2x относится к коэффициенту 2 . Чтобы не противоречить определению многочлена, вычитание можно заменять сложением:

Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, учитывая в будущем, что каждый одночлен многочлена будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом. Например, многочлен x + y является двучленом.

Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом. Например, многочлен x + y + z является трехчленом.

Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом многочлена. Например, в многочлене 3x + 5y + z + 7 член 7 является свободным членом. Свободный член многочлена не содержит буквенной части.

Многочленом также является любое числовое выражение. Так, следующие выражения являются многочленами:

Сложение многочленов

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, прибавим к многочлену 2x + y многочлен 3x + y.

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:

Теперь раскрываем скобки:

Далее приведём подобные слагаемые:

Таким образом, при сложении многочленов 2x + y и 3x + y получается многочлен 5x + 2y.

Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».

Например, сложим в столбик многочлены 2x 2 + y 3 + z + 2 и 5x 2 + 2y 3 . Для начала запишем их так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполним их сложение. Обнаруживаем, что во втором многочлене не содержатся слагаемые, которые можно было бы сложить со слагаемыми z и 2 из первого многочлена. Поэтому слагаемые z и 2 переносятся к результату без изменений (вместе со своими знаками)

Решим этот же пример с помощью скобок:

Пример 3. Сложить многочлены 7x 3 + y + z 2 и x 3 − z 2

Решим этот пример в столбик. Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:

Во втором многочлене не было слагаемого, которого можно было бы сложить со слагаемым y из первого многочлена, поэтому это слагаемое было перенесёно к результату без изменений. А сложение подобных слагаемых z 2 и −z 2 дало в результате 0 . Ноль по традиции не записываем. Поэтому окончательный ответ это 8x 3 + y.

Решим этот же пример с помощью скобок:

Вычитание многочленов

Из многочлена можно вычесть другой многочлен. Например, вычтем из многочлена 2x + y многочлен 3x + y .

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:

Теперь раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю

Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их. Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена. Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых. Но можно не складывая, записать их друг за другом

Получится тот же результат, поскольку выражения y + (−y) и y − y одинаково равны нулю:

Возвращаемся к нашему примеру. Вычеркнем члены y и −y :

А сложение подобных слагаемых 2x и −3x , даст в результате −x

Или без сложения, записав члены друг за другом:

Значит, при вычитании из многочлена (2x + y) многочлена (3x + y) получится одночлен −x .

Решим этот же пример в столбик:

Пример 2. Вычесть из многочлена 13x − 11y + 10z многочлен −15x + 10y − 15z

Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:

Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.

Так, в данном примере из слагаемого 10z вычиталось слагаемое −15z

Результат вычисления этого выражения должен быть положительным, поскольку 10z − (−15z) = 10z + 15z .

Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать. Так, в данном примере из многочлена 13x − 11y + 10z требовалось вычесть многочлен −15x + 10y − 15z

Вычитание было записано так:

Но первый многочлен можно не заключать в скобки:

Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части.

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.

Пусть имеется многочлен 3x + 5y + z + 7 . Представим его в виде суммы двух многочленов.

Итак, из членов исходного многочлена нужно образовать два многочлена, сложенные между собой. Давайте заключим в скобки члены 3x и 5y , а также члены z и 7 . Далее объединим их с помощью знака «плюс»

Значение исходного многочлена при этом не меняется. Если раскрыть скобки в получившемся выражении (3x + 5y) + (z + 7) , то снова получим многочлен 3x + 5y + z + 7 .

В скобки также можно было бы заключить члены 3x, 5y, z и прибавить это выражение в скобках к члену 7

Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила. Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные.

Вернемся к многочлену 3x + 5y + z + 7 . Представим его в виде разности двух многочленов. Давайте заключим в скобки многочлен 3x и 5y , а также z и 7, затем объединим их знаком «минус»

Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки. Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные. Делать это нужно внутри скобок:

Заключая члены в скобки, нужно следить за тем, чтобы значение нового выражения тождественно было равно предыдущему выражению. Этим и объясняется замена знаков членов внутри скобок. Если в выражении (3x + 5y) − (−z − 7) раскрыть скобки, то получим изначальный многочлен 3x + 5y + z + 7 .

Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:

Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.

Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

Пример 1. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:

Пример 2. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:

Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5x 2 и −4 были записаны с противоположными знаками.

Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.

Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Приведём многочлен 2x + 4xy 2 + x − xy 2 к стандартному виду. Для этого приведём его подобные члены. Подобными членами в этом многочлене являются 2x и x , а также 4xy 2 и −xy 2 .

В результате получили многочлен 3x + 3xy 2 , который не имеет подобных членов. Такой вид многочлена называют многочленом стандартного вида.

Как и у одночлена, у многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.

В предыдущем примере мы привели многочлен 2x + 4xy 2 + x − xy 2 к стандартному виду. В результате получили многочлен 3x + 3xy 2 . Он состоит из двух одночленов. Степенью первого одночлена является 1, а степенью второго одночлена является 3. Наибольшая из этих степеней является 3. Значит, многочлен 3x + 3xy 2 является многочленом третьей степени.

А поскольку многочлен 3x + 3xy 2 тождественно равен предыдущему многочлену 2x + 4xy 2 + x − xy 2 , то и этот предыдущий многочлен является многочленом третьей степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.

Например, приведем многочлен 3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x к стандартному виду. Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду. Сначала приведём их к стандартному виду:

Теперь получившийся многочлен 3x 5 + 3x 4 − 5x 5 − 5x 3 можно привести к стандартному виду. Для этого приведем его подобные члены. Подобными являются члены 3x 5 и −5x 5 . Больше подобных членов нет. Члены 3x 4 и −5x 3 будут переписаны без изменений:

Пример 2. Привести многочлен 3ab + 4cc + ab + 3c 2 к стандартному виду.

Сначала приведем одночлен 4cc , входящий в исходный многочлен, к стандартному виду, получим 4с 2

Далее приведём подобные члены:

Пример 3. Привести многочлен 4x 2 − 4y − x 2 + 17y − y к стандартному виду.

Подобными членами в данном многочлене являются 4x 2 и −x 2 , а также −4y , 17y и −y . Приведем их:

Приводя подобные члены, можно использовать скобки. Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс».

Решим предыдущий пример с помощью скобок. Подобными членами в нём были 4x 2 и −x 2 , а также −4y , 17y и −y . Заключим их в скобки и объединим с помощью знака «плюс»

Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:

В получившемся выражении (3x 2 ) + (12y) раскроем скобки:

Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Пример 4. Привести многочлен 12x 2 − 9y − 9x 2 + 6y + y к стандартному виду.

Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»

Далее вычисляем содержимое скобок:

Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:

Изменение порядка следования членов

Рассмотрим двучлен x − y . Как сделать так, чтобы член −y располагался первым, а член x вторым?

Многочлен это сумма одночленов. То есть исходный двучлен двучлен x − y является суммой x и −y

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Тогда x и −y можно поменять местами

Пример 2. В двучлене −y − x поменять местами члены.

Двучлен −y − x это сумма членов −y и −x

Тогда согласно переместительному закону сложения получим (−x) + (−y) . Избавим выражение от скобок:

Таким образом, решение можно записать покороче:

Пример 3. Упорядочить члены многочлена x + xy 3 − x 2 в порядке убывания степеней.

Наибольшую степень в данном многочлене имеет член xy 3 , далее −x 2 , а затем x . Запишем их в этом порядке:

Умножение одночлена на многочлен

Одночлен можно умножить на многочлен. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Например, умножим одночлен 3x 2 на многочлен 2x + y + 5 . При умножении одночлена на многочлен, последний нужно заключать в скобки:

Теперь умножим одночлен 3x 2 на каждый член многочлена 2x + y + 5 . Получающиеся произведения будем складывать:

Вычислим получившиеся произведения:

Таким образом, при умножении одночлена 3x 2 на многочлен 2x + y + 5 получается многочлен 6x 3 + 3x 2 y + 15x 2 .

Умножение желательно выполнять в уме. Так решение получается короче:

В некоторых примерах одночлен располагается после многочлена. В этом случае опять же каждый член многочлена нужно перемножить с одночленом и полученные произведения сложить.

Например, предыдущий пример мог быть дан в следующем виде:

В этом случае мы умножили бы каждый член многочлен (2x + y + 5) на одночлен 3x 2 и сложили бы полученные результаты:

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения.

То есть чтобы умножить число a на сумму b + c , нужно число a умножить на каждое слагаемое суммы b + c , и полученные произведения сложить.

Вообще, умножение одночлена на многочлен, да и распределительный закон умножения имеют геометрический смысл.

