Степенные или показательные уравнения.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n
3. a n • a m = a n + m
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .
Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10•4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :
2 2х+4 = 2 2х •2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2 :
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
3 х = 9
3 х = 3 2
х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Решение показательных уравнений
В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод. Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий , которые могут значительно облегчить ход его решения. Вот эти действия:
1. Разложите все основания степеней на простые множители.
2. Корни представьте в виде степени.
3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.
4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.
Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.
1. Уравнение вида
Это уравнение равносильно уравнению 
Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения 
этого типа.
2. Уравнение вида
В уравнениях этого типа:
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.
Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.
Пример решения уравнения этого типа:
посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.
3. Уравнение вида
Уравнения этого типа отличаются тем, что
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.
Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно освободиться от свободных членов в показателе степени. (
, 
, и т.д)
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:
4. Однородные уравнения вида 
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.
Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на 
(можно разделить на 
или на 
)
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
В нашем случае, поскольку выражение не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:
Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:
, причем 
0″ title=»t>0″/> 
при всех допустимых значениях неизвестного.
Получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение, найдем значения 
, которые удовлетворяют условию 0″ title=»t>0″/>, а затем вернемся к исходному неизвестному.
Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение однородного уравнения:
При решении этого уравнения будем исходить из того, что 
0″ title=»f(x)>0″/>
Исходное равенство выполняется в двух случаях:
1. Если 
, поскольку 1 в любой степени равна 1,
или
2. При выполнении двух условий:
0>
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
http://ege-ok.ru/2012/01/23/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya