Урок алгебры в 10-м классе по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»
Разделы: Математика
Цели урока: создать условия для:
- обобщения и закрепления умений решать уравнения с переменной под знаком модуля;
- промежуточного контроля и оценки качества усвоения учащимися способов решения уравнений;
- формирования устной и письменной речи, познавательной активности, творческих способностей учащихся;
- развития логического мышления;
- воспитание навыков самоконтроля;
- воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Тип урока: обобщения и закрепления знаний и умений.
I. Определение темы и цели урока
Совместно с учащимися формулируем тему урока;
Совместно с учащимися ставим цели и задачи урока;
Определяем основные этапы урока.
Для этого обратиться к учащимся с вопросами:
Решением каких уравнений мы занимались на предыдущих уроках?
Что нужно знать для этого?
Каким образом можно это закрепить , проверить?
II. Обобщение и систематизация знаний
1. Учитель: Сформулируйте определение модуля числа.
Ученики: Модулем действительного числа х называется само это число, если х ≥ 0, и противоположное ему число, если х 2 = х 2 ;
3. Учитель: Решение уравнения вида
Ученики: Уравнение
4. Учитель: Решение уравнения вида
Ученики: Т.к. то
5. Учитель: Решение уравнения вида
Ученики: Уравнения такого вида решаются методом разбиения на промежутки. Для этого надо: 1) найти нули выражений, стоящих под знаком модуля; 2) разбить ОДЗ переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак; 3) на каждом из полученных промежутков решить уравнение с учётом определения модуля. Объединение решений на указанных промежутках и составляет все решения данного уравнения.
6. Учитель: Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль?
Ученики: Надо сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
III. Устная работа
Учащиеся выполняют задания устно, комментируя своё решение.
1. Раскрыть знак модуля:
а) б)
а)
б)
в)
2. Найти множество решений уравнения:
а) б) в) г)
б) т.к. при любом х, а -7, то уравнение решений не имеет.
Ответ:
в)
г)
Ответ:
IV. Закрепление умений учащихся решать уравнения
4 ученика решают на доске, остальные в тетрадях. Затем сверяют решения, при необходимости исправляют ошибки. Работающие у доски отвечают на возникающие вопросы.
1) .
Решение: Данное уравнение равносильно совокупности систем:
Ответ: 1,5; .
2) .
Ответ: ; 1; 3.
3)
3х+4 = 0, х = —;
1) х 3, тогда 3х + 4 + 2·(х – 3) = 16 х = 3,6 – является корнем уравнения.
4) = 4.
Решение: Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна совокупности двух систем: х = 0.
V. Самостоятельная работа (разноуровневая)
Самостоятельная письменная работа в трёх уровнях с последующей сдачей учителю. Ученик может выбрать любой из трёх уровней.
Первый уровень оценивается оценкой «3», второй – оценкой «4», третий – «5».
а) ;
б)
а) ;
б)
а) ;
б) Найти сумму корней уравнения:
VI. Постановка домашнего задания
1. Решить уравнения:
а) х 2 = ;
б) ;
в)
г)
* д) Найти сумму целых решений уравнения
VII. Итоги урока
Какими навыками, умениями овладели?
Какими понятиями, приёмами воспользовались при решении уравнений?
Решение каких уравнений вам показалось сложным?
Уравнения с модулем
Что такое уравнение с модулем
Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.
В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.
| x | = x , x ≥ 0 — x , x 0
Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.
Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности
Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.
Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.
Разберем подробное решение квадратного уравнения:
Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:
На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:
Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:
x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4
Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:
2 x — 1 2 = 9 x 2 + 12 x + 4
Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:
- перенос слагаемых;
- приведение подобных;
- решение квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.
Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:
9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2
Преобразуем сложное уравнение:
2 x — 1 2 = 3 x + 2 2
На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:
В результате получим:
2 x — 1 2 = 3 x + 2 2 ⇔ 2 x — 1 = 3 x + 2 .
При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:
- Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
- Противоположные числа равны друг другу по модулю: — x = x .
- Произведение пары или более чисел по модулю равно произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
- Частное пары чисел по модулю равно частному модулей этих чисел: x y = x y , y ≠ 0 .
- Сумма чисел по модулю в любом случае меньше или равна сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
- Постоянный множитель, который больше нуля, допустимо вынести за знак модуля: c x = c · x при c > 0 .
- Квадрат какого-то числа по модулю равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .
Пример 3
Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:
Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:
x = 7 ⇔ x = 7 , п р и x ≥ 0 — x = 7 , п р и x 0 ⇔ x = 7 x = — 7
Рассмотрим несколько иное уравнение:
В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:
x = — 7 ⇔ x = — 7 , при x ≥ 0 — x = — 7 , при x 0 ⇔ x = — 7 x ≥ 0 ⇒ р е ш е н и я н е т x = 7 x 0 ⇒ р е ш е н и я н е т
Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов
Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:
- Уравнения x = a . x = a ⇔ x = a , п р и x ≥ 0 — x = a , п р и x 0 ⇔ x = a x = — a .