Допустим, имеется прямоугольник со сторонами a и b

Увеличим сторону b на c

Достроим отсутствующую сторону и закрасим для наглядности получившийся прямоугольник:

Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Он включает в себя желтый и серый прямоугольники.

Чтобы вычислить площадь получившегося большого прямоугольника, можно по отдельности вычислить площади желтого и серого прямоугольников и сложить полученные результаты. Площадь желтого прямоугольника будет равна ab , а площадь серого ac

А это всё равно что длину большого прямоугольника умножить на его ширину. Длина в данном случае это b + c , а ширина это a

или ширину умножить на длину, чтобы расположить буквы a, b и c в алфавитном порядке:

Таким образом, выражения a × (b + c) и ab + ac равны одному и тому же значению (одной и той же площади)

К примеру, пусть у нас имеется прямоугольник длиной 4 см, и шириной 2 см, и мы увеличили длину на 2 см

Тогда площадь данного прямоугольника будет равна 2 × (4 + 2) или сумме площадей желтого и серого прямоугольников: 2 × 4 + 2 × 2 . Выражения 2 × (4 + 2) и 2 × 4 + 2 × 2 равны одному и тому же значению 12

2 × (4 + 2) = 2 × 4 + 2 × 2 = 12.

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится двенадцать квадратных сантиметров:

Пример 2. Умножить одночлен 2a на многочлен a 2 − 7a − 3

Умножим одночлен 2a на каждый член многочлена a 2 − 7a − 3 и сложим полученные произведения:

Пример 3. Умножить одночлен −a 2 b 2 на многочлен a 2 b 2 − a 2 − b 2

Умножим одночлен −a 2 b 2 на каждый член многочлена a 2 b 2 − a 2 − b 2 и сложим полученные произведения:

Пример 4. Выполнить умножение −1,4x 2 y 6 (5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 )

Умножим одночлен −1,4x 2 y 6 на каждый член многочлена 5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 и сложим полученные произведения:

Пример 5. Выполнить умножение

Умножим одночлен на каждый член многочлена и сложим полученные произведения:

Выполняя короткие решения, результаты записывают сразу друг за другом вместе со знаком полученного члена. Рассмотрим поэтапно, как было выполнено короткое решение данного примера.

Сначала одночлен нужно умножить на первый член многочлена , то есть на . Умножение выполняется в уме. Получается результат . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем первый результат:

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на второй член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является положительным, то есть со знаком плюс . В исходном выражении этот результат записывается вместе с этим плюсом сразу после члена

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на третий член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении этот результат записывается вместе со своим минусом сразу после члена

Иногда встречаются выражения, в которых сначала нужно выполнить умножение одночлена на многочлен, затем опять на одночлен. Например:

В этом примере сначала член 2 умножается на многочлен (a + b) , затем результат умножается на c . Для начала выполним умножение 2 на (a + b) и заключим полученный результат в скобки

Скобки говорят о том, что результат умножения 2 на (a + b) полностью умножается на c . Если бы мы не заключили скобки 2a + 2b , то получилось бы выражение 2a + 2b × с , в котором на с умножается только 2b . Это привело бы к изменению значения изначального выражения, а это недопустимо.

Итак, получили (2a + 2b)с . Теперь умножаем многочлен (2a + 2b) на одночлен c и получаем окончательный результат:

Умножение также можно было бы выполнить сначала умножив (a + b) на с и полученный результат перемножить с членом 2

В данном случае срабатывает сочетательный закон умножения, который говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

То есть умножение можно выполнять в любом порядке. Это не приведёт к изменению значения изначального выражения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Например, умножим многочлен x + 3 на y + 4

Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения ×

Либо запишем их друг за другом без знака × . Это тоже будет означать умножение:

Теперь умножим каждый член первого многочлена (x + 3) на каждый член второго многочлена (y + 4) . Здесь опять же будет применяться распределительный закон умножения:

Отличие в том, что у нас вместо переменной c имеется многочлен (y + 4) , состоящий из членов y и 4 . Наша задача умножить (x + 3) сначала на y , затем на 4. Чтобы не допустить ошибку, можно представить, что члена 4 пока не существует вовсе. Для этого его можно закрыть рукой:

Получаем привычное для нас умножение многочлена на одночлен. А именно, умножение многочлена (x + 3) на одночлен y . Выполним это умножение:

Мы умножили (x + 3) на y . Теперь осталось умножить (x + 3) на 4. Для этого умножаем каждый член многочлена (x + 3) на одночлен 4. На этот раз в исходном выражении (x + 3)(y + 4) рукой закроем y , поскольку на него мы уже умножали многочлен (x + 3)

Получаем умножение многочлена (x + 3) на одночлен 4. Выполним это умножение. Умножение необходимо продолжать в исходном примере (x + 3)(y + 4) = xy + 3y

Таким образом, при умножении многочлена (x + 3) на многочлен (y + 4) получается многочлен xy + 3y + 4x + 12.

