Уравнения с модулем равносильные переходы

Равносильные переходы между уравнениями с модулями

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

студент группы М-51 С.М. Горский

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2008

Абсолютная величина и её свойства

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

Метод раскрытия модулей

Использование тождества, при решении уравнений

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Решение уравнений с использованием тождества

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Решение уравнений переходом к следствию

Решение уравнений методом интервалов

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

Список использованных источников

Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел и пытается восполнить настоящий диплом.

Дипломная работа состоит из 5 разделов.

В первом разделе приведены равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Так же показано на примере, как линейный сплайн, предствавить в виде одного уравнения с модулями. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.

Во втором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.

В третьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций , и . Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с «вложенными» модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.

В четвертом разделе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества ; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.

В пятом разделе приведены примеры решения типовых тестовых задач связанных с понятием абсолютная величина. Приведены решения как «стандартных» задач, в решении которых необходимо получить какую-либо комбинацию решений, так и заданий с параметрами. Для некоторых задач приведено несколько способов решения, иногда указаны типичные ошибки возникающие в процессе решения. Для всех заданий приведено наиболее эффективное, по быстроте, решение.

Абсолютная величина и её свойства

Модуль. Свойства модуля

Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа , .

Теорема Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или .

1. Если число положительно, то отрицательно, т. е. . Отсюда следует, что .

В этом случае , т. е. совпадает с большим из двух чисел и .

2. Если отрицательно, тогда положительно и , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, — снова, равно большему из двух чисел и .

Следствие Из теоремы следует, что .

В самом деле, как , так и равны большему из чисел и , а значит, равны между собой.

Следствие Для любого действительного числа справедливы неравенства , .

Умножая второе равенство на (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .

Теорема Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из : .

В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .

Если , тогда и и в этом случае .

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на .

Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.

Если , то на координатной прямой существует две точки и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на координатной прямой изображается точкой .

Свойства модуля

Из этого свойства следует, что ; .

Уравнения с модулем равносильные переходы

1. Уравнение вида $$ \left| \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$

Решение:

• если a0 — решением уравнения $$ \left| \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \beginf(x) = a; \\ f(x) = — a. \\ \end \right.$$

2. Уравнение вида $$ \left| \right| = g(x) $$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$ \left| \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin \left\< \begin g(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end \right. \\ \left\< \begin g(x) \ge 0; \\ — f(x) = g(x). \\ \end \right. \\ \end \right.$$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$ \left| \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin \left\< \begin f(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end \right. \\ \left\< \begin f(x) 3. Уравнение вида $$\left| \right| = \left| \right|$$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$\left| \right| = \left| \right|$$ будет решение равносильного уравнения $$ f^2 (x) = g^2 (x) $$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$\left| \right| = \left| \right|$$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin f(x) = g(x), \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right. $$

4. Уравнение вида $$ \left| \right| = — f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| \right| = — f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \le 0$$

5. Уравнение вида $$ \left| \right| = f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| \right| = f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \ge 0 $$

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.