- Уравнения вида x = y . x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y
Примеры решения задач с объяснением
Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.
Рассмотрим в качестве примера:
Определим x . Когда x ≥ 0 , значение равно х . Если x – х . Таким образом:
x = 5 ⇔ x = 5 при x ≥ 0 — x = 5 при x 0 ⇔ x = 5 x = — 5 .
Получим, что решением уравнения являются -5; 5.
Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
x = — 3 ⇔ x = — 3 при x ≥ 0 — x = — 3 при x 0 ⇔ x = — 3 x ≥ 0 ⇒ решений нет x = 3 x 0 ⇒ решений нет
Согласно первому свойству модуля:
x ≥ 0 , то есть модуль в любом случае не является отрицательным числом.
Можно обобщить рассмотренные действия и записать правило для решения уравнений, которые имеют вид x = a . Данное правило можно использовать в работе:
x = a ⇒ a ≥ 0 x = a x = — a .
Используя данное правило, решим уравнение:
По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:
x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 x = 2
Решим следующее уравнение:
Воспользуемся правилом и получим:
3 x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 3 x — 5 = 3 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 3 x = 2 3
Далее рассмотрим решение уравнений, которые записаны в виде | x | = | y | .
При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.
Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:
Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:
x = y ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 — y 2 = 0 ⇔
⇔ x — y x + y = 0 ⇔ x = y x = — y .
Рассмотрим еще несколько примеров.
Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:
x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x + 1 = 2 x — 1 x + 1 = — 2 x — 1 ⇔ x = 2 x = 0 .
Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:
2 x — 9 = 3 — x ⇔ 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3 ⇔ 3 x = 12 x = 6 ⇔ x = 4 x = 6 .
Разберем на примере, как решать уравнения вида | x | = y .
Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:
x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 1 — 2 x ≥ 0 x + 1 = 1 — 2 x x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x ≤ 1 2 x = 0 x = 2 ⇔ x = 0 .
Заметим, что без проверки на положительность части уравнения, которая записана с правой стороны, существуют риски появления посторонних корней в решении. К примеру, проверим x=2 путем подстановки в начальное уравнение x + 1 = 1 — 2 x :
2 + 1 = 1 — 2 · 2 ⇔ 3 = — 3 не является верным.
При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.
Рассмотрим пример такого выражения:
x + 3 — 2 x — 1 = 1
Первый модуль имеет вид:
Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:
После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:
x + 3 = x + 3 , если x + 3 ≥ 0 — x — 3 , если x + 3 0 .
По аналогии выполним преобразования второго модуля:
2 x — 1 = 2 x — 1 , если 2 x — 1 ≥ 0 1 — 2 x , если 2 x — 1 0 .
Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.
Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:
Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.
Обобщая эту информацию, можно записать алгоритм действий. В первую очередь следует вычислить корни выражений, заключенных под знаком модуля. В результате получаются такие х , при которых выражения принимают нулевые значения:
x + 3 = 0 ⇒ x = — 3 2 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 2
С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.
В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:
— x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ — x — 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = 5 > — 3 является сторонним корнем.
В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = — 1 3 полученный корень соответствует своему интервалу.
Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:
x + 3 — 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 — 2 x + 1 = 1 ⇔ x = 3 данный корень также подходит для решения.
Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:
x = 5 : 5 + 3 — 2 · 5 — 1 = 8 — 9 = — 1 ≠ 1
Второй корень является решением:
x = — 1 3 : — 1 3 + 3 — 2 · — 1 3 — 1 = 8 3 — 5 3 = 1 .
Третий корень также является решением:
x = 3 : 3 + 3 — 2 · 3 — 1 = 6 — 5 = 1 .
Таким образом, запишем ответ: — 1 3 ; 3 .
Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:
В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.
Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:
f x = a ⇔ f x = a f x = — a
Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:
x — 5 = 3 ⇔ x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇔ x = 8 x = 2
Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:
x = 8 x = — 8 x = 2 x = — 2
Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.
Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.
Раскроем сначала внутренние модули:
Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:
x ≥ 0 x — 5 = 3 x 0 — x — 5 = 3
Задачи для самостоятельного решения
Найти корни уравнения:
Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:
Найдем корни квадратного уравнения:
3 x 2 — 18 x + 24 = 0
В процессе потребуется сократить уравнение на 3:
D = ( — 6 ) 2 — 4 · 1 · 8 = 36 — 32 = 4
Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:
x 1 , 2 = — b ± D 2 a ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 4 2 · 1 ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 2 2 ⇒ x 1 = 4 , x 2 = 2
Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:
x 1 = 4 и x 2 = 2
Ответ: x 1 = 4 , x 2 = 2
Найти корни уравнения:
Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:
( 3 x — 1 ) 2 = ( x + 5 ) 2
9 x 2 — 6 x + 1 = x 2 + 10 x + 25
8 x 2 — 16 x — 24 = 0
Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:
Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:
x 1 + x 2 = 2 , а x 1 · x 2 = — 3 ⇒ x 1 = 3 и x 2 = — 1 . .
Ответ: x 1 = 3 , x 2 = — 1
Нужно решить уравнение:
| x + 1 | + | x — 5 | = 20
Воспользуемся методом интервалов. Определим х , при которых модули принимают нулевые значения:
x + 1 = 0 ⇒ x = — 1 ; x — 5 = 0 ⇒ x = 5
С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:
Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:
Корень соответствует определенному ранее промежутку.
Этот промежуток не имеет корней.
Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.
Ответ: x 1 = — 8 , x 2 = 12
3 x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 3 x + 3 = 1 — 2 x 3 x + 3 = 2 x — 1 ⇔ 5 x = — 2 x = — 4 ⇔ x = — 2 5 x = — 4 .
Ответ: x = — 2 5 , x = — 4
Найти корни уравнения:
2 x — 9 = 3 — x ⇔ 3 — x ≥ 0 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3
x ≤ 3 3 x = 12 x = 6 ⇔ x ≤ 3 x = 4 x = 6 ⇔ x ∈ ∅ .
Найти корни уравнения:
— 2 x + 4 = 3 — 4 x ⇔ 2 x + 8 = 4 x — 3 ⇔ ;
4 x — 3 ≥ 0 2 x + 8 = 4 x — 3 2 x + 8 = 3 — 4 x ⇔ x ≥ 3 4 x = 11 2 x = — 5 6 ⇔ x = 11 2 .
Найти корни уравнения:
2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 2 x 2 — x — 15 = 0 1 2 x 2 + x — 15 = 0 2
Найдем корни квадратных уравнений:
Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:
D = 1 + 4 · 2 · 15 = 121 = 11 2 .
1 : x 1 , 2 = 1 ± 11 4 ⇔ x = 3 x = — 5 2
2 : x 1 , 2 = — 1 ± 11 4 ⇔ x = — 3 x = 5 2
Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:
2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 x = 3 x = — 5 2 x = — 3 x = 5 2 ⇔ x = 3 x = 5 2
Найти корни уравнения:
x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3
x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = — 2 3 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 3 4 — x = 0 ⇒ x = 4
— x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3
x = 2 > — 2 ⇒ — этот корень является посторонним.
x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔
3 x = — 2 ⇔ x = — 2 3 ∈ — 2 ; 1 3 этот корень удовлетворяет условиям.
x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔ — 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 ∈ 1 3 ; 4 этот корень удовлетворяет условиям.
x + 2 — 3 x — 1 — 4 — x = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = — 4 4 — корень посторонний
Ответ: — 2 3 ; 4 3 .
Найти корни уравнения:
3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1
3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 .
3 x — 5 = 0 ⇒ x = 5 3 3 + 2 x = 0 ⇒ x = — 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = — 1
— 3 x — 5 — 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔
— 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 > — 3 2 ⇒ — корень является посторонним
— 3 x — 5 + 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔
x = — 10 — 1 ⇒ — корень является посторонним
— 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔
— 3 x = — 6 ⇔ x = 2 > 5 3 ⇒ — корень является посторонним
3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔
3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним
В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.
Уравнения с модулем (методическая разработка)
ГОУ «Политехнический лицей-интернат»
Уравнения с модулем
Тема «Уравнения с модулем» расчитана на 12 часов. Она может быть предложена обучающимся 11 класса в рамках элективного курса. Целью изучения данной темы является обобщение и систематизация знаний, связанных с определением и свойствами модуля, а так же знакомство с различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части, так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности. Вместе с тем, решение уравнений с модулем является эффективным способом повторения и закрепления навыков решения других видов уравнений и способов их решения: линейных, квадратных, дробных рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических. А так же, закрепляется умение решать различные виды неравенств, систем и совокупностей.
Изучение материала построено по принципу «от простого к сложному». В начале рассматриваются задания на преобразование выражений, содержащих модуль, затем простейшие уравнения с модулем. Эти вопросы могут быть предложены для изучения и обучающимся 8-9 классов в рамках предпрофильной подготовки. Затем рассматриваются основные типы уравнений, содержащих модуль, комбинированные уравнения и методы их решения. Заканчивается изучение темы знакомством с методами решения уравнений с модулем и параметром.
В рамках изучения темы, рассматриваются следующие вопросы:
· определение и свойства модуля; преобразования выражений, содержащих модуль;
· решение простейших уравнений с модулем;
· общие методы решения уравнений с модулем;
· комбинированные уравнения с модулем;
· уравнения с модулем и параметром.
В процессе изучения темы применяются следующие типы уроков: урок-лекция, урок- практикум, комбинированный урок, уроки проверки и коррекции знаний, урок обобщения и систематизации знаний.
Примеры, приведенные в разработке, взяты из различных сборников для подготовки к экзаменам и из материалов ЕГЭ разных лет.
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/uravneniya-s-modulem
http://pandia.ru/text/78/468/91971.php