По другому умножение многочлена на многочлен можно выполнить ещё так: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.

Решим предыдущий пример, воспользовавшись этим способом. Умножим каждый член многочлена x + 3 на весь многочлен y + 4 целиком и сложим полученные произведения:

В результате приходим к умножению одночлена на многочлен, которое мы изучили ранее. Выполним это умножение:

Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.

Умножение многочлена на многочлен имеет геометрический смысл. Допустим, имеется прямоугольник, длина которого a и ширина b

Площадь этого прямоугольника будет равна a × b .

Увеличим длину данного прямоугольника на x , а ширину на y

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Для этого вычислим по отдельности площадь каждого прямоугольника, входящего в этот большой прямоугольник и сложим полученные результаты. Площадь жёлтого прямоугольника будет равна ab , площадь серого xb , площадь фиолетового ay , площадь розового xy

А это всё равно что умножить длину получившегося большого прямоугольника на его ширину. Длина в данном случае это a + x , а ширина b + y

То есть выражения (a + x)(b + y) и ab + xb + ay + xy тождественно равны

Представим, что у нас имелся прямоугольник, длиной 6 см и шириной 3 см, и мы увеличили его длину на 2 см, а ширину на 1 см

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

Площадь получившегося большого прямоугольника будет равна (6 + 2)(3 + 1) или сумме площадей прямоугольников, входящих в большой прямоугольник: 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 . В обоих случаях получим один и тот же результат 32

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

(6 + 2)(3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится тридцать два квадратных сантиметра:

Пример 2. Умножить многочлен a + b на c + d

Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом:

Теперь умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)

Пример 4. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y 2 )

Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y 2 )

Результат перемножения членов нужно записывать вместе со знаками этих членов. Рассмотрим поэтапно, как был решён данный пример.

Итак, требуется умножить многочлен (−x − 2y) на многочлен (x + 2y 2 ) . Сначала надо умножить многочлен (−x − 2y) на первый член многочлена (x + 2y 2 ) , то есть на x .

Умножаем −x на x , получаем −x 2 . В исходном выражении (−x − 2y)(x + 2y 2 ) ставим знак равенства и записываем −x 2

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению. А именно умножению −2y на x . Получится −2xy . Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении записываем результат −2xy сразу после члена −x 2

Теперь умножаем многочлен (−x − 2y) на второй член многочлена (x + 2y 2 ) , то есть на 2y 2

Умножаем −x на 2y 2 , получаем −2xy 2 . В исходном выражении записываем этот результат сразу после члена −2xy

Приступаем к следующему умножению. А именно умножению −2y на 2y 2 . Получаем −4y 3 . В исходном выражении этот результат записываем вместе со своим минусом сразу после члена −2xy 2

Пример 5. Выполнить умножение (4a 2 + 2ab − b 2 )(2a − b)

Умножим каждый член многочлена (4a 2 + 2ab − b 2 ) на каждый член многочлена (2a − b)

В получившемся выражении можно привести подобные слагаемые:

Пример 6. Выполнить умножение −(a + b)(с − d)

В этот раз перед скобками располагается минус. Этот минус является коэффициентом −1 . То есть исходное выражение является произведением трёх сомножителей: −1 , многочлена (a + b) и многочлена (с − d) .

Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то его можно вычислять в любом порядке.

Поэтому сначала можно перемножить многочлены (a + b) и (с − d) и полученный в результате многочлен умножить на −1 . Перемножение многочленов (a + b) и (с − d) нужно выполнять в скобках

Теперь перемножаем −1 и многочлен (ac + bc − ad − bd) . В результате все члены многочлена ( ac + bc − ad − bd ) поменяют свои знаки на противоположные:

Либо можно было перемножить −1 с первым многочленом (a + b) и результат перемножить с многочленом (с − d)

Пример 7. Выполнить умножение x 2 (x + 5)(x − 3)

Сначала перемножим многочлены (x + 5) и (x − 3) , затем полученный в результате многочлен перемножим с x 2

Пример 8. Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

Сначала перемножим многочлены (a + 1) и (a + 2) , затем полученный многочлен перемножим с многочленом (a + 3)

Итак, перемножим (a + 1) и (a + 2)

Полученный многочлен (a 2 + a + 2a + 2) перемножим с (a + 3)

Если быстрое перемножение многочленов на первых порах даётся тяжело, можно воспользоваться подробным решением, суть которого заключается в том, чтобы записать, как каждый член первого многочлена умножается на весь второй многочлен целиком. Такая запись хоть и занимает место, но позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Например, выполним умножение (a + b)(c + d)

Запишем как каждый член многочлена a + b умножается на весь многочлен c + d целиком. В результате придём к умножению одночлена на многочлен, выполнять которое проще:

Такая запись удобна при умножении двучлена на какой-нибудь многочлен, в котором содержится больше двух членов. Например:

Или при перемножении многочленов, содержащих больше двух членов. Например, умножим многочлен x 2 + 2x − 5 на многочлен x 3 − x + 2

Запишем перемножение исходных многочленов в виде умножения каждого члена многочлена x 2 + 2x − 5 на многочлен x 3 − x + 2 .

Получили привычное для нас умножения одночленов на многочлены. Выполним эти умножения:

В получившемся многочлене приведём подобные члены:

Одночлены, входящие в получившийся многочлен, расположим в порядке убывания степеней. Делать это необязательно. Но такая запись будет красивее:

Вынесение общего множителя за скобки

Мы уже учились выносить общий множитель за скобки в простых буквенных выражениях. Теперь мы немного углубимся в эту тему, и научимся выносить общий множитель за скобки в многочлене. Принцип вынесения будет таким же, как и в простом буквенном выражении. Небольшие трудности могут возникнуть лишь с многочленами, состоящими из степеней.

Рассмотрим простой двучлен 6xy + 3xz . Вынесем в нём общий множитель за скобки. В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 3x . Напомним, что при вынесении общего множителя за скобки, каждое слагаемое исходного выражения надо разделить на этот общий множитель:

В результате получили 3x(2y + z) . При этом в скобках образовался другой более простой многочлен (2y + z) . Выносимый за скобки общий множитель выбирают так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя, а модули коэффициентов этих членов не имели общего делителя, кроме единицы.

Поэтому в приведенном примере за скобки был вынесен общий множитель 3x . В скобках образовался многочлен 2y + z , модули коэффициентов которого не имеют общего делителя кроме единицы. Это требование можно выполнить, если найти наибольший общий делитель (НОД) модулей коэффициентов исходных членов. Этот НОД станóвится коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки. В нашем случае исходный многочлен был 6xy + 3xz . Коэффициенты исходных членов это числа 6 и 3, а их НОД равен 3.

А буквенную часть общего множителя выбирают так, чтобы члены в скобках не имели общих буквенных множителей. В данном случае это требование выполнилось легко. Общий буквенный множитель был виден невооруженным глазом — это был множитель x .

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x 2 + x + xy

Все члены данного многочлены имеют коэффициент единицу. Наибольший общий делитель модулей из этих единиц есть единица. Поэтому числовая часть выносимого за скобки множителя будет единицей. Но единицу в качестве коэффициента не записывают.

Далее выбираем буквенную часть общего множителя. Прежде всего надо понимать, что любой член, входящий в многочлен, является одночленом. А одночлен это произведение чисел, переменных и степеней. Даже если членом многочлена является обычное число, его всегда можно представить в виде произведения единицы и самого этого числа. Например, если в многочлене содержится число 5, его можно представить в виде 1 × 5 . Если в многочлене содержится число 8 , то его можно представить в виде произведения множителей 2 × 2 × 2 (или как 2 × 4 )

С переменными такая же ситуация. Если в многочлене содержится член, являющийся переменной или степенью, их всегда можно представить в виде произведения. К примеру, если многочлен содержит одночлен x , его можно представить в виде произведения 1 × x . Если же многочлен содержит одночлен x 3 , его можно представить в виде произведения xxx .

Одночлены, из которых состоит многочлен x 2 + x + xy , можно разложить на множители так, чтобы мы смогли увидеть буквенный сомножитель, который является общим для всех членов.

Итак, первый член многочлена x 2 + x + xy , а именно x 2 можно представить в виде произведения x × x . Второй член x можно представить в виде 1 × x . А третий член xy оставим без изменения, или для наглядности перепишем его с помощью знака умножения x × y

Каждый член многочлена представлен в виде произведения множителей, из которых состоят эти члены. Легко заметить, что во всех трёх произведениях общим сомножителем является x. Выделим его:

Этот множитель x и вынесем за скобки. Опять же при вынесении общего множителя за скобки каждое слагаемое исходного выражения делим на этот общий множитель. В нашем случае каждый член многочлена x × x + 1 × x + x × y нужно разделить на общий множитель x

Значит, при вынесении общего множителя за скобки в многочлене x 2 + x + xy , получается x(x + 1 + y)

В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Определим коэффициент общего множителя, выносимого за скобки. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 15, 12 и 3 это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определим буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя.

Перепишем буквенные части исходного многочлена 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2 в виде разложения на множители. Это позволит хорошо увидеть, что именно можно вынести за скобки:

Видим, что среди буквенных частей общим множителем является xyy , то есть xy 2 . Если вынести этот множитель за скобки, в скобках останется многочлен, не имеющий общего буквенного множителя.

В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy 2

Для проверки можно выполнить умножение 3xy 2 (5xy + 4 + 1) . В результате должен получиться многочлен 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении x 2 + x

В данном случае за скобки можно вынести x

Это потому что первый член x 2 можно представить как xx . А второй член x представить как 1 × x

Не следует на письме подробно расписывать содержимое каждого члена, разлагая его на множители. Это легко делается в уме.

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y

В данном случае за скобки можно вынести 5y . Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 5 и 15 это число 5. Среди буквенных множителей общим является y

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y 3

В данном примере за скобки можно вынести 5y 2 . Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 5 и 15 это число 5 . Среди буквенных множителей общим является y 2

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 20x 4 − 25x 2 y 2 − 10x 3

В данном примере за скобки можно вынести 5x 2 . Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 20, −25 и −10 это число 5 . Среди буквенных множителей общим является x 2

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в многочлене a m + a m + 1

Второй член a m + 1 представляет собой произведение из a m и a , поскольку a m × a = a m + 1

Заменим в исходном примере член a m + 1 на тождественно равное ему произведение a m × a . Так проще будет увидеть общий множитель:

Теперь можно увидеть, что общим множителем является a m . Его и вынесем за скобки:

Проверка на тождественность

Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.

Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене:

В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x

Представим, что мы не уверены в таком решении. В этом случае нужно взять любое значение переменной x и подставить его сначала в исходное выражение 2x + 4x 2 , затем в полученное 2x(1 + 2x) . Если в обоих случаях результат будет одинаковым, то это будет означать, что задача решена правильно.

Возьмём произвольное значение x и подставим его в исходное выражение 2x + 4x 2 . Пусть x = 2 . Тогда получим:

2x + 4x 2 = 2 × 2 + 4 × 2 2 = 4 + 16 = 20

Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x)

2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2 ) = 4 × 5 = 20

То есть при x = 2 выражения 2x + 4x 2 и 2x(1 + 2x) равны одному и тому же значению. Это значит, что задача была решена правильно. Тоже самое будет происходить и при других значениях переменных x . Например, проверим наше решение при x = 1

2x + 4x 2 = 2 × 1 + 4 × 1 2 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1 ) = 2 × 3 = 6

Пример 2. Вычесть из многочлена 5x 2 − 3x + 4 многочлен 4x 2 − x и проверить полученный результат, подставив вместо переменной x произвольное значение.

Мы выполнили два преобразования: cначала раскрыли скобки, а затем привели подобные члены. Теперь проверим эти два преобразования на тождественность. Пусть x = 2 . Подставим это значение сначала в исходное выражение, а затем в преобразованные:

Видим, что при каждом преобразовании значение выражения при x = 2 не менялось. Это значит, что задача была решена правильно.

Как сокращать алгебраические дроби?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

1. Определите общий множитель.
2. Сократите коэффициенты.
3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x 3 и x 2
2. Всегда делим на наименьшее значение в степени
3. Вычитаем: 3 — 1

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.
2. Х и x 2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.
2. b 3 и b делим на b.
3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

• сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
• сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.
2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.
3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.
4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

1. Выносим общий множитель 6
2. Делим 42/6
3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу квадрата разности (a-b) 2 = a 2 — 2ab — b 2 и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

• Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
• Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
• Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
• Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
• Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
• Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
• Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно — Формулы сокращённого умножения (ФСУ)